2024年四川省遂宁市中考数学试卷

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1．（4分）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．C．D．0
2．（4分）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.62×106B．6.2×106C．6.2×105D．62×105
4．（4分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．a2•a3＝a6
C．（﹣a）4＝﹣a4D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
7．（4分）分式方程＝1﹣的解为正数，则m的取值范围（ ）
A．m＞﹣3B．m＞﹣3且m≠﹣2
C．m＜3D．m＜3且m≠﹣2
8．（4分）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①abc＞0；
②9a﹣3b+c＞0；
③＜a＜1；
④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）分解因式：ab+4a＝ ．
12．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 象限．
13．（4分）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 参加比赛．
14．（4分）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF．
如图①当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝；
如图②当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝；
如图③当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝；
…
直接写出，当＝时，S△DEF＝ ．
15．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；②AP：PF＝2：3；④cs∠DCQ＝．其中正确结论是 （填序号）．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：sin45°+|﹣1|++（）﹣1．
17．（7分）先化简：（1﹣）÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（8分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD．
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该则定定理是： ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
19．（8分）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cs9°≈0.99，tan9°≈0.16）
20．（9分）某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
（1）求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值．
22．（10分）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告：
23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点C．
（1）求证：AF＝DF；
（2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM．
①求证：AM是⊙O的切线；
②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径．
25．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
2024年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．C．D．0
【分析】分别根据无理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：﹣2，，0是有理数，是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（4分）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3．（4分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.62×106B．6.2×106C．6.2×105D．62×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：62万＝620000＝6.2×105．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．（4分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．a2•a3＝a6
C．（﹣a）4＝﹣a4D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】根据公式化简代数式即可．
【解答】解：3a﹣2a＝a，故A选项错误；
a2•a3＝a5，故B选项错误；
（﹣a）4＝a4，故C选项错误；
（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了代数式的化简，关键是要掌握平方差公式，同底数幂的乘法．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x﹣2＜2x+1，得x＜3，
所以不等式组的解集在数轴上表示为：
．
故选：B．
【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
6．（4分）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
【分析】设这个正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式求得n的值，再利用多边形的外角和列式计算即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得：（n﹣2）•180°＝1080°，
解得：n＝8，
则360°÷8＝45°，
即这个正多边形的每个外角为45°，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和及外角和，结合已知条件求得正多边形的边数是解题的关键．
7．（4分）分式方程＝1﹣的解为正数，则m的取值范围（ ）
A．m＞﹣3B．m＞﹣3且m≠﹣2
C．m＜3D．m＜3且m≠﹣2
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：2＝x﹣1﹣m，
解得：x＝m+3，
由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1，
则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了根据分式方程的解，求参数的取值范围，找出x的取值范围是本题的关键．
8．（4分）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A．B．C．D．
【分析】证明△OAB是等边三角形，根据S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB，求解即可．
【解答】解：如图，
由题意OA＝OB＝1，AB＝1，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×12＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（4分）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【分析】根据所给“伪全等三角形”的定义，找出图2中的“伪全等三角形”即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE．
∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”．
同理可得，
△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”．
△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”．
△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”．
所以图中的“伪全等三角形”共有4对．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知三角形全等的判定与性质及理解“伪全等三角形”的定义是解题的关键．
10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①abc＞0；
②9a﹣3b+c＞0；
③＜a＜1；
④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝﹣1＜0，a、b同号，
∴b＞0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，
∴﹣3＜c＜﹣2＜0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），
∴与x轴交于另一点（﹣3，0），
∵x＝﹣3，y＝9a﹣3b+c＝0，
故②不正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝﹣3，
又∵x1•x2＝，即c＝﹣3a，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
因此＜a＜1，
故③正确；
若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则直线y＝x+1与抛物线的交点的横坐标为m，n，
∵直线y＝x+1过一、二、三象限，且过点（﹣1，0），
∴直线y＝x+1与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知﹣3＜m＜1＜n．
故④正确；
综上所述，正确的结论有③④，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）分解因式：ab+4a＝ a（b+4） ．
【分析】提取a进行化简．
【解答】解：ab+4a＝a（b+4），
故答案为：a（b+4）．
【点评】本题考查了因式分解，重要的是找到公因式．
12．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 四 象限．
【分析】根据所给反比例函数图象在第一、三象限，得出k的取值范围，进而可解决问题．
【解答】解：因为反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
所以k﹣1＞0，
解得k＞1，
所以点（k，﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象和性质及每个象限内点的坐标特征是解题的关键．
13．（4分）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 甲 参加比赛．
【分析】根据平均数的计算公式算出甲和乙的平均数，再根据方差公式算出甲和乙的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：甲的平均数是：＝8，
甲的方差是：S2＝×[3×（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，
乙的平均数是：＝8，
乙的方差是：S2＝×[3×（9﹣8）2+（7﹣8）2+（6﹣8）2]＝1.6，
∵S甲2＜S乙2，
∴老师应该选甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（4分）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF．
如图①当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝；
如图②当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝；
如图③当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝；
…
直接写出，当＝时，S△DEF＝ ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题．
【解答】解：如图①当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝1﹣3×＝；
如图②当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝1﹣3×＝；
如图③当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝1﹣3×＝；
…
当＝时，S△DEF＝1﹣3×；
故当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，规律型﹣图形变化等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
15．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；②AP：PF＝2：3；④cs∠DCQ＝．其中正确结论是 ①②③ （填序号）．
【分析】利用翻折的性质，证明EA＝EP，即可判断①；利用AAS证明△BEC≌△DFA，即可判断②；过点P作PM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AF于点N，设AE＝BE＝EP＝DF＝CF＝a，然后求出AP，PF，再计算即可判断③；证明出AQ＝PQ，再在Rt△CDQ中，利用勾股定理求出AQ，DQ，根据三角函数定义即可判断④．
【解答】解：∵E是AB边的中点，
∴EA＝EB，
∵将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，
∴EB＝EP，
∴EA＝EP，
即△AEP为等腰三角形，故①正确；
∵EA＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∵将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，
∴∠BEC＝∠PEC，
∵∠BEP＝∠EAP+∠EPA，
∴∠BEC＝∠EAP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝∠ADF，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠EAP＝∠DFA，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴DF＝BE，
∴DF＝AB＝CD，
即F为CD的中点，故②正确；
过点P作PM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AF于点N，
∵∠BEC＝∠EAP，
∴EC∥AF，
∴EN＝PM，
设AE＝BE＝EP＝DF＝CF＝a，则BC＝AD＝PC＝2a，
∴EC＝AF＝＝a，
∵S△PEC＝EC•PM＝PE•PC，
∴PM＝＝＝，
∴EN＝，
∴PN＝＝＝，
∴AP＝2PN＝，
PF＝AF﹣AP＝＝，
∴AP：PF＝：＝2：3，故③正确；
∵∠EAP＝∠EPA，∠EAD＝∠EPQ＝90°，
∴∠QAP＝∠QPA，
∴AQ＝PQ，
∵正方形的边长为2a，
∴AD＝CD＝CP＝2a，QD＝2a﹣AQ，CQ＝2a+PQ＝2a+AQ，
在Rt△CDQ中，
由勾股定理，得CD2+QD2＝CQ2，
即（2a）2+（2a﹣AQ）2＝（2a+AQ）2，
解得AQ＝a，
∴DQ＝2a﹣a＝a，
∴CQ＝2a+a＝a，
∴cs∠DCQ＝＝＝．故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查翻折变换，轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数，能够熟练运用相关图形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：sin45°+|﹣1|++（）﹣1．
【分析】根据实数的运算、负整数指数幂法则、特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：原式＝+1﹣+2+2021＝2024．
【点评】本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．（7分）先化简：（1﹣）÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先化简分式，再将x＝3代入求出结果．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x﹣1，
∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠1，x≠2，
当x＝3时，原式＝2．
【点评】本题考查了分式的化简，要注意分母不为0．
18．（8分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD．
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该则定定理是： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）由题意可知，OA＝OC，OB＝OD，故根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质，根据SSS证明△BAD≌△ABC，从而证明∠BAD＝∠ABC，根据平行线的性质可以证明∠BAD＝∠ABC＝90°，进而根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形ABCD是矩形．
【解答】（1）解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴在△BAD和△ABC中，
，
∴△BAD≌△ABC（SSS），
∴∠BAD＝∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【点评】本题考查平行四边形及矩形的判定，熟练掌握并灵活运用其判定定理是解题的关键．
19．（8分）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cs9°≈0.99，tan9°≈0.16）
【分析】如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J．解直角三角形求出CJ，可得结论．
【解答】解：如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J．
如图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC，
∴BD∥EC，
∵BM∥DE，
∴四边形BDEM是平行四边形，
∴BM＝DE＝35cm，
∴BC＝BM•cs9°＝35×0.99≈34.65（cm），
如图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′，
∴CJ⊥BM，
∴CJ＝BC•sin30°≈17.32（cm），
∵AB⊥AE′，
∴BA＝JK＝30cm，
∴CK＝CJ+JK＝17.32+30≈57.3（cm）．
答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（9分）某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
（1）求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
【分析】（1）依据题意，设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，进而建立方程组，计算即可得解；
（2）依据题意，设A种客房每间定价为m元，从而可得W＝m（24﹣）＝﹣（m﹣220）2+4840，再结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，
∴．
∴．
答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元．
（2）由题意，设A种客房每间定价为m元，
∴W＝m（24﹣）＝﹣（m﹣220）2+4840．
∵﹣＜0，
∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4840．
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值．
【分析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论；
（2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣4m+4
＝m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1．
∵+﹣x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9，
∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9．
整理，得m2+m﹣2＝0．
∴（m+2）（m﹣1）＝0．
解得m1＝﹣2，m2＝1．
∴m的值为﹣2或1．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键．
22．（10分）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告：
【分析】（1）将出游景点F的人数除以其所占百分比，即可得到本次被抽样调查的学生总人数；求出出游景点C的人数，再除以总人数，乘以100，即可求出m的值；将出游景点B的人数除以总人数，再乘以360°，即可得到“B：龙风古镇”对应圆心角的度数；
（2）求出出游景点C的人数，再补全条形统计图即可；
（3）将未出游的人数出游总人数，再乘以1800，即可估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）用树状图或列表的方法即可求出他们选择同一景点的概率．
【解答】解：（1）∵30÷30%＝100（人），
∴本次被抽样调查的学生总人数为100人；
∵出游C景点的人数为：100﹣（12+20+20+8+30）＝10（人），
∴m＝×100＝10；
∵×360°＝72°，
∴“B：龙风古镇”对应圆心角的度数是72°，
故答案为：100，10，72°；
（2）由（1）知：出游景点C的人数为10人，
补全条形统计图如下：
（3）×1800＝144（人），
答：估计该学校学生“五一”假期未出游的有144人；
（4）画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景点有4种可能的结果，
∴P（选择同一景点）＝＝．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图种获取数据，掌握用列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）连接AO，根据反比例函数与正比例函数的对称性，将△ABC的面积转化为△AOB面积的2倍即可解决问题．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×3＝3，
所以反比例函数解析式为y＝．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
n＝﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
（2）由函数图象可知，
当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将y＝0代入y＝x+2得，
x＝﹣2，
所以点M的坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以BO＝CO，
所以S△ABC＝2S△AOB＝8．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点C．
（1）求证：AF＝DF；
（2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM．
①求证：AM是⊙O的切线；
②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AD，设OD交AC于点I，由OD＝OA，得∠ODA＝∠OAD，由点D是的中点，得OD⊥AC于点I，可证明∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD，进而推导出∠FDA＝∠FAD，则AF＝DF；
（2）①先证明AD垂直平分GM，则AM＝AG，所以∠MAD＝∠CAD＝∠B，则∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°，即可证明AM是⊙O的切线；
②可证明∠FDG＝∠FGD，则GF＝DF＝AF＝5，所以AG＝2AF＝10，求得AD＝＝8，＝＝cs∠DAG，求得AI＝＝，则DI＝，由勾股定理得（OA﹣）2+（）2＝OA2，求得OA＝，则⊙O的半径长为．
【解答】（1）证明：连接AD，设OD交AC于点I，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC于点I，
∵DN⊥AB于点E，
∴∠OED＝∠OIA＝90°，
∴∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD，
∴∠ODA﹣∠ODF＝∠OAD﹣∠OAF，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF．
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG，
∴∠ADB＝90°，
∴AD垂直平分GM，
∴AM＝AG，
∴∠MAD＝∠CAD，
∵＝，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠B，
∴∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AM⊥OA，
∴AM是⊙O的切线．
②解：∵∠FDG+∠FDA＝90°，∠FGD+∠FAD＝90°，且∠FDA＝∠FAD，
∴∠FDG＝∠FGD，
∴GF＝DF＝AF＝5，
∴AG＝2AF＝10，
∵DG＝6，
∴AD＝＝＝8，
∵∠AID＝∠ADG＝90°，
∴＝＝cs∠DAG，
∴AI＝＝＝，
∴DI＝＝＝，
∵∠OIA＝90°，OI＝OD﹣＝OA﹣，
∴OI2+AI2＝OA2，
∴（OA﹣）2+（）2＝OA2，
解得OA＝，
∴⊙O的半径长为．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，则点P、C关于抛物线对称轴对称，设Q（m，m2﹣2m﹣3），运用勾股定理代入可列式子，解出即可求解；
（3）由S＝S△OHP﹣S△OHQ＝OH×（yQ﹣yP），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
则点P、C关于抛物线对称轴对称，
则点P（2，﹣3），
设Q（m，m2﹣2m﹣3），
∵∠OPQ＝90°，
∴OP2+PQ2＝OQ2，
∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2]
＝（0﹣m）2+（0﹣m2+2m+3）2，
整理得：3m2﹣8m+4＝0，
解得：m1＝，m2＝2（舍去），
∴m＝，
∴Q（，﹣）；
（3）存在，理由：
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点Q（m+1，（m+1）2﹣2（m+1）﹣3），设直线PQ交x轴于点H，
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝（2m﹣1）（x﹣m）+m2﹣2m﹣3，
令y＝0，
则x＝+m，
则OH＝+m，
则S＝S△OHP﹣S△OHQ＝OH×（yQ﹣yP）＝×（+m）[（m+1）2﹣2（m+1）﹣3﹣m2+2m+3]＝（m2+m+3）＝（m+）2+≥，
即S存在最小值为．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质等，数据处理是解题的难点．甲
8
8
7
9
8
乙
6
9
7
9
9
××小组关于××学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
××学校学生
数据的整理与描述
景点
A：中国死海
B：龙风古镇
C：灵泉风景区
D：金华山
E：未出游
F：其他

数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为 ，扇形统计图中，m＝ ，“B：龙风古镇”对应圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．
甲
8
8
7
9
8
乙
6
9
7
9
9
××小组关于××学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
××学校学生
数据的整理与描述
景点
A：中国死海
B：龙风古镇
C：灵泉风景区
D：金华山
E：未出游
F：其他

数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为 100 ，扇形统计图中，m＝ 10 ，“B：龙风古镇”对应圆心角的度数是 72° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．