湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期4月针对性练习数学试卷（Word版附解析）

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1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符 合题目要求的)
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 （其中 i 是虚数单位），则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．设 l，m，n 表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
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C． D．
7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机超过
，这些人近视率约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他近
视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
8．已知球 内接正四面体 ， 为棱 的中点， 是棱 上的一点，且
，则球 与四面体 的体积比为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符
合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 且支出在 元
的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．估计众数为 B．估计第 百分位数是
C．估计平均数为 D．支出在 的频率为
10．以下命题正确的是（ ）
A．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，二者值域相同
B．函数 的图象与函数 的图象有两个交点，则 的范围是
C．若幂函数 经过点 ，则函数 为奇函数，且在定义域上为减函
数
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D．函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则
11．已知抛物线 的焦点为 F，过 F 作两条互相垂直的直线 ， ， 与 C 相交于 P，
Q， 与 C 相交于 M，N， 的中点为 G， 的中点为 H，则（ ）
A． B．
C． 的最大值为 16 D．当 最小时，直线 的斜率不存在
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12．设数列 的通项公式为 ， 是数列 的前 n 项和，则当 n= 时，
取得最大值．
13．已知圆 C： ，若直线 上总存在点 P，使得过点 P 的圆 C 的
两条切线夹角为 ，则实数 k 的取值范围是
14．某兴趣小组有 10 名学生，若从 10 名学生中选取 3 人，则选取的 3 人中恰有 1 名女生的
概率为 ，且女生人数超过 1 人，现在将 10 名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的
左右相对顺序固定，则共有 种不同的站队方法.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分 13 分)
设三角形 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 边上的高为 ，求三角形 的周长．
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16．(本小题满分 15 分)
会员足够多的某知名咖啡店，男会员占 60％，女会员占 40％．现对会员进行服务质量满意
度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 ，女会员对服务质量满意的
概率为 ．
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取 3 人，记抽取的 3 人中，对服务质量满意的人数为 ，求 的分布列
和数学期望．
17． (本小题满分 15 分)
如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
18．(本小题满分 17 分)
已知 ，函数 在 处取得极值．
(1)求 a；
(2)证明：对任意的 m， ，都有 ；
(3)若存在实数 ，使得 成立，求 k 的最小整数值．
19．(本小题满分 17 分)
椭圆 与椭圆 ： 有相同的焦点，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的右焦点为 ，设动直线 与坐标轴不垂直， 与椭圆 交于不同的 ， 两点，
且直线 和 的斜率互为相反数.
①证明：动直线 恒过 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求 面积的最大值.
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