吉林省长春市农安县2025届九年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市农安县2025届九年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．（3分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤1
解：由题意得：a﹣1≥0，
∴a≥1，
故选：B．
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．2D．2
解：，故选项A错误；
不能合并，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2＝1B．（x﹣3）2＝1C．（x﹣3）2＝19D．（x+3）2＝19
解：∵x2﹣6x﹣10＝0，
∴x2﹣6x＝10，
∴x2﹣6x+9＝19，
∴（x﹣3）2＝19，
故选：C．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6B．5C．4D．3
解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
5．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（ ）
A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：2
解：∵，，
∴AM：MN：NB＝1：3：2，
故选：C．
6．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣3）2+2
C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x﹣2）2+3
解：将抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：
y＝（x﹣2）2+3．
故选：D．
7．（3分）如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCO∽△B′C′O
B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3
C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9
D．OB′：BB′＝3：2
解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴S△A′B′C′：S△ABC＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3，
∴OB′：OB＝2：3，
∴OB′：BB′＝2：1．
故选项A、B、C说法正确，选项D说法错误，
即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A．B．2C．D．
解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD＝a，OE，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为，
∴OC，
∴BE，
∵AB∥CD，
∴，
∴EFOE，OFOE，
∴S△BEFEF•BE，
S△ODFOD•OFa，
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若，则的值是 ．
解：∵，
∴7x＝4（x+y），
即3x＝4y，
∴．
故答案为：．
10．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+7的顶点坐标是 （2，3） ．
解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
11．（3分）经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 10 %．
解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意得50（1﹣x）2＝40.5
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）
所以平均每年下降的百分率是10%．
12．（3分）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两
盏景观灯之间的水平就离为 5 米．
解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，1）代入得：
1＝a（0﹣5）2+5，即a，
∴抛物线解析式为y（x﹣5）2+5．
令y＝4，得x1，x2，
∴盏景观灯之间的水平距离是5m．
故答案为：5．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB5，
∵S△ABC，
∴CM，
∴DE，
故答案为：．
14．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）与y＝x的图象如图所示，给出下面4个结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜1；③3a+b＝0；④当1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＜0．上述结论中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
解：①由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故此选项正确；
②由图象可知：抛物线过点（1，1）即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，故此选项错误；
③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点（0，3）和（3，3），
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
当x＝0时，c＝3，
∴3a+b＝0，
故③正确；
④由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
即当1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0，故此选项正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式2
＝2×3
＝62
＝4；
（2）原式＝1+22
＝1+21
＝3．
16．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣5x﹣6＝0
（2）2（x﹣3）2＝8．
解：（1）因式分解，得
（x﹣6）（x+1）＝0，
于是，得
x﹣6＝0或x+1＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣1，
（2）化简，得
（x﹣3）2＝4，
开平方，得
x﹣3＝±2，
x1＝﹣1，x2＝﹣5．
17．（6分）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字6，2，1；转盘B被四等分，分别标有数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣6．（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）
（1）转动转盘B一次，转盘停止时，指针指向偶数的概率为 ；
（2）同时转动两个转盘，转盘停止时，求两个指针指向的数字之和大于0的概率．（画树状图或列表法）
解：（1）转动转盘B一次，转盘停止时，指针指向偶数的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
﹣1
﹣2
﹣3
﹣6
1
0
﹣1
﹣2
﹣5
2
1
0
﹣1
﹣4
6
5
4
3
0
由表知，共有12种等可能结果，其中两个指针指向的数字之和大于0的有4种结果，
所以两个指针指向的数字之和大于0的概率为．
18．（7分）如图①、图②、图③分别是4×2的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上．
（1）在图①中，在AB右侧找到格点D，使S△ABC＝S△ABD；
（2）在图②中，画出△ADE，使S△ADE＝S四边形ADBC；
（3）在图③中，画射线AF，使AF平分四边形ADBC的面积．
解：（1）如图①，过点C作AB的平行线，所经过的格点为D1，D2，
则D1，D2均满足题意．
（2）四边形ADBC的面积为3+1＝4．
如图②，在直线BD上取格点E，使DE＝4，连接AE，
此时S△ADE4，
即S△ADE＝S四边形ADBC，
则△ADE即为所求．
（3）如图③，在线段BD上取格点F，使DF＝2，作射线AF，
则射线AF即为所求．
19．（7分）如图，老李想用长为70m的栅栏．再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC的长度是多少？（用含有x的代数式表示）
（2）当羊圈的面积为640m2时，该羊圈的长和宽分别应为多少？
解：（1）设矩形ABCD的边AB为x m，则边BC的长为（70﹣2x+2）m，即（72﹣2x）m，
答：边BC的长度是（72﹣2x）m；
（2）设矩形ABCD的边AB为x m，则边BC的长为（70﹣2x+2）m，即（72﹣2x）m，
根据题意得：x（72﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣36x+320＝0，
解得：x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m）；
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）；
答：当羊圈的面积为640m2时，羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m．
20．（7分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶534m高的山峰（即DF的长度为534m），由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、
E、F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
解：（1）如图，过B点作BC⊥AE于C，
则四边形BEFC是矩形，
由山底A处先步行300m到达B处，山坡AB的坡角为30°，DF的长度为534m，
∴∠A＝30°，AB＝300m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴，
∴DE＝DF﹣EF＝384m，
答：登山缆车上升的高度384m；
（2）在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠DBE＝53°，DE＝384m，
∴（m），
∴，
答：从山底A处到达山顶处大约需要18min．
21．（8分）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形EFGH的形状：（写出结果并证明）当AC⊥BD时，四边形EFGH是 矩形 ．
（1）证明：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）解：∵点E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，
∴EF∥GH∥AC，EH∥GF∥BD，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥GF，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：矩形．
22．（9分）【定义】如图①，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，则点P为△ABC的布洛卡点．
【探究】如图②，在△ABC中，AB＝AC，点P是△ABC的一个布洛卡点．求证：△ABP∽△BCP．
【应用】如图③，在【探究】的条件下，若∠BAC＝90°，且PB＜PC，判断AP与CP的数量关系，并说明理由．
【探究】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点P是△ABC的一个布洛卡点，
∴∠PBC＝∠PCA
∴∠ABP＝∠BCP，
∴△ABP∽△BCP；
【应用】解：CP＝2AP，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ABBC，
由【探究】知△ABP∽△BCP，∴，
∴，，
∴CP＝2AP．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少．
解：（1）在矩形OABC中，OA＝3，OC＝4，
∴点B（3，4），
∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）如答图1，连接CE，过点P作PH⊥x轴，交BC于点F，交CE于点G，
当y＝﹣x2+3x+4＝0时，
解得 x＝﹣1，x2＝4，
∴E（4，0），
设直线CE为y＝kx+n，
将C（0，4），E（4，0）代入可得，，
解得，
∴直线CE为y＝﹣x+4，
设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+3m+4），
∵PH⊥x轴，点F在BC上，点G在CE上，
∴H（m，0），F（m，4），G（m，﹣m+4），
∴S四边形OCPE＝S△OCE+S△PCE





＝﹣2m2+8m+8＝﹣2（m﹣2）2+16，
∵﹣2＜0，
∴函数有最大，当m＝2时，P（2，6），
此时四边形OCPE的面积最大为16．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为斜边AB的中线．点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，得到四边形PECF，CD与四边形PECF的一边交于点G，连结PC．设点P的运动时间为t秒．（1）求线段CF的长．（用含t的代数式表示）
（2）当四边形PECF是正方形时，求t的值．
（3）当CD将四边形PECF的面积分为1：3两部分时，求t的值．
（4）作点G关于直线PC的对称点G′，当点G′落在四边形PECF内部时，直接写出t的取值范围．
解：（1）∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形PECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
由题意得AP＝5t，，
∴CF＝PE＝4t；
（2）由（1）得，
∴CE＝6﹣3t，
当四边形PECF是正方形时，则CE＝CF，即6﹣3t＝4t，
解得；
（3）分两种情况讨论，
当时，如图，
∵CD为斜边AB的中线，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴tan∠DCB＝tan∠DBC，
∴，
∴FG＝3t，
∴，即CE＝2FG，
∴6﹣3t＝2×3t，
解得；
当时，如图，
同理得，由，即CF＝2EG，
∴，解得；
综上，t的值为秒或秒；
（4）∵点G与点G′关于直线PC对称，
∴GG′⊥AP，
当点G′落在AC边上时，如图，
此时CG＝CG′，PG＝PG′，∠PCG＝∠PCG′，
∵PF∥AC，
∴∠CPG＝∠PCG′，
∴∠CPG＝∠PCG，
∴PG＝CG，
∴四边形CG′PG是菱形，
由（3）得CF＝4t，FG＝3t，
∴PG′＝CG′＝CG＝5t，
∴PG′＝AP，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EG′＝3t，
∴3t+3t+5t＝6，
解得；
当点G′落在PE边上时，如图，
此时四边形PECF是正方形，；
∴；
当点G′与点D重合时，此时，
则t＝1；
当点G′落在BC边上时，如图，
同理，四边形CG′PG是菱形，求得CG＝PG＝BP＝10﹣5t，
，
依题意得，
解得；
∴；
综上，当点G′落在四边形PECF内部时，t的取值范围是或．