吉林省长春市南关区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市南关区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算的结果是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
解：2．
故选：B．
2．（3分）要反映武汉市某月每天的最低气温的变化趋势，宜采用（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．频数分布统计图
解：要反映武汉市某月每天的最低气温的变化趋势，宜采用折线统计图，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2÷2a2＝2a2B．﹣（a3）2＝a6
C．（﹣2a）（﹣a）＝2a2D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
解：A．4a2 ÷2a2＝2，此选项计算错误；
B．﹣（ a3 ）2＝﹣a6，此选项计算错误；
C．（﹣2a）（﹣a）＝2a2，此选项计算正确；
D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝﹣a2+b2，此选项计算错误；
故选：C．
4．（3分）用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC
解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．12C．10D．8
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝24，
∴S2＝12，
由图形可知，阴影部分的面积S2＝6，
故选：A．
7．（3分）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205B．250C．502D．520
解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
8．（3分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则AC的长是（ ）
A．B．C．D．5
解：作AD⊥l于D，作CE⊥l于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°
又∠DAB+∠ABD＝90°
∴∠BAD＝∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）
∴BE＝AD＝2，DB＝CE＝3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：4m2﹣36n2＝ 4（m+3n）（m﹣3n） ．
解：原式＝4（m2﹣9n2）
＝4（m+3n）（m﹣3n），
故答案为：4（m+3n）（m﹣3n）．
10．（3分）若am＝4，an＝3，则a2m+n的值为 48 ．
解：∵am＝4，an＝3，
∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝42×3＝48，
故答案为：48．
11．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 12 ．
解：①5是腰长时，三边分别为5、5，2，
周长＝5+5+2＝12，
②5是底边时，三边分别为2、2、5，因为2+2＜5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
12．（3分）如图，已知在△ABC中AB＝9，AC＝7，BC＝5，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 42 ．
解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由角平分线的性质可得：OE＝OF＝OD＝4，
∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO


＝42，
故答案为：42．
13．（3分）如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 4 m．
解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为6+2×1＝8米；宽为4米．
于是最短路径为：4（米）．
故答案为：4．
14．（3分）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEC+∠EBD＝90°，
其中正确的结论有 ①③④ （将所有正确答案的序号填写在横线上）．
解：①BE平分∠ABC，
∴∠EBC∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE∠ACD，
∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC∠BAC，
∴∠BEC∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE＝∠GEB，
∴∠ABE＝∠GEB，
∴BG＝GE，
同理CH＝HE，
∴BG＝GE＝GH+HE＝CH+GH，
故③正确．
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN＝ED，
∴EN＝EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，
则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，
∴x+z＝y+90°，
∵z＝y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB＝y+90°，
∴x+∠AEB＝90°，
即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
解：原式2
＝42
＝4﹣3．
16．（6分）已知（x+m）（x﹣n）＝x2+7x﹣9，求代数式mn﹣m+n的值．
解：∵（x+m）（x﹣n）＝x2+（m﹣n）x﹣mn＝x2+7x﹣9，
∴m﹣n＝7，mn＝9，
∴mn﹣m+n＝mn﹣（m﹣n）＝9﹣7＝2，
∴代数式mn﹣m+n的值为2．
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）（x﹣1）﹣（x3+x）÷x，其中．
解：（x﹣3）（x﹣1）﹣（x3+x）÷x
＝x2﹣4x+3﹣（x2+1）
＝x2﹣4x+3﹣x2﹣1
＝﹣4x+2，
把代入得：原式．
18．（7分）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，∠C＝50°，AD⊥BC，垂足为D，EF是边AB的垂直平分线，交BC于E，交AB于点F，求∠EAD的度数．
解：∵∠BAC＝100°，∠C＝50°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝30°，
∵EF是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝30°，
∴∠AED＝∠EAB+∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣60°＝30°．
19．（7分）图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B均为格点．分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结AC、BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；
（2）在图②中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°；
（3）在图③中，连结AC、BC，使AC＝BC，∠ACB≠90°．
解：（1）如图①中，点C即为所求；
（2）如图②中，点C即为所求；
（3）如图③中，点C即为所求．
20．（7分）某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：A交流谈心；B体育活动；C享受美食；D听音乐；E其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计
图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 50 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）计算扇形统计图中表示“D听音乐”的扇形圆心角的度数．
解：（1）一共抽查的学生：15÷30%＝50（人）；
答：这次被调查的学生共有50人；
（2）参加“体育活动”的人数为：50﹣4﹣15﹣18﹣3＝10（人），
补全统计图如图所示：
（3）360°129.6°，
答：“D听音乐”所对应扇形的圆心角的度数为129.6°．
21．（8分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，
由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，
∴BC2+AC2＝BE2+DE2，
即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，
解得：x＝1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
22．（9分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A、C、D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，DE＝13时，求AE的长．
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）解：△ABC≌△DCE，
∴AC＝AD，AC＝DE＝13，CE＝BC＝5，
∴AE．
23．（10分）探究规律并解决问题：
（1）用“＝”、“＞”或“＜”填空，比较a2+b2与2ab的大小．
①当a＝3，b＝3时，a2+b2 ＝ 2ab；
②当a＝2，b时，a2+b2 ＞ 2ab；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 ＞ 2ab．
（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；
（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB、BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD、BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1、S2.若△BCG的面积为2保持不变，求S1+S2的最小值．
解：（1）①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，
∴a2+b2＝2ab，
故答案为：＝；
②当a＝2，b时，a2+b2＝4，2ab＝2×22，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
（2）由（1）可猜想：a2+b2≥2ab，理由如下：
∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）由题意可知，S1＝a2，S2＝b2，
∵△BCG的面积为2，即ab＝2，
∴ab＝4，
∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，
∴S1+S2＝a2+b2≥8，
∴S1+S2的最小值为8．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．
（1）∠ACD＝ 45° ，AB＝ 12 （提示：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）；
（2）若△CPD是等腰三角形，则∠CPD的度数为 90°或45°或67.5° ；
（3）当四边形ACPD为轴对称图形时，求BP的长；
（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的最小值．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝45°，
∵∠A＝60°，AC＝6，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴AB＝2AC＝12，
故答案为：45°，12；
（2）当△CPD是等腰三角形时，分三种情况讨论，
即CP＝DP时，CD＝PD时，CP＝CD时，
当CP＝DP时，则∠DCP＝∠PDC，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠DCPACB＝45°，
∴∠DCP＝∠PDC＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣∠DCP﹣∠PDC＝90°；
当CD＝PD时，
则∠CPD＝∠DCP＝45°；
当CP＝CD时，则∠CPD＝∠CDP（180°﹣∠DCP）＝67.5°；
综上，∠CPD的度数为90°或45°或67.5°，
故答案为：90°或45°或67.5°；
（3）∵CD平分∠ACB，
∴当四边形ACPD为轴对称图形时，CP＝AC＝6，
由（1）知AB＝12，
由勾股定理得BC6，
∴BP＝BC﹣CP＝66；
（4）如图，在CA上取点F，使CF＝CP，连接MF、EF，
∵CF＝CP，∠ACD＝∠BCD，CM＝CM，
∴△FCM≌△PCM（SAS），
∴MP＝MF，
∴MP+ME＝MF+ME≥EF，
当点F、M、E三点共线，且EF⊥AC时，MF+ME的值最小，从而MP+ME的值最小，
∵∠A＝60°，
∴∠AEF＝30°；
∵点E是AB的中点，AB＝12，
∴AEAB＝6，
∴AF3，
∴EF3，
∴MP+ME的最小值为3．