吉林省延边州2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省延边州2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共22页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
答案：A
解析：解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 抛掷硬币时，正面朝上B. 太阳从东方升起C. 经过红绿灯路口，遇到红灯D. 负数大于正数
答案：B
解析：解：A、抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；
B、太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；
C、经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件；
D、负数不可能大于正数，故负数大于正数是不可能事件．
故选：B．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选D．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
答案：C
解析：解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）
＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5. 在同一平面内，已知的半径为5，点A在外，则的长度可以等于（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 0
答案：A
解析：的半径为5，点A在外
∴的长度可以等于6．
故选：A．
6. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（ ）

A. 2mB. C. D.
答案：B
解析：解：设抛物线的表达式为：，
将点代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则，即
故选B
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 点关于原点对称的点的坐标为_______．
答案：
解析：解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
8. 10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是______．
答案：
解析：解：P(抽到不合规产品)=．
故答案为：
9. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为______.
答案：
解析：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
故答案为：．
10. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x约为________s（结果保留整数）．
答案：2；
解析：解：物体回落到地面即为10x-4.9x2=0，
解得：x1=0（不合题意舍去），x2=≈2，
因此物体落回地面所需要的时间x约为2s．
故答案为：2．
11. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为______°．
答案：
解析：解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 若二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表所示，则当自变量时，函数y的值为______.
答案：0
解析：解：根据表中数据可知，抛物线的对称轴为直线，
当和时，函数值相等，
当自变量时，函数y的值为0．
故答案为：0．
13. 将二次函数图像向左平移2个单位长度，平移后的解析式为______．
答案：
解析：解：将二次函数图像向左平移2个单位长度，平移后的解析式为，
故答案为：．
14. 如图，四边形中，，垂足是E，若线段，则S四边形ABCD=__________．
答案：16
解析：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=4，S△ABE=S△ADF，
∴四边形AECF是边长为5的正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=42=16．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0．
答案：，
解析：解：(x－2）(x+1)=0，
∴x－2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=-1．
16. 两年前生产吨甲种药品的成本是元随着生产技术的进步，现在生产吨甲种药品的成本是元求甲种药品成本的年平均下降率．
答案：甲种药品成本的年平均下降率为
解析：解：设甲种药品成本的年平均下降率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：甲种药品成本的年平均下降率为．
17. 如图，在⊙O中，，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠COA．
答案：详见解析
解析：证明：∵，
∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）
∵∠ACB=60°
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
18. 布袋中有红、黄、蓝三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色.用列表或画树状图的方法求摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率.
答案：
解析：解：画树状图得：

由树状图可知：共有9种等情况数，其中“一红一黄”的有2种，
∴摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率为．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
答案：(1)（2）见解析（3）是
解析：试题分析:（1）
（2）
（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，对称轴如下：
考点：本题考查轴对称图形．
点评：轴对称的知识虽然是偏基础的，但是要求学生不仅能够辨认识别并判断轴对称图形，还要求学生能够画出已知图形的轴对称图形以及相应的对称轴．
20. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．
答案：（1）
（2）这座石拱桥主桥拱半径约为
（1）解析：
解：∵半径，
∴．
（2）解析：
解:设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
21. 某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：
（1）写出______ ______ ______精确到）.
（2）估计这批柑橘的损坏概率为______（精确到）.
（3）该水果公司以元每千克成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）.
答案：（1），，；
（2）；
（3）元
（1）解析：
解：，
，
，
故答案为：，，；
（2）解析：
解：柑橘完好的概率约为，
故答案为：；
（3）解析：
解：设每千克大约定价为元，
根据题意得，
解得，
答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为元比较合适．
22. 如图，将含角的直角三角板放入半圆O中，，A，B，C三点恰好在半圆O上，延长到点E，作直线，使得．
（1）求证：是半圆O的切线．
（2）若，求阴影部分的面积．
答案：（1）证明见解析
（2）
（1）解析：
证明：如图，连接，
，
是直径．
，，
．
，
是等边三角形．
．
，
．
．
是的半径，
是半圆的切线．
（2）解析：
解：由（1）可知，
由勾股定理得，．
．
，
．
∴阴影部分的面积为．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？
（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
答案：（1）每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；
（2）房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．
（1）解析：
解：依题意得：元，
即每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；
（2）解析：
解：设每个房间定价增加x元，
依题意得：所获利润，
当元时，利润最大，
元，
即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．
24. 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．
（1）如图1，若AB=，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF；
（3）若AB=，设BP=2，求QF的长．
答案：（1）1；（2）见解析；（3）3.
解析：解：（1）∵△ABE是等边三角形，A、E、P在同一直线上，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴∠APB=30°，
∴AP=2AB=2，
∴点E是AP的中点，
∴QE⊥AP，
∴QE=3，
∵∠APQ=60°，∠APB=30°，
∴∠QPF=90°，
∴QF=4，
∴EF=QF﹣QE=1；
（2）证明：∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，
∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABP=90°，
∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°，
∵∠EBF=90°﹣60°=30°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF；
（3）如图，过点F作FD⊥BE于点D，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=，
由（2）得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD=BE=，
∴BF==1，
∴EF=1，
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=2，
∴QF=QE+EF=2+1=3．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，是等腰直角三角形，其中，动点从点出发以速度向终点运动（动点不与点重合），过点作，交折线于点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．设与重合部分图形的面积为，动点运动的时间为．
（1）当点落在边上时，求的值．
（2）求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）在动点的整个运动过程中，直接写出的最大值．
答案：（1）
（2）
（3）的最大值为
（1）解析：
解：如图，当点落在边上时，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即，
解得：，
当点落在边上时，的值为；
（2）解析：
解：①当时，在内部，如图，
，
此时与重合部分即为，
；
②当时，在上，在外部，如图，
，
此时与重合部分为四边形，
由（1）知、是等腰直角三角形，
，，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
③当时，上，如图，
，
此时与重合部分为，
同②可得：，
，，
，
；
综上所述：；
（3）解析：
解：①当时，，
当时，最大为；
②当时，，
当时，最大为；
③当时，，
对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
,
在点的整个运动过程中，的最大值为．
26. 如图，抛物线经过，点两点，点D在该抛物线上运动，设点D的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）当时，过点D作轴，交直线于E点，求线段的最大值．
（3）当时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差为3时，求m的值．
（4）设抛物线与线段围成的封闭图形记作图形P，点C为直线上的一个动点（点C不与点A重合），设点C的横坐标为n，以为边向下作正方形，当M、N两点中只有一个点在图形P的内部时（不包括边界），直接写出n的取值范围．
答案：（1）
（2）当，有最大值为4
（3）的值为或者
（4）或
（1）解析：
解：∵抛物线经过点，点，
∴，
解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）解析：
解：如图①，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则点，
∴．
∵，
∴当，有最大值为4．
（3）解析：
解：当时，不存在最高点和最低点的纵坐标的差为3．
当时，如图②，
∵最高点和最低点的纵坐标的差为3，
∴，解得，
，（符合题意，舍去）．
当时，如图③，
∵最高点和最低点的纵坐标的差为3，
∴，解得，
（不符合题意，舍去）．
综上所述，的值为或者．
【小问4详解】
解：由题意可得：，
若点在点的左侧，如图所示：
由直线的解析式为可得：
∵为正方形，
∴
∴轴，
∴
同理可得：
由可得：
∴
由图可得：点的横坐标在的横坐标之间，点在抛物线之上，点在抛物线之下，
解得：
若点在点的右侧，如图所示：
同理可得：
由图可得：点的横坐标在的横坐标之间，点在抛物线之上，点在抛物线之下，
解得：
综上所述：或
x
0
1
y
0
3
4
3
柑橘总质量（/千克）
损坏柑橘质量（/千克）
柑橘损坏的频率（）