重庆市2023_2024学年高一数学下学期阶段测试题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学下学期阶段测试题含解析，共18页。试卷主要包含了 已知向量，，，则， 已知，则， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.
【详解】由题意，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
2. 已知向量，，，则（）
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】∵，又∵和有公共点B，∴A，B，D三点共线.
故选：B．
【点睛】本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于常考题.
3. 在等边中，点是边的中点，且，则为（）
AB. 16C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积定义即可求得的值.
【详解】等边中，点是边的中点，且，
则,，，
则
故选：C
4. 设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.
【详解】如图，
＋＝＋＋＋＝＋
＝＋＝.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求解可得答案.
【详解】令，故，，
故.
故选：B
6. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.
【详解】由余弦定理可知，
，
，
AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，
是中点，，
由图可知向量在上的投影向量为
，
.
故选：B
【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
7. 在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解.
【详解】连接，，如图，可知.
由，即，可得.
从而，，所以.
故选：B
8. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得值，再由不等式恒成立得的范围．
【详解】由题意的最大值是5，所以由的图象与直线相邻两个交点的距离为知，．即，即，
时，，
因为，所以，，
所以，解得．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如，而的求法有两种：
（1）由的范围，求出的范围，并根据的范围得出和的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．
（2）先利用余弦函数性质，求出时，的范围，再由已知区间是这个范围的子集，得出结论．
二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A.
B. 零向量与任意向量共线
C. 互为相反向量的两个向量的模相等
D. 若向量，满足，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由向量减法法则判断选项A；由零向量的性质判断选项B；由相反向量的定义判断选项C；由向量三角不等式判断选项D.
【详解】对A，，A选项错误；
对B，零向量与任意向量共线，B选项正确；
对C，互为相反向量的两个向量的模相等，C选项正确；
对D，若向量，满足，，则，即，D选项正确．
故选：BCD
10. 已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（）
A.
B.
C. 若，则
D. 若△ABC为正三角形，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算及其几何意义，数量积的定义及运算法则逐项分析即得.
【详解】对于A，因为为中的中点，所以，故A正确；
对于B，因为为的重心，分别为边的中点，
所以
，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为为正三角形，所以，
所以，所以D不正确.
故选：ABC.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A. 的单调递增区间是
B. 的单调递增区间是
C. 在上有3个零点
D. 将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用图象求出函数解析式，再求出单调增区间，上零点，图象的对称轴，逐一对选项判断即可．
【详解】由图象得，周期，得，
所以，．
令，解得，
故单调递增区间为．A正确，B错误；
令，解得，
令得，解得，可知C选项正确；
函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．
故选：AC．
12. 如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（）
A. B. 存在点，使
C. 若，则点的轨迹长度为2D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算即可求解A，根据共线即可得矛盾求解B，根据共线即可求解C，根据数量积的运算律，结合图形关系即可求解D.
【详解】设为正六边形的中心，
根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形，
，故A正确，
假设存在存在点，使，则,其中点为以为邻边作平行四边形的顶点，
所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误，
当时，，
取,则,所以点的轨迹为线段,
其中分别为过点作与的交点，
由于为中点，所以,故点的轨迹长度为1，C错误，
由于,
,
过作于，则,所以此时，
由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以
当位于时，此时同时最小，故的最小值为
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，满足，，且，则实数的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的线性运算，以及向量的模，转化求解即可.
【详解】由，得，因为，，所以，即.
故答案为：
14. 计算：.
【答案】
【解析】
【分析】因为，所以对进行和差公式展开，即可求解
【详解】
.
15. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解.
【详解】由题意知图象关于原点对称，因此，解出，
由于在上单调递减，，
因此，解出，
由于，所以取，解得，又由于，且，则．
故答案为：3
16. 已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到，再利用余弦定理与基本不等式求得最大时的值，从而得解.
【详解】取中点D，连接，则，
则，
所以，即，又，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时角最大，
同时，所以，
所以边上中线长为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化，得到，从而得解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在平行四边形中，．
（1）如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；
（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.
【小问1详解】
因为分别是的中点，
所以，
.
【小问2详解】
因为是与的交点，是的中点，
所以，
.
18. 已知，，.
（1）求与的夹角和的值；
（2）设，，若与共线，求实数m的值.
【答案】（1）与的夹角为，；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长；
（2）根据共线定理必存在使得：，求解参数.
【详解】（1），，，
，
，
所以，
所以与的夹角为，
；
（2）由（1）可得：与不共线，
，，若与共线，
则必存在使得：，
所以，
得.
【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.
19. 如图,在中，已知点分别在边上，且，.
（1）用向量、表示；
（2）设,,,求线段的长.
【答案】（1） ;（2）.
【解析】
【详解】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.
试题解析：
（1）由题意可得：
（2）由可得：
.
故.
20. 已知
（1）化简；
（2）若，，且，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，因为，所以
所以，
，
因为，，所以，
因，所以，
于是
所以
.
21. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法即可解出的单调递增区间；
（2）先结合条件将问题转化为“在上恰有一解”，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，由此求解出结果.
【小问1详解】
函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，
当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
22. 如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.
（1）设，求的取值范围及；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得，即可得，在中，利用即可求出结果；
（2）根据条件得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
因为为等腰直角三角形，为线段的中点，
所以.
因为点在线段上运动，所以，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.