湖南省常德市桃源县片区联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省常德市桃源县片区联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 剪纸是一项传统的民间文化艺术，也是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸图案中不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
2. 下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 10，8，6B. ，，
C. ，，D. 10，15，
答案：A
3. 已知△ABC的三边长为a，b，c，且分别满足下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A＝2∠B＝3∠C；③a2＋b2＝c2；④∠A＝∠B＝∠C；⑤a2－b2＝c2；⑥a＝，b＝2，c＝1，以上条件中可以判定△ABC为直角三角形的个数( )
A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个
答案：B
4. 下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
5. 若一个正多边形的一个内角的度数为，则这个正多边形的边数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
6. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A. B. C. D.
答案：C
7. 如果△ABC的两边长分别是3和5，那么连接△ABC三边中点D、E、F，所得的△DEF的周长可能是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：D
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD长为（ ）
A. 2B. 3C. D. 2
答案：D
9. 下列说法正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
答案：C
10. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为________．
答案：12或
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝6，点D是AB的中点，则∠ACD＝_________．
答案：60°
13. 已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 的周长为，面积为，则点O到AB的距离为_________cm．
答案：3
14. 如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起，那么重叠部分的四边形是_______．（填特殊的四边形）
答案：菱形
15. 某地面是由三种正多边形的大理石地板镶嵌铺成的，记这三种正多边形的边数分别为、，则______________．
答案：##
16. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交于，若,，则该矩形的周长为_______．
答案：24
17. 如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动________s时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
答案：4或
18. 如图，将一副三角板中含有30°角的三角板的直角顶点落在等腰直角三角形的斜边的中点D处，并绕点D旋转，两直角三角板的两直角边分别交于点E，F，下列结论：①DE=DF；②S四边形AEDF=S△BED+S△CFD；③S△ABC=EF2；④EF2=BE2+CF2，其中正确的序号是_____．
答案：①②④．
三、解答题（第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
19. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状．
答案：是等腰直角三角形
解：∵，
∴，
∴；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为5，即，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴是等腰直角三角形．
20. 如图，在和中，，，与交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
答案：（1）见详解 （2）见详解
【小问1详解】
证明：
都是直角三角形
在和中
；
【小问2详解】
由（1）知，
是等腰三角形
垂直平分．
21. 如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求的度数．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：在中，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
22. 校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使，．
（1）求的长（精确到0.1米，参考数据：，）；
（2）已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
答案：（1）的长为17.3米
（2）超速了，理由见解析
【小问1详解】
解：由题意得，，
∵，，
∴，，
∴，，
在中，根据勾股定理，，即，
解得，，
∴（米），
即的长为17.3米；
【小问2详解】
解：超速了，理由如下：
∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为（米/秒），
∵30千米/小时米/秒（米/秒），
∴这辆校车在本路段超速了．
23. 如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
答案：（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于，
∴，
∴平行线与间的距离．
24. 应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．

【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值；
（2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值；
【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）；（3）存在，最大值为，此时的值为．
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图：

当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴旋转角，
∴（秒），
∴的值为；
（3）取中点，连接，如图：

∵是中点，
∴中位线，
在中，，
∴，
∴ ，
∵是斜边上中线，
∴，
当不在同一直线上时， ，
当在线段上时， ，
，
∴三点共线时，最大值，
此时，如图，

，，
∴，
∵，
∴，
∴旋转角，
∴（秒），
综上，存在最大值为，此时的值为．
25. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是： （填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，且CE与BG相交于点H，已知BC=3，AB=5，求GE长．
答案：（1）①③ （2）AB2+CD2= AD2+BC2
（3）
【小问1详解】
解：①正方形与③菱形的对角线互相垂直，故这两个图形是垂美四边形，
故答案为：①③；
【小问2详解】
猜想结论：AB2+CD2= AD2+BC2．
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2= AD2+BC2；
【小问3详解】
连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
又∵AG=AC，AB=AE，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠BMH=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵BC=3，AB=5，
∴AC=4，CG=4，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，
∴GE=．
26. 将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的M点处，顶点C，D同时落在线段HF上的N点处，其中AD长为6，AE长为x．
（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度；
（3）若，连接AF，当时（如图2），求的值．
答案：（1）见解析 （2）
（3）
【小问1详解】
解：如图1，
由折叠可得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°=∠FEH，
同理可得∠EHG=∠HGF=∠GFE=90°，
∴四边形EFGH为矩形；
【小问2详解】
解：线段HF的长度不会随着AE长度的变化而变化，HF=6．
理由：如图2，连接EG，
由折叠可知，AE=EM，BE=EM，
∴AE=BE=EM，
同理可得DG=NG=CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AE=DG，
∴四边形AEGH是平行四边形，
∴AD=EG=6，
由（1）知，四边形EFGH为矩形，
∴HF=EG=6．
【小问3详解】
解：法1：如图，
由题意：
∴
∵，
∴，
∴
同理：
∴，
∴，
设，则
∴，
∴
∴，，
∴；
法2：连接EG交AF于点P，
由题意：
∴
∵，
∴
矩形EFGH中，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；