北京市朝阳区2025届高三下学期一模试题 数学 含答案

这是一份北京市朝阳区2025届高三下学期一模试题 数学 含答案，共14页。
2025.3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，则
（A）（B）
（C）（D）
（2）设复数的共轭复数为，则
（A）（B）
（C）（D）
（3）在的展开式中，常数项为
（A）（B）
（C）（D）
（4）为得到函数的图象，可以将函数的图象
（A）向右平移个单位长度（B）向左平移个单位长度
（C）向右平移个单位长度（D）向左平移个单位长度
（5）已知是等比数列，，，则
（A）（B）
（C）（D）
（6）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（7）已知，则
（A）（B）
（C）（D）
（8）某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线互相平行，桥与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点处，其中入口（定点）在桥上，且到直线的距离分别为（为定值），入口分别在直线上，公园的一边与直线所成的锐角为，另一边与垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是
（A）函数的最大值为
（B）函数的最小值为
（C）若且，则
（D）若且，则
（9）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为
（A）（B）
（C）（D）
（10）位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛．每场比赛的计分规则是：胜者计3分，负者计0分，平局各计1分．所有比赛结束后，若这位同学的得分总和为分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为
（A）（B）
（C）（D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域为________．
（12）已知点在抛物线上，则抛物线的焦点的坐标为________；以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线的位置关系是________．（填“相交”“相切”或“相离”）
（13）已知函数是上的奇函数，当时，，则________；若存在，使得，则的一个取值为_______．
（14）干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是__________年．（用数字作答）
（15）在棱长为的正方体中，点是底面内的动点，给出下列四个结论：
① 的最小值为；
② 的最小值为；
③ 的最大值为；
④ 的最小值为．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在四棱柱中，平面，在四边形中，，，，为线段的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值．
（17）（本小题13分）
在中，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．
条件①：；
条件②：边上的高为；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取名学生进行满意度调查，调查结果如下表：
假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率.
（Ⅰ）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；
（Ⅱ）分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取人，估计这人中至少有人选择去B地的概率；
（Ⅲ）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于不同的两点．设,直线与直线交于点，求证：直线的斜率为定值．
（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，求证：当时，；
（Ⅲ）若函数有个不同的零点，求的取值范围．
（21）（本小题15分）
已知为有穷正整数数列，若存在，使得，其中，则称为连续可归零数列．
（Ⅰ）判断和是否为连续可归零数列？并说明理由；
（Ⅱ）对任意的正整数，记，其中表示数集中最大的数. 令，求证：数列不是连续可归零数列；
（Ⅲ）若的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，是连续可归零数列．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1） A（2） C（3） D（4） D（5） A
（6） A（7） B（8） D（9） C(10) B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）（12）；相切（13）；（答案不唯一）
（14）2049（15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）连接．
因为,为的中点，
所以．
又，所以四边形为平行四边形．
所以．
又因为，
所以．
所以四边形为平行四边形．
所以．
又因为平面，平面，
所以平面．6分
（Ⅱ）因为平面，
所以,．
又因为平面平面，平面平面,
平面，
所以平面．
所以．
所以两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
因为平面，
所以是平面的法向量．
设平面的法向量为，
则即
令，则．于是．
设平面与平面夹角为，则
．13分
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理及得
．
所以．
所以．
又因为，所以．
所以．5分
（Ⅱ）选条件①：因为，，，且，
所以．
因为，所以．所以．
又因为，所以．
所以．
又，所以．
所以的周长为．13分
选条件②：因为，边上的高为，所以．
又因为，所以．
所以．
因为，所以．
（1）当时，由，得．
又，所以．
所以．
所以的周长为．
（2）当时，由，得．
又，所以，不符合题意．
综上，的周长为．13分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）从表格数据可知，随机抽取的名学生对本次研学旅行满意的人数为
．
因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为．4分
（Ⅱ）设事件：抽取的高一学生选择去B地；
事件：抽取的高二学生选择去B地；
事件：抽取的高三学生选择去B地；
事件：抽取的人中恰有人选择去B地，；
事件：抽取的人中至少有人选择去B地．
从数据表格可知，抽取的名学生中高一年级学生总数为，
选择去B地的总数为，所以可估计为；
抽取的名学生中高二年级学生总数为，
选择去B地的总数为，所以可估计为；
抽取的名学生中高三年级学生总数为，
选择去B地的总数为，所以可估计为；
因为，
所以
所以抽取的人中至少有人选择去B地的概率可估计为
．11分
（Ⅲ）．14分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆的方程是．4分
（Ⅱ）由题可知直线的斜率存在.设直线．
由得．
由，得，即．
设，
则．
直线的方程为．
令，得的纵坐标为．
因为
，
所以．
又
．
所以，即．
所以直线的斜率为定值．
15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．4分
（Ⅱ）由题设知．
设函数．
当时，因为，
所以，即．
所以函数在区间上单调递增．
所以．
所以当且时，．9分
（Ⅲ）函数的定义域为，．
= 1 \* GB3 ①当时，，函数在区间上单调递减，
函数至多一个零点，不合题意．
= 2 \* GB3 ②当时，由（Ⅱ）可知函数在区间上单调递增，
函数至多一个零点，不合题意．
= 3 \* GB3 ③当时，对于函数，因为，
所以方程有两个实数根，满足
．
不妨设，则．
变化的情况如下：
所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
因为，所以为的一个零点．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
所以函数有个不同的零点．
综上，的取值范围为．15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）数列是连续可归零数列，理由如下：
取，，，则，
所以数列是连续可归零数列．
数列不是连续可归零数列，理由如下：
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以．
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以．
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以．
所以数列不是连续可归零数列．4分
（Ⅱ）因为是奇数，故，
所以．
因为，所以．
因为，所以．
所以数列．
因为，
所以与奇偶性相同．
当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数，
所以为奇数．
所以．
当取时，
由（Ⅰ）可知，
综上，数列不是连续可归零数列．9分
（Ⅲ）设，，则是整数数列．
下面证明对任意，均有．
显然满足．
假设结论不成立，则存在，使得或，
且当时都有．
（1）若，当时，，
因为，所以，矛盾；
当时，，
因为，所以，矛盾．
（2）若，当时，，
因为，所以，矛盾；
当时，，
因为，，
又是整数，所以，矛盾．
综上，对任意，均有．
若存在，使得，
则存在且，使得，
此时数列是连续可归零数列．
若任意，，
因为中共个非零整数，
当时，数列中存在且，使得，
从而存在，使得，
此时数列是连续可归零数列．
综上，当时，数列是连续可归零数列．15分高一
高二
高三
A地
B地
A地
B地
A地
B地
满意
12
2
18
3
15
6
一般
2
2
6
5
6
8
不满意
1
1
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2
3
2
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