河北省省级联考2024-2025学年高三下学期3月模拟预测数学试卷（Word版附解析）

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班级_____姓名_____
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数型复合函数定义域及二次函数值域化简，再由交集运算即可求解；
【详解】根据题意，由，得，
所以集合，
易知，
，
故选：B.
2. 若复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等求出，再利用复数乘法求解.
【详解】设，则，因此，
则，，即，所以.
故选：A
3. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. 30°B. C. D. 135°
【答案】C
【解析】
【分析】由平方，结合，求得及，即可求解；
【详解】由已知得，即，
即
又，
两式联立可得：，则向量与的夹角为
故选：C.
4. 高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆台体积公式，结合等差中项，可通过基本不等式转化到圆柱的体积即可得到判断.
【详解】设圆台的上、下底面积分别为，，圆柱的底面积为，高为，
根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，
，，
，
故选：A.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦的和差角公式化简等式得到，再由正切的和差角公式求得.
【详解】由已知，
即
则，
∴，
故选：C.
6. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性可得出，再由函数的单调性可得出，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数与均是增函数，
所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得，
由得，即恒成立，
所以，当时，函数取得最大值，所以，，即，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
7. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围.
【详解】由已知在处取得最小值，
，，解得，
∵函数在上单调递减，
，即，，
当时，，，符合条件，
.
由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，
的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即，
故选：B.
8. 已知函数，则是（ ）
A. 偶函数，有最小值B. 偶函数，有最大值
C. 奇函数，在上单调递增D. 奇函数，在上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函数的性质结合对数的运算可判断为偶函数，换元法令结合对数的运算和复合函数的单调性可得有最大值.
【详解】函数的定义域为R，
，
，故函数为偶函数.
令，则，
，
所以，由复合函数的单调性可得在上单调递减，
处取得最大值，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用对数的运算性质化简和换元法化简.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则的最小值为4
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用指数函数，幂函数单调性比较大小，利用基本不等式比较大小即可.
【详解】对于A，，由指数函数单调递增，，即，故A正确；
对于B，，
等号成立条件，由于，显然等式不成立，故最大值比0小，
所以最小值不可能为4，故B错误；
对于C，由已知，，，即，故C正确；
对于D，，由幂函数单调递增，，即，故D正确，
故选:ACD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在上单调递减，则的最大值为1
B. 当时，
C. 当时，
D. 存在直线，使得与的图象有4个交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，求导确定单调性即可判断；对于BC，构造函数求导，确定单调性可判断；对于D，画出得图象，由图象可判断.
【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确；
当时，，即.
设，则，
在处取得最小值，故B正确；
当时，，即.
由B选项的过程知，在时，，
在上单调递减，，故C正确；
画出的图象如图，
可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确，
故选：BCD.
11. 已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点是的一个顶点
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率公式即可判断A；求出即可判断C；求出双曲线的对称轴方程，再与其联立，即可判断BD.
【详解】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时，
过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点，
则，，故A正确；
由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为，
如图2，它与轴夹角的正切值，
解得或（舍），，
由A选项可知，，故C正确；
顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，
，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于，
，故B不正确，D正确.
图1 图2
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：理解“对勾函数”的图象的特征是解决本题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则_____.
【答案】2
【解析】
【分析】由抛物线得定义得到，求解即可；
【详解】由抛物线的定义得，解得或（舍），故.
故答案为：2
13. 已知数列中，，，，则的前项和_____.
【答案】
【解析】
【分析】由，得，得到等差数列，进而可求解；
【详解】由，得，
是首项为，公差为1的等差数列，
，
，
，为等差数列，
.
故答案为：
14. 已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，中两元素之差的绝对值相等时的个数，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】当，中两元素之差绝对值均为1时，的个数为；
当，中两元素之差的绝对值均为2时，的个数为；
当，中两元素之差的绝对值均为3时，的个数为；
当，中两元素之差的绝对值均为4时，的个数为；
故满足条件的共有（个）；
故其概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分，中两元素之差的绝对值均为、、、时的个数.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，是的中点，且.
（1）求四棱柱的外接球的表面积；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由四棱柱的外接球直径就是其体对角线，即可求解；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【小问1详解】
取的中点，连接，，
底面是正方形，且该四棱柱是直四棱柱，平面，
又平面，，
，，都在平面内，平面，
又平面，，
，，即，
.
四棱柱的外接球直径就是其体对角线，
外接球半径，
故四棱柱的外接球的表面积.
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设平面的法向量为，则
令，得：，，
而平面就是平面，其一个法向量是，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
16. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由，确定坐标，代入椭圆方程，进而求解；
（2）设：，联立椭圆方程，求得，.再由得到，进而可求解；
【小问1详解】
设，，.
，
设，则，解得：，
，
代入椭圆的方程，得，整理得，又，
，，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
代入椭圆方程中，整理得，
，.
，且，
即，
又，易知：，
，，
解得，
直线的方程为或.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边上一点.
（1）若，，求的值；
（2）若，是角的平分线，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，可得，，在中应用正弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得，根据，结合面积公式即可求解.
【小问1详解】
设，所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，
即，
解得，即；
【小问2详解】
由余弦定理得，即，
由，得，
又因为，所以，
所以，解得或（舍），
故.
18. 已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直.
（1）求a，b的值；
（2）当时，求证：.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先计算交点得出，再根据导函数得出斜率结合斜率乘积计算求解；
（2）应用分析法结合基本不等式得出，再化简证明，最后构造函数求导证明即可.
【小问1详解】
交点的横坐标为t，，即，
又，将代入，
得，，
由，得，
，若，则为无理数，，
则，.
小问2详解】
由（1）知，
，
要证成立，
可试证在时成立，
即证上成立.
设，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
在处取得最大值，即在上恒成立，
原不等式成立
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最值即可证明.
19. 已知函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）设方程的两个实数根为，，求证：为常数；
（3）在数列中，，，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用分式型函数的对称中心及平移计算求解；
（2）应用解析式计算求解证明即可；
（3）先根据已知证明数列是等比数列，再计算分项数是奇数和偶数分别应用裂项相消法计算证明.
【小问1详解】
，
其图象是由的图象平移而得到的，对称中心为，
函数图象的对称中心为.
【小问2详解】
由已知，，
，
（常数），结论成立.
【小问3详解】
由已知，
设，解得，，
由（2）知，则，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即.
当为偶数时，，
；
当为大于1的奇数时，，
，
，
.
当时，也成立，综上所述，结论成立.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是分奇偶两种情况应用裂项相消计算证明即可.