2024-2025学年福建省泉州市培元中学八年级（下）月考数学试卷

这是一份2024-2025学年福建省泉州市培元中学八年级（下）月考数学试卷，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为﹣3.7℃，15.9℃，﹣7.0℃．这些气温中最低的是（ ）
A．﹣3.7℃B．15.9℃C．﹣17.5℃D．﹣7.0℃
2．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟＝1圭，10撮＝1抄，10抄＝1勺，则8合为（ ）
A．4.8×104粟B．4.8×105粟C．8×104粟D．8×105粟
3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．点（﹣t﹣1，y1），（﹣t﹣3，y2）在一次函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，连接并延长DE至点F，使得DE＝2EF，交EC于点M，若AC＝10（ ）
A．3B．4C．4.5D．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，AC＝16，，则菱形AB边上高DH的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，则∠AHB的度数为（ ）
A．34°B．56°C．22°D．36°
8．已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2ax+5（a为常数），当x＝1时，y＜2，对应函数值y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．B．3C．3或D．﹣3或
9．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只栖一树，闲了一棵树，鸦树各几何？”假设树有x棵，鸦有y只，以下方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，OC，PA，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线（ ）
A．①④B．②③C．①②③D．①②③④
二、填空题
11．分解因式：a3﹣4a2+4a＝ ．
12．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣5）与点Q（m，n），那么m+n＝ ．
13．如图，AB与⊙O相切于点A，连接OB与⊙O交于点C，则∠B＝ °．
14．2024年春节期间，泉州“十龙九子”龙年艺术装置火速出圈，追“龙”合影、拍照打卡，两人恰好选择同一景点的概率是 ．
15．如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，设正六边形ABCDEF的面积为S1，正方形BMGH的面积为S2，则＝ ．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，连接ED并延长交⊙O于点F，连接BF、AD，则AD＝ ；BF＝ ．
三、解答题
17．先化简，再求值：（m﹣7）（2m+4）﹣m（m﹣10）
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D
19．计算：．
20．（1）小丁和小迪分别解方程的过程如表：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请打“√”；若错误，并写出你的解答过程．
（2）某学校课后兴趣小组在计划开展手工制作活动，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？
21．某数学兴趣小组将东西塔（如图1）作为测量的对象，准备测量这座塔的高度，小明利用1.6m高的测倾器，在点C处测得塔顶部A的仰角为45°，在距离小明20.3m的点E处测得塔顶部A的仰角为31°（点E，C，B在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin31°≈0.52，cs32°≈0.86，tan31°≈0.60，）
22．中学生使用智能手机的现象非常普遍，针对中学生的网络诈骗案件也频频发生，为了引导青少年正确使用互联网，增强青少年的网络安全意识，某校举行了一次“和谐网络你我共享，校团委决定从三名九年级学生（分别用A、B、C表示）和两名八年级学生（分别用D、E表示）
（1）若从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为 ；
（2）若从这5名学生中随机选择2名参加宣讲活动，请用画树状图或列表的方法求2名学生中至少有一名是九年级学生的概率．
23．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧AB，C是弦AB上一点．
（1）根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交劣弧AB于点D，交AC于点E；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交劣弧AB于点F（F，A两点不重合）；
（2）请连接DA，DC，DF，引理的结论为：BC＝BF．请你证明此结论．
24．综合与实践
【问题提出】
如图（1）在△ABC中，∠A＝90°，点P沿折线D﹣A﹣C运动（运动到点C停止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF．设点P运动的路程为x
【初步感悟】
（1）当点P在AD上运动时，
①若，则y＝ ；
②y关于x的函数关系式为 ；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2），直线x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形DPEF的对角线DE，PF，两对角线的交点为M，在（2），求点A在△DFM内部时x和y的取值范围．
25．问题提出
（1）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，已知⊙O的半径为1，BC边的最大值为 ，若，则∠ACB＝ ；
问题解决
（2）如图2，一块空地由三条线段AD，AB，政府准备将这块空地改建为公园，并在公园内修建四条供市民健身用的步道MC，PD和DM，其中步道的两个入口点M上，另外两个入口分别为点D，C，经过测量得知，AD＝BM＝2千米，AM＝BC＝4千米，使得四条跑道总长度最大？若存在，求出最大值，说明理由．
2024-2025学年福建省泉州市培元中学八年级（下）月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、单选题
1．2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为﹣3.7℃，15.9℃，﹣7.0℃．这些气温中最低的是（ ）
A．﹣3.7℃B．15.9℃C．﹣17.5℃D．﹣7.0℃
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵﹣17.5℃＜﹣7.7℃＜﹣3.7℃＜15.3℃，
∴这些气温中最低的是﹣17.5℃．
故选：C．
2．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟＝1圭，10撮＝1抄，10抄＝1勺，则8合为（ ）
A．4.8×104粟B．4.8×105粟C．8×104粟D．8×105粟
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：6粟＝1圭，10圭＝7撮，10抄＝1勺，则8合为：
4×6×10×10×10×10＝4.2×105．
故选：B．
3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
【解答】解：俯视图为是．
故选：D．
4．点（﹣t﹣1，y1），（﹣t﹣3，y2）在一次函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
【分析】根据解析式得到y随x增大而减小，再由﹣t﹣1＞﹣t﹣3，即可得到答案．
【解答】解：由题意得，，
∴y随x增大而减小，
∵点（﹣t﹣1，y1），（﹣t﹣7，y2）在一次函数的图象上，
∴y8＜y2，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，连接并延长DE至点F，使得DE＝2EF，交EC于点M，若AC＝10（ ）
A．3B．4C．4.5D．
【分析】由三角形中位线定理推出DE∥BC，BC＝2DE，得到BC＝4EF，由线段中点定义求出EC＝AC＝5，判定△EFM∽△CBM，推出EM：CM＝EF：CB＝1：4，即可求出MC的长．
【解答】解：∵D，E分别为AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵DE＝2EF，
∴BC＝5EF，
∵AC＝10，
∴EC＝AC＝8，
∵DE∥BC，
∴△EFM∽△CBM，
∴EM：CM＝EF：CB＝1：4，
∴MC＝EC＝4．
故选：B．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，AC＝16，，则菱形AB边上高DH的长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝CO，OB＝OD，求出AO＝CO＝8，解直角三角形求出DO，根据勾股定理求出CD，再根据菱形的面积即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，
∴∠COD＝90°，
∵AC＝16，
∴AO＝CO＝AC＝，
∵，
∴DO＝6，
∴BD＝2DO＝8×6＝12，
在Rt△COD中，由勾股定理得：，
∵，即，
∴．
故选：B．
7．如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，则∠AHB的度数为（ ）
A．34°B．56°C．22°D．36°
【分析】利用平行线的性质和角平分线的概念得到∠ABH，即可得到∠AHB的值．
【解答】解：∵AD∥BC，∠BAD＝112°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣112°＝68°，∠AHB＝∠CBH，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH＝∠ABC＝，
∴∠AHB＝∠CBH＝34°，
故选：A．
8．已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2ax+5（a为常数），当x＝1时，y＜2，对应函数值y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．B．3C．3或D．﹣3或
【分析】已知二次函数为y＝x2﹣2ax+5，当x＝1时，y＜2，代入得6﹣2a＜2，解得a＞2．当参数a 满足2≤a≤4时，函数的最小值为5﹣a2．当最小值为5﹣a2＝﹣4求出a即可．
【解答】解：当x＝1时，y＜2，
代入得3﹣2a＜2，
解得a＞2．
当参数a 满足2≤a≤4时，函数的最小值为4﹣a2．
最小值为5﹣a3＝﹣4，解得a＝3．
故选：B．
9．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只栖一树，闲了一棵树，鸦树各几何？”假设树有x棵，鸦有y只，以下方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵三只栖一树，五只没去处，
∴3x+5＝y；
∵五只栖一树，闲了一棵树，
∴7（x﹣1）＝y，即5x﹣7＝y．
∴根据题意得可列出方程组．
故选：A．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，OC，PA，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线（ ）
A．①④B．②③C．①②③D．①②③④
【分析】由OA＝OC，点D是AC中点，根据等腰三角形的“三线合一”可证明OQ垂直平分AC，可判断②正确；因为∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠B＝∠AOC，所以∠B＝∠AOD，可判断①正确；由∠PCA＝∠PAB，得∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B＝∠AOD，则∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°，再证明∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC，则∠QCO＝∠QAO＝90°，可证明直线PA和CQ都是⊙O的切线，可判断③正确；假设CQ∥AO正确，∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°，可推导出∠AOC＝90°，则∠B＝∠AOC＝45°，与已知条件不符，所以CQ∥AO不正确，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点D是AC中点，
∴AD＝CD，
∵OA＝OC，
∴OQ⊥AC，
∴OQ垂直平分AC，
故②正确；
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC，
∵∠B＝∠AOC，
∴∠B＝∠AOD，
故①正确；
∵∠PCA＝∠PAB，
∴∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B，
∵∠B＝∠AOD，
∴∠PAC＝∠AOD，
∵∠ADO＝90°，
∴∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°，
∵OC＝OA，QC＝QA，
∴∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC，
∴∠QCO＝∠OCA+∠QCA＝∠OAC+∠QAC＝∠QAO＝90°，
∵OA、OC都是⊙O的半径，CQ⊥OC，
∴直线PA和CQ都是⊙O的切线，
故③正确；
假设CQ∥AO正确，则∠AQC＝180°﹣∠QAO＝90°，
∴∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°，
∴∠AOC＝360﹣∠AQC﹣∠QAO﹣∠QCO＝90°，
∴∠B＝∠AOC＝45°，
∴CQ∥AO不正确，
故④错误，
故选：C．
二、填空题
11．分解因式：a3﹣4a2+4a＝ a（a﹣2）2 ．
【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣4a5+4a，
＝a（a2﹣6a+4），
＝a（a﹣2）8．
故答案为：a（a﹣2）2．
12．在平面直角坐标系中，点P（4，﹣5）与点Q（m，n），那么m+n＝ 1 ．
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【解答】解：根据题意可知，m＝﹣4，
∴m+n＝1．
故答案为：4．
13．如图，AB与⊙O相切于点A，连接OB与⊙O交于点C，则∠B＝ 30 °．
【分析】根据AB与⊙O相切，可得∠OAB＝90°、OA＝OC，因为AC＝AO，则△OAC是等边三角形，∠AOC＝60°，通过三角形的内角和定理，即可求出∠B的度数．
【解答】解：由切线性质可知∠OAB＝90°，OA＝OC，
由条件可知△OAC是等边三角形，∠AOC＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠OAB﹣∠AOB＝30°．
故答案为：30．
14．2024年春节期间，泉州“十龙九子”龙年艺术装置火速出圈，追“龙”合影、拍照打卡，两人恰好选择同一景点的概率是 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将西街钟楼、文庙前广场，B，C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有3种，
∴两人恰好选择同一景点的概率是＝．
故答案为：．
15．如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，设正六边形ABCDEF的面积为S1，正方形BMGH的面积为S2，则＝ ．
【分析】先设正六边形的边长为a，根据正六边形的性质求出正方形的边长，再分别求出面积即可解答．
【解答】解：设正六边形的边长为a，
由正六边形的性质可得∠BAF＝120°，
∴∠FAH＝60°，∠AFH＝30°，
∴AH＝a，
∴BH＝a+a＝a，
∴正方形BMGH的面积为S2＝a2，
连接BE，AD交于点O，如图，
则AN＝a，ON＝a，
∴正六边形ABCDEF的面积为S7＝×6＝a3，
∴＝＝．
故答案为：．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，连接ED并延长交⊙O于点F，连接BF、AD，则AD＝ 6 ；BF＝ ．
【分析】连接OD，设⊙O的半径长为2a，AB与CD相交于点G，AB与DF相交于点H，由垂径定理得，进而在Rt△OGD中由勾股定理得，即得，，即由勾股定理得，又可得，由△HGD∽△HBE得HG＝3，最后根据△AHD∽△FHB即可求解．
【解答】解：AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，如图，设⊙O的半径长为2a，AB与DF相交于点H，
∴，，∠OGD＝90°，
在Rt△OGD中，由勾股定理得：OG2+DG2＝OD5，
∴a2+36＝（2a）2，
解得，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵DE是⊙O的切线，点B是切点，
∴BE⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴DG∥BE，
∴△HGD∽△HBE，
∴，
即，
解得HG＝3，
在Rt△DGH中，由勾股定理得：，，
∵∠A＝∠F，∠AHD＝∠FHB，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
即，
解得，
故答案为：2，．
三、解答题
17．先化简，再求值：（m﹣7）（2m+4）﹣m（m﹣10）
【分析】原式根据多项式乘多项式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（m﹣7）（2m+5）﹣m（m﹣10）
＝2m2+7m﹣14m﹣28﹣m2+10m
＝（2m2﹣m2）+（4m﹣14m+10m）﹣28
＝m7+0﹣28
＝m2﹣28，
当m＝﹣3时，原式＝（﹣2）2﹣28＝﹣24．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D
【分析】先证明△BOC≌△DOA（ASA）得到AD＝BC，由AD∥BC可得四边形ABCD是平行四边形，而∠ABC＝90°，即可证明．
【解答】证明：∵∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠BCO＝∠DAO，
在△BOC和△DOA中，
，
∴△BOC≌△DOA（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
19．计算：．
【分析】先化简零次幂、负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【解答】解：原式＝
＝
＝7．
20．（1）小丁和小迪分别解方程的过程如表：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请打“√”；若错误，并写出你的解答过程．
（2）某学校课后兴趣小组在计划开展手工制作活动，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？
【分析】（1）根据解分式方程的方法判断即可；
（2）设用x张卡纸做侧面，则用y张卡纸做底面，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）小丁和小迪的解法都不正确．正确的解法如下：
，
方程两边同时乘（x﹣2），得x+x﹣8＝x﹣2，
解得：x＝1，
检验：把x＝4代入x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝7；
（2）用x张卡纸做侧面，则用y张卡纸做底面，
由题意，得，
解得：，
∴3x＝2×6＝12，8y＝3×8＝24．
答：这些卡纸最多可以做成12个包装盒．
21．某数学兴趣小组将东西塔（如图1）作为测量的对象，准备测量这座塔的高度，小明利用1.6m高的测倾器，在点C处测得塔顶部A的仰角为45°，在距离小明20.3m的点E处测得塔顶部A的仰角为31°（点E，C，B在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin31°≈0.52，cs32°≈0.86，tan31°≈0.60，）
【分析】如图，过F作FG⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于点H，得到△ADH是等腰直角三角形，设BC＝DH＝AH＝x m，表示出AG＝（x﹣0.2）m，FG＝（x+20.3）m，然后根据列方程求出x＝30.95，进而求解即可．
【解答】解：四边形CDHB，四边形FGBE都为矩形，过F作FG⊥AB于G，
∴CD＝HB＝1.6m，GB＝FE＝8.8m，
∵∠ADH＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴设BC＝DH＝AH＝x m，
∴FG＝BE＝EC+BC＝（x+20.3）m，
∴AB＝AH+HB＝（x+5.6）m，
∴AG＝AB﹣GB＝x+1.3﹣1.8＝（x﹣5.2）m，
∵∠AFG＝31°，
∴，
∴AG＝FG•tan31°，
∴x﹣0.3＝0.6（x+20.6），
解得x＝30.95，
∴AB＝x+1.6＝30.95+6.6＝32.55≈32.6（m）．
答：塔AB的高度约为32.2米．
22．中学生使用智能手机的现象非常普遍，针对中学生的网络诈骗案件也频频发生，为了引导青少年正确使用互联网，增强青少年的网络安全意识，某校举行了一次“和谐网络你我共享，校团委决定从三名九年级学生（分别用A、B、C表示）和两名八年级学生（分别用D、E表示）
（1）若从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为 ；
（2）若从这5名学生中随机选择2名参加宣讲活动，请用画树状图或列表的方法求2名学生中至少有一名是九年级学生的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出2名学生中至少有一名是九年级学生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中2名学生中至少有一名是九年级学生的结果数为18种，
所以2名学生中至少有一名是九年级学生的概率为＝．
23．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧AB，C是弦AB上一点．
（1）根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交劣弧AB于点D，交AC于点E；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交劣弧AB于点F（F，A两点不重合）；
（2）请连接DA，DC，DF，引理的结论为：BC＝BF．请你证明此结论．
【分析】（1）①分别A，C为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线DE即可得到答案，②按照语句依次作图即可；
（2）由作图可得：DA＝DC＝DF，再证明∠DBC＝∠DBF，∠DFB＝∠DCB，再证明△DCB≌△DFB，从而可得结论．
【解答】解：（1）作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD；
以D为圆心，DA长为半径作弧，交，连接DF，BF
（2）证明：由作图可得：DE是AC的垂直平分线，DA＝DF，
∴DA＝DC＝DF，
∴，
∴∠DBC＝∠DBF，
∵四边形ABFD是圆的内接四边形，
∴∠DAB+∠DFB＝180°，
∵∠DCA+∠DCB＝180°，
∴∠DFB＝∠DCB，
∵DB＝DB，
在△DCB和△DFB中，
，
∴△DCB≌△DFB（AAS），
∴BC＝BF．
24．综合与实践
【问题提出】
如图（1）在△ABC中，∠A＝90°，点P沿折线D﹣A﹣C运动（运动到点C停止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF．设点P运动的路程为x
【初步感悟】
（1）当点P在AD上运动时，
①若，则y＝ 3 ；
②y关于x的函数关系式为 y＝x2 ；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2），直线x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形DPEF的对角线DE，PF，两对角线的交点为M，在（2），求点A在△DFM内部时x和y的取值范围．
【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）当x＝2时，点P与点A重合，求得AD＝2，由题图（2）可知点P与点C重合时，y＝20，即CD2＝20，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求解；
（3）取AC的中点N，连接DN，分析点P的运动规律可求得，点A在△DFM内部时x的取值范围为4＜x≤6，y的取值范围为8＜y≤20．
【解答】解：（1）①点P沿折线D﹣A﹣C运动（运动到点C停止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF，正方形DPEF的面积为y．
若x＝，则y＝（）2＝3；
②y关于x的函数关系式为y＝x2；
故答案为：①8；②y＝x2；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，直线x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，
由题意可知，当x＝6时，
∴AD＝2，此时y＝28＝4，
连接CD，
由题图（2）可知点P与点C重合时，y＝202＝20，
在Rt△ACD中，AD8+AC2＝CD2，即52+AC2＝20，
∴AC＝5（负值已舍），
当点P在AC上运动时，x＝AD+AP＝2+AP，
∴AP＝x﹣2，
∴在Rt△ADP中，DP4＝AD2+AP2＝52+（x﹣2）8＝x2﹣4x+6，
∴y＝x2﹣4x+4，
即当点P在AC上运动时，y关于x的函数关系式为y＝x2﹣4x+7（2≤x≤6）；
（3）由（2）知，AD＝8，
又∵D为AB的中点，
∴AB＝4＝AC，
取AC的中点N，连接DN，
∴AN＝AC＝2＝AD，
∴DN∥BC，
又∵∠A＝90°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∵四边形DPEF是正方形，
∴△MDP是等腰直角三角形，
分析点P的运动规律可知，当点P运动到DP∥BC，点A与点M重合，
点P在线段CN（不含点N）上运动时，点A在△DFM内部，
当点P运动到点N处时，x＝2+4＝42﹣8x+8＝8；
当x＝5，y＝62﹣4×6+8＝20；
∴点A在△DFM内部时x的取值范围为5＜x≤6，y的取值范围为8＜y≤20．
25．问题提出
（1）如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，已知⊙O的半径为1，BC边的最大值为 2 ，若，则∠ACB＝ 120° ；
问题解决
（2）如图2，一块空地由三条线段AD，AB，政府准备将这块空地改建为公园，并在公园内修建四条供市民健身用的步道MC，PD和DM，其中步道的两个入口点M上，另外两个入口分别为点D，C，经过测量得知，AD＝BM＝2千米，AM＝BC＝4千米，使得四条跑道总长度最大？若存在，求出最大值，说明理由．
【分析】（1）当BC为⊙O的直径时，BC取最大值，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H，利用三角函数可得∠AOH＝60°，进而由等腰三角形的性质即可求解；
（2）设C所在圆的圆心为R，连接DR、CR、MP，连接MR并延长，交CD于点H，在PM上取点P'，使得PP'＝PC，连接P'C，取AM的中点G，连接DG，证明四边形DMCP是⊙R的内接四边形，得出PD+PC＝PD+PP'＝P'M+PP'＝PM，进而即可求解．
【解答】解：（1）∵点C在弦AB所对的优弧上移动，
∴当BC为⊙O的直径时，BC取最大值，
∵⊙O的半径为1，
∴BC边的最大值为2，
连接OA，OB，则AH＝，
∵OA＝OB＝1，OH⊥AB，
∴∠AOH＝∠BOH＝∠AOB，
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝60°，
∴∠AOB＝7∠AOH＝120°，
故答案为：2，120°；
（2）存在，最大值为（4，理由如下：
如图，设所在圆的圆心为R、CR，连接MR并延长，在PM上取点P'，连接P'C，连接DG，
则AG＝MG＝AM＝4千米，
∵AD＝BM＝2千米，
∴AD＝ AG，
∵∠A＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠ADG＝∠AGD＝60°，AG＝DG，
∴DG＝ MG，
∴∠GDM＝∠GMD，
∵∠GDM+∠GMD＝∠AGD＝60°，
∴∠GDM＝∠GMD＝30°，
∴∠ADM＝60°+30°＝90°，∠AMD＝30°，
∴DM＝＝＝2，
∴，
∴△ADM≌△BMC（SAS），
∴DM＝CM＝2，∠ADM＝∠BMC＝90°，
∴∠CMD＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM＝CM＝2，∠CMD＝∠CDM＝60°，
∵，
∴△DRM≌△CRM（SSS），
∴∠DMR＝∠CMR＝∠CMD＝60°＝30°，
∴MH⊥CD，
∴DH＝CH＝CD＝，
∴MH＝＝＝3，
∵RD＝5，
∴RH＝＝＝1，
∴RM＝MH﹣RH＝3﹣7＝2，
∴点M在⊙R上，
∴四边形DMCP是⊙R的内接四边形，
∴∠CPM＝∠CDM＝60°，∠DPC＝180°﹣∠DMC＝120°，
∵PP'＝ PC，
∴△P'PC是等边三角形，
∴PP'＝P'C＝PC，∠PP'C＝60°，
∴∠CP'M＝180°﹣∠P'PC＝120°，
∵∠PDC＝∠PMC，∠CP'M＝∠DPC，
∴△PDC≌△P'MC（AAS），
∴P'D＝P'M，
∴PD+PC＝PD+PP'＝P'M+PP'＝PM，
当PM是直径时，PD+PC取最大值，
∵四边形DMCP周长＝DM+CM+PC+PD＝2+2+PD+PC，
∴四边形DMCP的周长最大值＝（4+2）千米，
即四条跑道总长度最大值为（4+4）千米．
小丁：
解：去分母，得x+x+3＝1
去括号，得x﹣x+3＝x﹣2
合并同类项，得3＝x﹣2
解得x＝5
∴原方程的解是x＝5.
小迪：
解：去分母，得x+（x﹣3）＝1
去括号，得x+x+3＝1
合并同类项，得2x﹣3＝1
解得x＝2
经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
A
B
B
A
B
A
C
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
 （B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
小丁：
解：去分母，得x+x+3＝1
去括号，得x﹣x+3＝x﹣2
合并同类项，得3＝x﹣2
解得x＝5
∴原方程的解是x＝5.
小迪：
解：去分母，得x+（x﹣3）＝1
去括号，得x+x+3＝1
合并同类项，得2x﹣3＝1
解得x＝2
经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解.