2025年江苏省淮安市淮安区中考数学联考试卷（3月份）（原卷版+解析版）

这是一份2025年江苏省淮安市淮安区中考数学联考试卷（3月份）（原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
2. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （1，5）B. （2，1）C. （2，5）D. （﹣1，5）
3. 如图，在中，，，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
4. 将向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：
；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．
其中正确的有
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
6. 在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（ ）
A. B. C. 2D.
7. 如图，已知抛物线部分图像如图所示，则下列结论：
①；②关于x的一元二次方程的根是；③；④y的最大值．
其中正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 如图，二次函数 与轴交点的横坐标为与轴正半轴的交点为，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，共48分．
9. 用计算器求的值，按键顺序是_____．
10. 任写一个开口向上，对称轴为轴的二次函数解析式________________．
11. 如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为________m（精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7）
12. 由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点，，都在格点网格线的交点)上，若，则的值为______．
13. 已知二次函数，过，，假设，则，的大小关系是______．
14. 如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接，交于点，则的长为________．
15. 如图，将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作于点，连接，则______；若，则的长等于______．
16. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．如图，B为的黄金分割点，若，则的长为______．（结果保留根号）
17. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：________．（填“”，“”或“”）
18. 如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线．回答下列问题：
（1）抛物线的解析式是_____，顶点坐标为_____；
（2）阴影部分面积_____；
（3）若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线解析式为_____，开口方向_____，顶点坐标为_____．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：cs30°•tan60°+4sin30°．
20. 计算：．
21. 已知抛物线y=x(x-2)+2，用配方法把这个抛物线的表达式化成y=a(x+m)2+k的形式，并写出它的顶点坐标．
22. 计算：
23. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图所示的统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为________，扇形统计图中的________，条形统计图中的________．
（2）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足的人数．
24. 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为8米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）寒假来临之际，该活动中心工作人员设计了5米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于地面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
25. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB=8，CE=3，求△ABC的周长．
26. 在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0）．直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达O点时，点P停止移动．连结PB，PC，设运动时间为秒．
（1）求D点坐标；
（2）当△PBC为等腰三角形时，求P点坐标；
（3）若点P，Q在运动过程中存在某一时刻，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，求P的运动速度a的值．
27. 如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．
（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；
（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．
2025年江苏省淮安市淮安区中考数学联考试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：A．
2. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （1，5）B. （2，1）C. （2，5）D. （﹣1，5）
【答案】A
【解析】
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3. 如图，在中，，，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算出，再根据三角函数的定义，即可得解．
【详解】解：根据勾股定理可得，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数，牢固掌握相关知识是解题关键．
4. 将向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据函数图像平移法则：“上加下减”得：
抛物线向上平移2个单位得到抛物线的解析式为．
故选：A．
5. 抛物线的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：
；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．
其中正确的有
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
【详解】对称轴是y轴的右侧，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故错误，不符合题意；
，
，，故正确，符合题意；
由图像得：时，与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确，符合题意；
抛物线的对称轴是，
有最大值是，
点在该抛物线上，
，故正确，符合题意，
本题正确的结论有：，4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解答本题的关键.
6. 在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在中，，，
∴，
故选：B．
7. 如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论：
①；②关于x一元二次方程的根是；③；④y的最大值．
其中正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线开口方向、对称轴以及图像与y轴交点位置可以判定①；根据抛物线的对称性可以得知与x轴的另一个交点坐标，于是可以判定②；利用的函数值与对称轴可以判定③④；于是可以得出答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，
故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
抛物线与x轴另一个交点为，
关于x的一元二次方程的根是；
故②正确；
当时，，
，
，
即，
即，
故③正确；
当时，函数有最大值，
，
故④正确；
故正确的结论有①②③④共4个；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解答此题的关键．
8. 如图，二次函数 与轴交点的横坐标为与轴正半轴的交点为，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点判断A选项，根据当时，，判断B选项，根据开口方向以及对称轴，与轴的交点，判断C选项，根据可得对称轴，继而判断D选项，即可求解．
详解】由图象可知，抛物线与轴有两个交点，
∴，
故A错误，不符合题意；
由图象可知当时，，
故B错误，不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，
．
抛物线与轴的交点是，和，，其中，
对称轴，
．
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故C错误，不符合题意；
∵，，
，
，
，
即，
故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题：本题共10小题，共48分．
9. 用计算器求的值，按键顺序是_____．
【答案】MODE，tan，35，=．
【解析】
【分析】根据计算器中对应的已知一个角的正切值求这个角的算法求解即可．
【详解】解：先按MODE，选择模式；再键tan，35，最后按=；可得到这个角的函数值．
故答案为：MODE，tan，35，=
【点睛】本题考查计算器—三角函数，要求同学们能熟练应用计算器，会用计算器进行计算．
10. 任写一个开口向上，对称轴为轴的二次函数解析式________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：二次函数开口向上说明，对称轴为y轴，则有该二次函数解析式可以为；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11. 如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为________m（精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7）
【答案】59
【解析】
【分析】利用BC的长和的正切值求AC的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝35°，BC＝41m，
∴tan∠BAC＝，
∴AC＝＝≈59（m）．
故答案为：59．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用题目中的信息结合锐角三角函数解直角三角形．
12. 由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点，，都在格点网格线的交点)上，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接、，先证明，、、共线，再根据，求出、即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
设菱形的边长为，由题意得，，
，，
，
，
，
、、共线，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
13. 已知二次函数，过，，假设，则，的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数的对称轴和开口方向，然后根据可知到的距离大于到的距离，从而可以判断，的大小关系．
【详解】解：二次函数，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14. 如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接，交于点，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．过点作于点，由旋转的性质推出，，利用锐角三角函数分别求出，，的长，即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，
由旋转知：，，，
，
在中，，
在中，，
在中，，，
故答案为：．
15. 如图，将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作于点，连接，则______；若，则的长等于______．
【答案】 ①. 45 ②.
【解析】
【分析】由旋转的性质得，，由三角形内角和得出，根据正方形的性质得出，结合三角形内角和得出，即可求出；连接，可得和，即可证明，得，即可求得．
【详解】解：由旋转的性质可得出，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：45
连接，如图，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到对应边角之间的关系和构造相似三角形．
16. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．如图，B为的黄金分割点，若，则的长为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，即，
解得，，，
故答案为：．
17. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：________．（填“”，“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】二次函数是轴对称图形，则可根据对称轴求得点关于对称轴的对称点为（5,y3），由于（5,y3）和（3,y2）两个点均位于抛物线递增段，故可直接判断.
【详解】∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
设关于对称轴的对称点为（x3，y3），
，解得x3=5，则其点坐标为（5,y3），
∵抛物线开口向上，且对称轴为x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵5＞2，
∴y1= y3＞y2，
故答案为＞.
【点睛】二次函数图像是周对称图形，其函数增减性以对称轴为界，一增一减，因此在比较函数值大小时一定要放在对称轴的同一侧才能进行比较.
18. 如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线．回答下列问题：
（1）抛物线的解析式是_____，顶点坐标为_____；
（2）阴影部分的面积_____；
（3）若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的解析式为_____，开口方向_____，顶点坐标为_____．
【答案】 ①. ②. ③. 2 ④. ⑤. 向上 ⑥.
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换．
（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可；
（2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可；
（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式．
【详解】解：（1）∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，
∴抛物线的解析式是，顶点坐标为．
故答案为：，；
（2）阴影部分的面积是：．
故答案为：2；
（3）∵将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线的顶点坐标为：，
∴抛物线的解析式为，开口方向向上．
故答案为：，向上，．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：cs30°•tan60°+4sin30°．
【答案】．
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】原式＝×+4×，
＝+2，
＝．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】将特殊角的三角形函数值代入，然后去括号，绝对值，最后进行计算即可得．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查二次根式的加减混合运算，绝对值，特殊角的三角函数值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
21. 已知抛物线y=x(x-2)+2，用配方法把这个抛物线的表达式化成y=a(x+m)2+k的形式，并写出它的顶点坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；
【详解】解：y=x（x-2）+2
=x2-2x+2
=（x-1）2+1，
它的顶点坐标为：（1，1）；
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，正确得出抛物线的顶点式是解题的关键．
22. 计算：
【答案】1+
【解析】
【分析】首先将特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的混合运算即可求解．
【详解】解：
＝
＝
＝1+．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．
23. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图所示的统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为________，扇形统计图中的________，条形统计图中的________．
（2）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足的人数．
【答案】（1）50，8，15
（2）960人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体：
（1）根据睡眠5小时的人数和所占的百分比可以计算出本次接受调查的初中学生人数，再根据条形统计图中的数据，即可计算出m和n的值；
（2）根据统计图中的数据，可以得出接受调查的学生每天睡眠时间不足8小时的占比，再乘总人数，从而计算出该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数．
小问1详解】
解：本次接受调查的初中学生有（人），
，（人），
∴，
故答案为：50，8，15；
【小问2详解】
解：解：由题意得（人），
故该校初中学生每天睡眠时间不足的约有960人．
24. 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为8米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）寒假来临之际，该活动中心工作人员设计了5米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于地面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，求出B，C点的坐标，进而求出点P的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的x的值，再结合抛物线开口向下，进而可以判断得解．
【小问1详解】
解：∵矩形，米，米，
∴米，米，
∴，，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由题意，当时：，
解得：，，
∵抛物线开口向下，
∴当时，，
∵条幅与的水平距离为米，
∴．
25. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB=8，CE=3，求△ABC周长．
【答案】（1）见解析；
（2）△ABC的周长为19.2
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质、等边对等角和平行线的性质得到∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到，从而得到△ABC的周长．
【小问1详解】
证明：∵ACDE，
∴∠CDE＝∠ACD，
∵CD是 Rt△ABC斜边AB中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ABC∽△DEC；
【小问2详解】
解∵CD是Rt△ABC斜边AB中线，
∴AB＝2CD＝8，
∴CD=4，
∵CD⊥CE，CE=3，
∴DE＝＝5，
∴△DCE的周长为3+4+5=12，
∵△ABC∽△DEC，
∴=，
∴△ABC的周长＝×12＝=19.2.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理和平行线的性质．
26. 在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0）．直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达O点时，点P停止移动．连结PB，PC，设运动时间为秒．
（1）求D点坐标；
（2）当△PBC为等腰三角形时，求P点坐标；
（3）若点P，Q在运动过程中存在某一时刻，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，求P的运动速度a的值．
【答案】（1）（4，3）；（2）或；（3），，或．
【解析】
【分析】（1）把y=3代入，解得x值，即可得到点D的坐标；
（2）①当点P恰好在BC的垂直平分线上时，求得点P的坐标为；②以B为圆心，BC长为半径作弧，交直线于两点，求得这两点的坐标，不合题意的舍去；
（3）当∠OQP=90°时，则可设PQ=3k，OQ=4k，OP=5k，若，或若，分别求a的值；当∠OPQ=90°，过P作PM⊥OQ于点M，若，或若，分别求a的值．
【详解】解：（1）把y=3代入，解得x=4，所以点D的坐标为（4，3）；
（2）①作BC的垂直平分线，交直线于点P，
此时，点P的纵坐标为，把y=代入，
解得x=2，所以点P的坐标为；
以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交直线于点和，
过作E⊥AB，垂足为E，设点的横坐标为x，则纵坐标为，
由勾股定理得，
解得，，
当时，y=，即点P的坐标为，
当x=8时，y=6，6-3=3，不能构成三角形，故舍去．
综上，当△PBC为等腰三角形时，P点坐标为或．
（3）当∠OQP=90°时，则可设PQ=3k，OQ=4k，OP=5k，
若，则CQ=t=4，OQ=4k=4，k=1，OP=5=4a，解得a=；
若，则CQ=t=，OQ=4k=8-=，k=，OP=5×=a，
解得a=；
当∠OPQ=90°，过P作PM⊥OQ于点M，设PM=3k，OM=4k，OP=5k，
则OQ=，
若，则CQ=t=4，OQ==4，k=，OP=5×=4a，
解得a=；
若，则CQ=t=，OQ==8-=，k=，OP=5×=a，
解得a=．
综上，以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，
P的运动速度a的值为，，或．
27. 如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．
（1）求反比例函数（k≠0）的表达式；
（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．
【答案】（1） ；（2），F（﹣3，4﹣2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质得出CD＝4，进而求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据勾股定理求得MG，即可求得OG，通过证得△EGM∽△GFN，求得GN，从而求得F的坐标．
【详解】解：（1）设DC与y轴的交于点M，
∵C（1，4），
∴BC＝4，MC＝1，
∵四边形ABCD正方形，
∴CD＝BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴，
∴EM＝EC﹣MC＝1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝xy＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数为；
（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，
由折叠可知，DE＝EG＝2，∠FGE＝∠D＝90°，
在Rt△GME中，∠GME＝90°，
∴．
∴OG＝OM﹣MG＝，
∵∠FNG＝∠FGE＝∠GME＝90°，
∴∠FGN+∠EGM＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，
∴∠EGM＝∠GFN，
∴△EGM∽△GFN，
∴，
∴，
∴，
∴ON＝OM﹣MG﹣GN＝，
∴．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、翻折变换（折叠问题）、正方形的性质、待定系数法求反比例函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．