河南省驻马店市平舆县2025届九年级上学期期中学情测试数学试卷(含答案)

这是一份河南省驻马店市平舆县2025届九年级上学期期中学情测试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了《九章算术》“勾股”章有一题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。写在试卷上的答案无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．
A．B．C．D．
2．关于二次函数，下列说法中不正确的是（）．
A．当时，的对称轴是轴B．当时，总取正值
C．当时，函数图象有最高点D．当时，随着的增大而增大
3．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象大致为（）．
A．B．C．D．
4．将一元二次方程化成的形式，则的值是（）．
A．－8B．－4C．4D．8
5．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为－3和1，那么抛物线
的对称轴是（）．
A．直线B．直线C．轴D．直线
6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：今有一门，高比宽多6尺8寸，门的对角线长恰好为1丈，问门高、宽各是多少．（1丈尺，1尺寸）若设门宽为寸，则下列方程中，符合题意的是（）．
A．B．
C．D．
7．如图1，在平行四边形中，已知于点，以点为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，得到，连接．若，则的大小是（）．
A．B．C．D．
8．如图2，是的半径，弦于点，若，则的值是（）．
A．B．C．D．
9．已知二次函数的图象上有三个点，则的大小关系为（）．
A．B．C．D．
10．如图3，一段抛物线，记为，它与轴交于点；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；；如此进行下去，直至得．若点在第段抛物线上，则，的值分别为（）．
A．2，13B．1，13C．-1，12D．-2，12
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.点，关于原点的对称点的坐标为_____．
12．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____．
13．如图4，将矩形绕点顺时针旋转到的位置，旋转角为．若，则_____．
14．如图5，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴的交点为，与轴的交点为A，B．有下列结论：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，．其中正确结论的序号是_____．
15．已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
17．（6分）已知关于的函数为二次函数．
（1）求的值；
（2）求二次函数的表达式．
18．（6分）在平面直角坐标系中，点的坐标是（0，3），点在轴上，将绕点逆时针方向旋转得到，点O，B的对应点分别是E，F.
（1）若点B的坐标是（-4，0），请在图6中画出，并写出点，的坐标；
（2）当点落在轴上方时，试写出一个符合条件的点的坐标．
19．（9分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“连根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值．
20．（11分）如图7所示，已知直线过抛物线的顶点．
（1）顶点的坐标是_____
（2）若直线经过另一点，求出该直线对应的函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若直线与直线关于轴成轴对称，求直线与抛物线的交点坐标．
21．（10分）商场销售的某种商品，每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件．受经济形势的影响，该商品销量受到影响．为刺激消费，商场决定让利于顾客，经调查发现：该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）当该商品售价降低6元时，每天销售量可达到_____件，每天盈利_____元；
（2）为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元?
（3）在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是_____．
22．（10分）如图8，是的直径，弦和相交于点，且是垂足．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，求的值．
23．（11分）如图9，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，，顶点为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长．
（3）抛物线上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2024－2025学年度上学期期中学情测评
九年级数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1－5BADDB6－10DCDCA
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2，－5）12．913．14．①④（答对一个给1分）
15．－2，6或－12（答对一个给1分）
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）
解：（1），即或，
．
（2）因式分解，得，
．
（3）因式分解，得，
．
（4）观察数字特征，得，
，
，．
注：答案正确，方法合理，即可给分．
17．（6分）
解：是关于的二次函数，
且，
或．当时，（舍去），
．
（2）当时，．
18．（6分）
解：（1）如图，就是所求作的三角形；点的坐标是（3，3），点的坐标是．
（2）答案不唯一，如点．
提示：由于旋转后轴，点的坐标是（3，3），所以当点落在轴上方时，只要，即即可，从而符合条件的点的坐标可以是等，因此答案不唯一，属于开放性问题．
19．（9分）
解：（1）由，解得．又，符合“连根方程”的定义，故方程是“连根方程”．
（2）解方程得．
，是“连根方程”，
，或，即或．
或．
当时，，符合题意；
当时，，也符合题意．
或．
20．（11分）
解：（1）顶点．
（2）直线过和（0，11），代入，得
直线对应的函数的解析式为．
（3）在（2）的条件下，如图，与轴的交点是，
点关于轴的对应点是，
于是代入中，得
．联立得
，解得．
交点坐标为（－2，3）和（7，－60）．
21．（10分）
解：（1）根据题意知，当该商品售价降低6元时，则现在的售价是元，售出（件），每件的利润是（元），因此利润为（元）．答：当商品售价降低6元时，每天销售量可达到32件，每天盈利608元．
（2）设每件商品降价元，则现在售价是（125－x）元，利润是（25－x）元，售出件数是件，利润达到600元，
，
解方程得．
为了让顾客得到更多的实惠，，即商品降价10元．
答：为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价10元时，商场通过销售这种商品每
天的盈利可达到600元．
（3）在（2）的条件下，售价是元，利润是元，
利润率是．
22．（10分）解：（1）证明：是垂足，
（垂径定理）．
又是等腰直角三角形，
．
（2）由（1）知，，
．
连接，则由，
．
23．（11分）
解：（1）由题图及，得．把A，C坐标带入中，
故．
（2）要使的周长最小，转化为“将军饮马”问题，定点和到动点之间的距离之和最小，而．
故为与对称轴的交点时，的周长最小．
由，得，由，得对称轴．如图，点A，B关于对称，与的交点即为点，
则故．
由，得．
故的周长最小值为．
（3）在中，边上的高为，又，则在抛物线上到的距离为3的点均满足条件．如图，设，由在轴上，得．
①当时，即，解得；
②当时，即，解得或0（与点重合，舍去）．
故点存在，其坐标为．