四川省德阳市第五中学2024-2025学年下学期八年级3月核心素养监测 数学试题（含解析）

这是一份四川省德阳市第五中学2024-2025学年下学期八年级3月核心素养监测 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 根式中，最简二次根式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得．
【详解】解：，则不是最简二次根式；
，则不是最简二次根式；
立方根，则不是最简二次根式；
都是最简二次根式，共有3个；
故选：C．
2. 以下各式中计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. ，故该选项正确，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式化简，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
3. 已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( )
A. 5B. 1C. 2m－1D. 2m－5
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可.
【详解】解：∵-2＜m＜3，
∴m-3＜0，m+2＞0，
∴＋|m＋2|=3-m+m+2=5．
故选A
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．
4. 一个直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边长为（ ）
A. 10B. 8C. 或8D. 10或8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的化简，熟练掌握勾股定理是解题关键．分两种情况：①当6和8都是直角三角形的直角边长时，利用勾股定理求解即可得；②当6是直角边长，8是斜边长时，利用勾股定理求出另一直角边长，由此即可得．
【详解】解：①当6和8都是直角三角形的直角边长时，斜边长为；
②当6是直角边长，8是斜边长时，另一直角边长为，符合题意；
综上，斜边长为10或8，
故选：D．
5. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 在中，若，则是直角三角形
B. 在中，若，则直角三角形
C. 在中，若，则是直角三角形
D. 在中，若，则是等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平方差公式、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据三角形的内角和定理可得的大小，由此即可判断选项A是假命题；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B是真命题；根据三角形的内角和定理可得的大小，由此即可判断选项C是真命题；根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定即可判断选项D是真命题．
【详解】解：A、若，
∴，，，
∴不是直角三角形，则此项是假命题；
B、若，
∴，即，
∴是直角三角形，则此项是真命题；
C、若，
∴，，，
∴是直角三角形，则此项是真命题；
D、若，
∴设，则，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，则此项是真命题；
故选：A．
6. 如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB＝AC利用两点间的距离公式便可解答．
【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，
∴AB＝−1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB．
∴点C的坐标为：1−（−1）＝2−，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴上两点间的距离，求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离，掌握利用数轴上的两点数求解两点间的距离是解题的关键．
7. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、完全平方公式等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
则
，
故选：C．
8. 两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A. 南偏东B. 北偏西C. 南偏东或北偏西D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
9. 将式子根式外的因式移到根式内的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得．
【详解】解：由题意得：，且，
∴，
则
，
故选：C．
10. 如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ）
A. 12cmB. 17cmC. 20cmD. 25cm
【答案】B
【解析】
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm
由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6
∴BD=DE+BE=8
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式可知，代数式的最小值为的最小值，利用将军饮马问题，确定点关于轴对称的点的坐标，求出该点与点之间的距离，即为所求．
【详解】解：∵，，，
∴，
设点关于轴的对称点为，
则：，
∵，
∴的最小值为，
即：；
故选C．
【点睛】本题考查求代数式的最小值．将求代数式的最小值转化为求线段的和最小问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
12. 如图，在中，AB=AC，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①②③④C. ①③④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①中证明，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接，如图所示：

∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共4×6=24分）
13. 在实数范围内分解因式：x3﹣2x＝_____．
【答案】x（x+）（x﹣）．
【解析】
【分析】提取公因式x后运用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：x3﹣2x＝x（x2﹣2）＝x（x+）（x﹣）．
【点睛】本题考查提公因式法、平方差公式分解因式，把2写成（）2是继续利用平方差公式进行因式分解的关键．
14. 已知的整数部分为，小数部分为，则=___________．
【答案】11
【解析】
【分析】此题考查估算无理数的大小，分母有理化，二次根式的乘法运算，解题关键在于得到的整数部分．
先进行分母有理化，因为，由此得到，即可得到，再代入计算求解．
【详解】解：
，
∴
，
故答案为：11．
15. 在中，，，边上的高，则边之长等于______．
【答案】14或4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，注意分类讨论是解题的关键．
根据题意作出两个图，分两种情况分别求解即可．
【详解】①如图，在中，，，边上的高，

∴，
，
∴．
②如图，在中，，，边上的高，

∴，
，
∴．
16. 如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、…，则的直角顶点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点坐标的规律探索、勾股定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出，，再找出规律的直角顶点的坐标为，其中为正整数，由此即可得．
【详解】解：∵、，，
∴，，
由图可知，的直角顶点的坐标为，即为，
的直角顶点的坐标为，即为，
的直角顶点的坐标为，即为，
归纳类推得：的直角顶点的坐标为，其中为正整数，
∵，
∴的直角顶点的坐标为，即为，
故答案为：．
17. 如图，，，，，，四边形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】将、分别沿、折叠，得到和，证明E、B、C、F四点共线，进而证明为等腰直角三角形，求出其面积；证明为直角三角形，求出其面积，问题即可解决．
【详解】解：∵，
∴设，则，，
如图，将、分别沿、折叠，得到和；
则，，
，，，；
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴E、B、C、F四点共线；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴的面积；
∵，
∴为直角三角形；
，
由勾股定理得：，
∴，
解得 ，，，
∴的面积＝；
设、、的面积分别为a，b，c，则和的面积分别为a和b，
∴，而，
∴，
即四边形的面积为．
故答案为：
【点睛】本题以三角形为载体，以翻折变换为方法，考查了折叠的性质、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式等，能根据题意通过翻折变换构造图形是解决本题的关键.
18. 已知：如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，则结论正确的是___________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；根据全等三角形的性质可得，设交于点，根据可得，则，由此即可判断②正确；根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差、等量代换即可判断③正确；根据勾股定理可得，，再根据可得，由此即可判断④错误．
【详解】解：∵，
∴，即，
和中，
，
∴，
∴，，则结论①正确；
如图，设交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，则结论②正确；
∵，，
∴，
∴，则结论③正确；
∵，，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，则结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题
19. 计算题
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂与零指数幂、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算二次根式的乘法与除法，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先计算积的乘方的逆用、负整数指数幂与零指数幂、二次根式的化简，再计算二次根式的加减法即可得．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
20. （1）已知，，求的值．
（2）先化简，后求值： ， 其中 ．
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】（1）先求出，，，再利用求值即可；
（2）先由得，，化简得，从而得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，，
∴
（2）∵，
∴，
∴
，
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键．
21. 已知为的三边，且，判断的形状，并说明理由．
【答案】是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、等腰三角形的判定、绝对值和偶次方的非负性、完全平方公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据已知等式可得，从而可得，，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定即可得．
【详解】解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
22. 在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：设这棵树高米，即米，
由题意得：，米，米，
∴米，
∵两只猴子所经过的距离相等，
∴，即，
∴（米），
在中，，即，
解得，
即，
答：这棵树高米．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，满足．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）如图1，两动点P、Q同时出发，P点从B点出发向左以每秒1个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向右移动．设运动时间为秒，当时，在x轴上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，，
【解析】
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出a，进而求出b即可解答；
（2）先根据图形分别确定△PCQ、△AOQ在PC、OQ上的高，再用t表示出PC、OQ的长，然后根据求出t，确定P、Q的坐标；设M（a，0），然后表示出QM的长，再根据 列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵
∴ ，解得a=4
∴b=2
∴，．
【小问2详解】
解：存在
∵，
∴△PCQ、△AOQ在PC、OQ上的高分别是2、4
由题意可得：PC=6-t，OQ=2t
∵
∴，解得t=
∴P(,2)，Q(,0)
设M（a，0）,QM=|-a|
由题意可得：△PMQ在MQ上的高为2
∵
∴，即，解得a=或
∴，．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、三角形的面积、坐标与图形等知识点，解题的关键是确定P、Q两点的坐标．
24. 如图1，一张长方形纸片，其中，，先沿对角线对折，点C落在点的位置，交于点G．
（1）求的面积；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕，交于点M，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，，，则，然后根据等腰三角形的判定可得，最后设，在中，利用勾股定理可得的长，利用三角形的面积公式计算即可得；
（2）先求出，，再利用勾股定理可得，然后根据平行线的性质、折叠的性质可得，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【小问1详解】
解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴的面积为．
【小问2详解】
解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴的长为．
25. 如图1，中，于，且．
（1）试说明等腰三角形；
（2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）．
①若的边与平行，求的值；
②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①5或6；②9或10或
【解析】
【分析】（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
（2）由的面积求出、、、；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：证明：设，，，
则，
在中，，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
，而，
，
则，，，．
①当时，，
即，
，
当时，，
得：，
若的边与平行时，值为5或6．
②点是边的中点，，
，
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点作于，如图3所示：
，
，
在中，；
，，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为9或10或．
故答案为：9或10或．
【点睛】此题是三角综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想．