辽宁省沈阳市南昌中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市南昌中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级 数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10道题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，由，可分别求出a，b，c的值，根据边长可判断三角形的形状．
【详解】解：，
，，，
，，．
∴，
此三角形是等腰三角形．
故选：A．
2. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，
故选A．
3. 如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ）
A. 8cmB. 10cmC. 11cmD. 8cm或10cm
【答案】B
【解析】
【详解】解：当2cm为腰时，三边为2cm，2cm，4cm，
因为2+2=4，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
当4cm腰时，三边分别为4cm，4cm，2cm，
因符合三角形三边关系，则此时其周长=4+4+2=10(cm)．
故选B．
4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系（ ）
A. BD=ABB. BD=ABC. BD=ABD. BD=AB
【答案】C
【解析】
【分析】利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠BCD=∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=BC，BC=AB，进而可得答案.
【详解】∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠A=30°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∴BD=BC，BC=AB，
∴BD=AB
故选C.
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边，等于斜边的一半，熟练掌握相关性质是解题关键.
5. 下列条件不能判断是等边三角形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意；
C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；
故选：B．
6. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（ ）

A. 最大B. 最大C. 最大D. 四个一样大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
【详解】解：由平移可知，
中小路面积，
中小路面积，
中小路面积，
中小路面积，
∴四条小路面积大小一样，
故选：．
7. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
8. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤即可判断，先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，正确理解反证法的步骤是解题的关键．
【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，
所以，正确的步骤是
假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设；
，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角；
正确顺序的序号为：，
故选：．
9. 元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边中线的交点D. 三边上高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解．
【详解】解：3名同学站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行，
∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
10. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论．
【详解】解：如图，过点P作于M，于N，

∵平分，
∴，．
∴．
∴此时，是等边三角形．
当M向方向移动，N向方向移动，且．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
∴当M向方向移动，N向方向移动，
∴是等边三角形．
同理：当M向方向移动，N向方向移动．
综上：满足条件的有无数个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5道题，每题3分，共15分）
11. 如图，将向右平移得到，且点，，，在同一条直线上，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得，，结合，，求出，即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键．
【详解】解：由平移的性质可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 边长为的等边三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作，则是等边底边上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得，所以，在直角中，利用勾股定理，可求出的长，代入面积计算公式，解答出即可；
【详解】解：作，
是等边三角形，，
，
在直角中，
，
；
故答案为．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想．
13. 如图，在中，是它的角平分线，，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，于，由角平分线的性质定理可得，再表示出，，由此即可得解．
【详解】解：如图：作于，于，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为______________．
【答案】（1，3）或（5，1）
【解析】
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，进行求解即可．
【详解】解：①如图1，当A平移到点C时，
∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，
平移后的B坐标为（1，3），
②如图2，当B平移到点C时，
∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，
∴平移后的A坐标为（5，1），
故答案为：（1，3）或（5，1）
【点睛】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．
15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________．

【答案】或或
【解析】
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，

由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，

，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 如图，，分别是的中线和角平分线，．
（1）若的面积是20，且，求的长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出．
【小问1详解】
解：是的中线，．
，
的面积是20，且，
，
，
；
【小问2详解】
是的中线，，，
，．
是的角平分线，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．
17. 如图，在四边形中，，平分，于点，于点，连接．
（1）证明：；
（2）若，证明：是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得，然后等角对等边，即可作答．
（2）先证明是等腰三角形，运用三线合一得是的中点，运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行证明是等边三角形，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴是等腰三角形，
∵于点，
∴是的中点，
∵，于点，
∴，
∵是的中点，于点，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为，，，．
（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
（2）直接写出以，，，为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，直接写出两个符合题意的点E坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或或或
【解析】
【分析】本题考查了作图—旋转变换、利用网格求面积、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可得解；
（2）利用割补法列式计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义并结合图形即可得解．
【小问1详解】
解：如图：即为所求，
；
【小问2详解】
解：以，，，为顶点的四边形的面积为；
【小问3详解】
解：由图可得：点E坐标为或或或．
19. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向．
（1）求B处到灯塔C的距离；
（2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
【答案】（1）30海里
（2）有触礁的危险，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得；
（2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由已知条件可得：，，，
，
，
，
B处到灯塔C的距离为30海里；
【小问2详解】
解：有触礁的危险．理由如下：
过C作交AB延长线于点D，
，，
，
∵，
若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键．
20. 求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半．（写出已知、求证，画出草图并证明）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形外角的定义及性质、直角三角形的性质，写出已知、求证，再由三角形外角的定义及性质得出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：已知：如图，在中，，，为边上的高，
求证：，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，使与关于直线对称．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）此时A点坐标为 ；C点坐标为 ．
（2）若作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点D、E，使，且与的面积相等．此时直线的函数表达式为 ．
【答案】（1）图见解析，，
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，与轴和轴的正半轴分别交于点和点，直线即为所求，作轴于，轴于，则四边形为矩形，由线段垂直平分线的性质可得，，设，，有点B的坐标为，得出，，再由勾股定理计算即可得解；
（2）分两种情况，再结合待定系数求一次函数的解析式即可得解．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求，
作轴于，轴于，
则，
∴四边形矩形，
∵垂直平分，
∴，，
设，，
∵点B的坐标为，
∴，，
由勾股定理得：，，
解得：，，
∴，；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图：作线段的线段垂直平分线交轴于点，交轴于点，则直线即为所求，
，
由线段垂直平分线的性质可得，，
∵，
∴，
∴，与的面积相等，
由（1）可得，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴于，轴于，则四边形为矩形，
，
∴，与的面积相等，
此时，，
同理可得直线的解析式为；
综上所述直线的解析式为或；
故答案为：或．
22. 在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：
（一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C；
③画射线，则射线即为所求．
（1）如图1，射线就是的角平分线的依据是 ；
A． B． C． D．
（2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？
下面是两位同学给出的两种方法：
①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点C，D作，的垂线，两垂线交于点P，画射线，则平分．
请你帮这位同学证明：平分；
②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确： （填“正确”或“错误”）
（二）已知：为锐角三角形，求作：的外角角平分线；
作法：①以点为圆心，适当长为半径画圆，交于点，交于点；
②以，为圆心大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于一点；
③画射线，射线即为所求．
（1）请使用直尺和圆规，依上列作法补全下面图形，保留作图痕迹．
（2）若，证明：．请完成下面的证明过程：
证明：，
（）（填推理依据），
（两直线平行，内错角相等）．
为的角平分线，
（角平分线的定义）．
（等量代换）．
（）（填推理依据）．
【答案】（一）（1）C；（2）①见解析；②正确；（二）（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（一）（1）连接，，由作图可得，，证明得出，即可得解；
（2）①由作法可得，证明，得出，即可得证；②由作法可得，，，从而得出，证明，得出证明，得出，最后证明，得出，即可得解；
（二）（1）根据题干的要求作图即可；
（2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，再由等角对等边即可得解．
【详解】（一）（1）连接，，
，
由作法可得，，
∵，
∴，
∴，
∴射线就是的角平分线的依据是，
故选：C；
（2）①证明：由作法可得，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
②正确，理由如下：
由作法可得，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分；
（二）（1）如图，射线即为所作，
；
（2）证明：，
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）．
为的角平分线，
（角平分线的定义）．
（等量代换）．
（等角对等边）．
23. 【背景资料】在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为三角形，故，又，故，由可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有；
【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题：
（1）如图3，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出________；
（2）如图4，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系为_______；
【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
（1）如图5，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接、，
求证：点是的费马点．
（2）如图6，在中，，，，点为的费马点，连接、、，则的值为________．
【学以致用】（1）如图7所示是一个三角形公园，其中顶点，，为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是________．
【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（1）；（2）；问题解决：（1）见解析；（2）；学以致用：
【解析】
【分析】背景资料：由旋转的性质可得，，得出为等边三角形三角形，故，由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，即可得解；
知识生成：（1）由旋转的性质可得，，，，证明为等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，求出，即可得解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，再由勾股定理即可得解；
问题解决：（1）在上截取一点，使得，连接，证明为等边三角形，得出，，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，结合，即可得证；
（2）由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，将顺时针旋转得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，推出为等边三角形，，由等边三角形的性质可得，即可得到，再由勾股定理得出，即可得出答案；
学以致用：连接、、，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，得出，均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，推出，求出，得出，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】背景资料：当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有；
知识生成：（1）将绕顶点A旋转到处，此时，
∴，，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵中，，，
∴，
如图：将逆时针旋转得到，连接，
，
由旋转的性质可得：，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
问题解决：（1）如图，在上截取一点，使得，连接，
，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的费马点；
（2）∵在中，，，，
∴，，
如图，将顺时针旋转得到，连接，，
，
由旋转的性质可得：，，，，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴的值为为；
学以致用：如图，连接、、，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于，
，
由旋转的性质可得：，，，
∴，均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．