湖北省武汉市江夏区湖北华宜寄宿学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省武汉市江夏区湖北华宜寄宿学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝90°
C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形
4．下列各式计算错误的是（ ）
A．4B．
C．D．
5．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．全等三角形的对应边相等
C．全等三角形的对应角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
6．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
7．如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（ ）
A．80米B．100米C．102.5米D．100.5米
8．已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
9．在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为和，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．6B．7C．D．
10．已知平面直角坐标系内有一点P（2，4），过P点作一条不过原点的直线1，若直线l交x轴于点A（x，0），交y轴于点B（0，y），则有（ ）
A．最小值0.05B．最大值0.05C．最大值0.5D．最小值0.5
二、填空题（本大题共6小题）
11．化简： ； ： ．
12．在直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
13．已知，则 ．
14．如图，在中，，点分别在上，且，点分别为的中点，则的长为 ．
15．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．若，空白部分面积为13.5，则 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，点，，连接，，，当最小时，的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D
(1) 若AB＝5 cm，BC＝3 cm，求CD的长
(2) 若BD＝2，AD＝4，求CD的长
21．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图1，画一个，使，，．的形状是 ．
(2)如图2，在中，点在边上，点为内部一点．
①在边上画点，使直线平分的面积；
②若，画出的角平分线交于点．
22．如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，铁路有关部门规定路段限速，处有一测速仪，已知，在上，，，，请解决以下问题：
(1)如图1，测速仪测得该火车从点行驶至点用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由；
(2)如图2，若上有一点，且，若火车从点行驶至点，求处测速仪探头旋转角的度数．
23．如图1，已知平行四边形中，于于相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ．
24．如图1，在平面直角坐标系中，、，若，点是点关于轴的对称点．
(1)判断的形状并证明；
(2)点在第一象限，且，试探究存在的数量关系；
(3)如图2，点在上，为线段的中点，绕点顺时针旋转得到，请直接写出点从点沿运动到点过程中点运动的路径长 ．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件逐项进行求解即可得．
【详解】解：A、3-x≥0，解得x≤3，不符合题意；
B、6+2x≥0，解得x≥-3，不符合题意；
C、x-3≥0，解得x≥3，符合题意；
D、x+3≥0，解得x≥-3，不符合题意．
2．【答案】D
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故不符合题意；
C、不是最简二次根式，故不符合题意；
D、，是最简二次根式，故符合题意．
3．【答案】C
【分析】13，12，5正好是一组勾股数，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而求解．
【详解】∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
4．【答案】B
【详解】解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算错误，符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算正确，不符合题意．
5．【答案】C
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
B、逆命题为：对应边相等的三角形全等，是真命题；
C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，是假命题；
D、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题．
6．【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项进行判断即可.
【详解】A、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
C、由，不能判断四边形ABCD是平行四边形,有可能是等腰梯形；故本选项符合题意；
D、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意，
7．【答案】C
【分析】先设米，因为米，米，得出米，在中，利用勾股定理，进行列式，进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设米，
∵米，米，
∴米，
∴在中，，
则，
解得，
∴．
8．【答案】D
【分析】根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
9．【答案】A
【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理解答即可.
【详解】设AC=b,BC=a，分别在直角△ACE与直角△BCD中，根据勾股定理得
两式相加得a2+b2=36，
∴斜边为6.
．
10．【答案】A
【分析】将点代入y＝kx+b，求出k与b的关系式，得到y＝kx+4﹣2k，可以求出x与y的代数式，所以＝（）2+，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】设直线解析式为y＝kx+b，
将点P（2，4）代入，
得：4＝2k+b，
∴b＝4﹣2k，
∴y＝kx+4﹣2k，
∴x＝，y＝4﹣2k，
∴＝+
＝
＝
=
＝（）2+，
∴有最小值．
11．【答案】 7 /
【分析】依据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，，
12．【答案】
【分析】根据勾股定理列式，代数计算，即可作答．
【详解】解：如图：
∴
∴点到原点的距离是
13．【答案】
【分析】把的因式分解，再代入计算．
【详解】解：
14．【答案】
【分析】取AB的中点D，连接，利用三角形中位线定理证得为等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】如图，取的中点，连接，．
∵点分别为的中点，
∴为的中位线，为的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
15．【答案】
【分析】根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵空白部分面积为13.5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
16．【答案】
【分析】根据题意可知，点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位，将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，，得，作关于直线的对称点，连接，，则，得，而，当点在上时，取等号，此时有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为，将代入求解即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，点，则，，
∴，则
∴，即，
∵点，，
∴点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位，
将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，，
∴，
∵，则在直线上，
作关于直线的对称点，连接，，则，
∴，
而，当点在上时，取等号，此时有最小值，
设直线的解析式为，将，代入，
可得：，解得，
∴直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各数，再合并计算；
（2）先化简，再算乘法，最后计算除法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】见解析
【分析】由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案．
【详解】证明：因为四边形是平行四边形，
所以，．
又因为、分别是、的中点，
所以，，
则．
又，
所以四边形是平行四边形．
19．【答案】
【分析】先去括号，然后化简每一个二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，得到化简结果，最后把、的值代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
当时，原式．
20．【答案】(1) cm；(2)
【分析】(1)根据勾股定理求得AC的长，再利用直角三角形面积的两种表示法求得CD即可；（2）根据已知条件易证△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质即可求得CD的长.
【详解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，
由勾股定理得AC=4cm，
∵CD⊥AB于D，
根据三角形的面积公式可得， ，即 ，
解得CD= cm.
（2）如图，由题意可得，∠A+∠1=90°，∠2+∠1=90°，
∴∠A=∠2，
又因∠CDB=∠ADC=90°，
∴△BDC∽△CDA，
∴ ,
∵BD＝2，AD＝4，
∴，
解得CD=
21．【答案】(1)直角三角形
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据勾股定理及逆定理求解即可；
（2）①连接，交于点，根据过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积可知，连接交于，如图所示，点即为所求；
②连接并延长交于点，连接，根据平行四边形的性质可知，进而可证明，，故即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
（2）解：①连接，交于点，连接交于，如图所示，点即为所求；
②连接并延长交于点，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，即：平分，
故即为所求．
22．【答案】(1)该火车超速了，理由见解析
(2)
【分析】（1）过作于，根据等腰直角三角形和含的直角三角形的性质，结合勾股定理，进而解答即可；
（2）作于，由（1）知，中，，，，在中，，求得，，根据求得，可知，，进而可得．
【详解】（1）解：该火车超速了，理由：
火车限速为，则每秒限速为，
过作于，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，则
∴，则，
∴，
∴，
则该火车速度为，
∴该火车超速了；
（2）作于，
由（1）知，中，，，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)35
【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，得，再利用直角三角形两锐角互余可证，进而可证，得，结合平行四边形的性质即可证得结论；
（2）过点作，交于，可知，，，得，可证，得，在中，，在中，，求得得，结合在中，，即可证明结论；
（3）结合平行四边形的性质，由（1）可知，，，得，，设，则，，根据勾股定理得，，，可知以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边，结合其面积得，即，进而可得平行四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，则
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）证明：过点作，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴
，
即：；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由（1）可知，，，
∴，，
设，则，，
在中，，即，
在中，，即，
在中，，
∴，则以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边，
∴，
∴，即：，
∴平行四边形的面积为，
24．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析
(2)当点在的外部时，；当点在内部时，
(3)
【分析】（1）根据题意得，进而求得，，可知，进而可证得是等腰直角三角形；
（2）分两种情况：当点在的外部时，如图，过点作交的延长线与点，当点在内部时，如图，过点作交的延长线与点，结合等腰直角三角形的性质和全等三角形即可得结论．
（3）如图，连接，，，．首先点在过原点，且与轴正方向呈夹角的直线上运动，推出点的运动轨迹是线段（图中线段），利用等腰直角三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形．理由如下：
∵，即
∴，，
∴，，
∴，，
∵，关于y轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）当点在的外部时，；当点在内部时，；理由如下：
当点在的外部时，如图，过点作交的延长线与点，则．

∵，则，
∴，
∴，，
由（1）可知，是等腰直角三角形，
∴，，则
∴，
∴，
∴
∴．
当点在内部时，如图，过点作交的延长线与点，则．

∵，则，
∴，
∴，，
由（1）可知，是等腰直角三角形，
∴，，则
∴，
∴，
∴，，则
在中，
∴．
（3）∵，
∴，
如图，连接，，，．
∵，，为线段的中点，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，，
设，则，，
∴，则，
∴，
∴与的夹角（锐角）为，
即：点在过原点，且与轴正方向呈夹角的直线上运动，
当点在点时，同理可知，，，
∴，，
当点在点时，同理可知，，，
∴，，
∴点从点沿运动到点过程中点运动的路径长，，
即：为等腰直角三角形，
∴
∴点从点沿运动到点过程中点运动的路径长．