湖北省武汉市湖北华宜寄宿学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份湖北省武汉市湖北华宜寄宿学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．1，1，C．1，，2D．8，15，17
3．（3分）在式子5，x＝2，a，a+b，，m+n＞0，中，属于代数式的有（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AD∥BC，AD＝BCD．AB＝AD，CD＝BC
5．（3分）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．菱形四条边相等
B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C．等边三角形是锐角三角形
D．全等三角形的对应角相等
6．（3分）已知，那么a应满足什么条件（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a＝0D．a任何实数
7．（3分）矩形和菱形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线互相平分
C．对角线长度相等D．对角线平分一组对角
8．（3分）如图所示，平面直角坐标系中，已知三点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（1，3）D．（1，﹣1）
9．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个B．8个C．7个D．6个
10．（3分）如图，AF平分∠BAD，E为矩形ABCD的对角线BD上的一点，EC⊥BD于点E，EC的延长线与AG的延长线交于点F，若BD＝10，则CF的值是（ ）
A．6B．7C．8D．10
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝ ．
12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝BD＝2，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
13．（3分）与最接近的整数为： ．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝AE＝4，CD＝DE＝3．点F为BC的中点，则EF的长度为 ．
15．（3分）2023年暑假，我校顺利完成了大门改造，新大门气势磅礴，宏伟壮观，彰显着非凡的尊贵气息．小蓝为了测量大门的高度AB，采取了以下方法：在校门口D点处测得大门顶A点处的仰角为45°，步行过马路后，马路宽度约为12米，在马路对面的F点处测得大门顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为CD＝EF＝1.6米，则大门高度AB约为 米．（仰角：是从低处向高处观察目标时，视线与水平线所形成的角度．结果保留2位小数，参考数据：≈1.732）
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝15°，∠ACB＝37.5°，点D是边BC上的一点，且∠BAD＝52.5°，S△ACD＝3，则S△ABD＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）2﹣6+3；
（2）（+3）（﹣5）．
18．已知a＝2+，b＝2﹣，求值：a2+b2．
19．如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8格，每个小正方形的点叫做格点．四边形ABDC的顶点是格点，点M是边AB与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）过点C画线段CE，使CE∥AB，且CE＝AB；
（2）在边AB上画一点F，使直线DF平分四边形ABEC的面积；
（3）过点M画线段MN，使MN∥CD，且MN＝CD．
21．把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，折叠后，边BC的对应边BE交AD于F．
（1）求证：BF＝DF；（长方形各内角均为90°）
（2）若AB＝6，BC＝8．求DF的长．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的角平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形GECF是正方形；
（2）若AC＝4，BC＝3，求四边形GECF的面积．
23．（1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段AB，CD交于点O，∠AOC＝60°，连接AC，BD，求证：AC+BD≥CD．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点C作AB∥CE且使AB＝CE，连接BE，
∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝ ，
∵AB∥CE、
∴∠DCE＝∠ ＝60°，
又∵CD＝AB＝CE，
∴△DCE为等边三角形，
∴CD＝ ，
∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．
请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图2，AB与CD相交于点O，AC＝3，BD＝4，AB＝5，∠AOC＝30°，∠ACD+∠ABD＝240°，求线段CD的长；
（3）联系拓展：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．三条中线的交点为G．若△BDG的面积为3，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 （请直接写出答案）．
24．在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（a，0），C（0，c），且．点E从B点出发沿BC运动，点F从B点出发沿BA运动，点G从O点出发沿OC运动．
（1）如图1，将△AOF沿OF折叠，点A恰好落在点E处，则E点的坐标为 ，F点的坐标为 ；
（2）如图2，若E，F两点以相同的速度同时出发运动，使∠EOF＝45°，求OC+CE的值；
（3）如图3，已知点D为AO的中点，若F，G两点以相同的速度同时出发运动，连接FG，作AH⊥FG于H，直接写出DH的最大值．
参考答案与试题解析
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：（A）原式＝2，故A不选；
（C）原式＝2，故C不选；
（D）原式＝，故D不选；
故选：B．
2．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．1，1，C．1，，2D．8，15，17
【解答】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、82+152＝172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）在式子5，x＝2，a，a+b，，m+n＞0，中，属于代数式的有（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：在式子5，x＝2，a，a+b，，m+n＞0，中，属于代数式的有5，a，a+b，，共4个，
故选：B．
4．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AD∥BC，AD＝BCD．AB＝AD，CD＝BC
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、AB＝AD，CB＝CD，由不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．菱形四条边相等
B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C．等边三角形是锐角三角形
D．全等三角形的对应角相等
【解答】解：A、逆命题为：四条边相等的四边形是菱形，成立，符合题意；
B、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，不成立，不符合题意；
C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意．
故选：A．
6．（3分）已知，那么a应满足什么条件（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a＝0D．a任何实数
【解答】解：∵（）2＝a≥0且a≥0，＝|a|≥0，
∴|a|＝a，
∴a≥0．
故选：B．
7．（3分）矩形和菱形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线互相平分
C．对角线长度相等D．对角线平分一组对角
【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
8．（3分）如图所示，平面直角坐标系中，已知三点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（1，3）D．（1，﹣1）
【解答】解：当以BC为对角线时：CD＝AB＝3，此时D（3，1）；
当以AC为对角线时，CD＝AB＝3，此时（﹣3，1）；
当以AB为对角线时，AD＝BC＝＝，此时点D（1，﹣1）．
∴D点的坐标不可能是：（1，3）．
故选：C．
9．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个B．8个C．7个D．6个
【解答】解：如图：
符合条件的点C一共有9个．
故选：A．
10．（3分）如图，AF平分∠BAD，E为矩形ABCD的对角线BD上的一点，EC⊥BD于点E，EC的延长线与AG的延长线交于点F，若BD＝10，则CF的值是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【解答】解：过A作AH⊥BD于H，连接AC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，OA＝OD，
∴∠BAH+∠DAH＝∠ADB+∠DAH＝90°，
∴∠BAH＝∠ADH，
∵OA＝OD，
∴∠ADH＝∠DAC，
∴∠BAH＝DAC，
∴∠BAG﹣∠BAH＝∠DAG﹣∠DAC，
∴∠GAH＝∠CAH，
∵EC⊥BD，AH⊥BD，
∴AH∥CE，
∴∠F＝∠GAH，
∴∠F＝∠CAH，
∴CF＝AC＝10．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝ 5 ．
【解答】解：＝5．
故答案为：5．
12．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝BD＝2，则平行四边形ABCD的面积等于 6 ．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E．
∵AD＝DB＝2，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，
∵BE⊥AD，
∴AE＝ED＝，
∴BE＝＝＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝2×3＝6．
故答案为：6．
13．（3分）与最接近的整数为： 7 ．
【解答】解：∵＝6.5，＝7，
且＜＜，
∴6.5＜＜7，
∴与最接近的整数为7，
故答案为：7．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝AE＝4，CD＝DE＝3．点F为BC的中点，则EF的长度为 ．
【解答】解：连接DF并延长交AB的延长线于H，过点C作CM⊥AB于M，如下图所示：
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝AE＝4，CD＝DE＝3，
∴四边形ADCM为矩形，
∴CM＝AD＝AE+DE＝7，AM＝CD＝3，
∴BM＝AB﹣AM＝4﹣3＝1，
在Rt△CMB中，由勾股定理得：BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴CF＝BF＝BC＝，
∵DC∥AB，
∴∠1＝∠H，∠DCF＝∠HBF，
在△DCF和△HBF中，
∠1＝∠H，∠DCF＝∠HBF，CF＝BF，
∴△DCF≌△HBF（AAS），
∴CD＝BH＝3，DF＝HF，
∴AH＝AB+BH＝4+3＝7，
∴AD＝AH，
∴∠2＝∠H，
∴∠1＝∠2，
在△DCF和△DEF中，
CD＝DE，∠1＝∠2，DF＝DF，
∴△DCF≌△DEF（SAS），
∴EF＝CF＝．
故答案为：．
15．（3分）2023年暑假，我校顺利完成了大门改造，新大门气势磅礴，宏伟壮观，彰显着非凡的尊贵气息．小蓝为了测量大门的高度AB，采取了以下方法：在校门口D点处测得大门顶A点处的仰角为45°，步行过马路后，马路宽度约为12米，在马路对面的F点处测得大门顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为CD＝EF＝1.6米，则大门高度AB约为 7.06 米．（仰角：是从低处向高处观察目标时，视线与水平线所形成的角度．结果保留2位小数，参考数据：≈1.732）
【解答】解：在Rt△ADG中，
∵∠ADG＝45°，
∴∠DAG＝45°＝∠ADG，
∴AG＝DG，
在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，GE＝DG+DE＝12+AG，tan∠AEG＝，
∴AG＝GE•tan30°，
∴AG＝（12+AG）
解得AG≈5.46（米），
由题意知四边形BFEG是矩形，
∴BG＝EF＝1.6米，
∴AB＝AG+BG＝5.46+1.6＝7.06（米）．
答：大门高度AB约为7.06米．
故答案为：7.06．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝15°，∠ACB＝37.5°，点D是边BC上的一点，且∠BAD＝52.5°，S△ACD＝3，则S△ABD＝ ．
【解答】解：以点A为圆心，AB为半径画弧交BC的延长线于E，连接AE，则AB＝AE，把△ABD绕点A逆时针旋转150°得到△AEF，连接CF，过点C作CH⊥EF于H，设CH＝a，如下图所示：
由旋转的性质可知：∠DAF＝150°，∠AEF＝∠B＝15°，BD＝EF，AD＝AF，
在△ABE中，AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝15°，
∴∠CEF＝∠AEB+∠AEF＝30°，
在△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝37.5°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（15°+37.5°）＝127.5°，
又∵∠BAD＝52.5°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝127.5°﹣52.5°＝75°，
∴∠FAC＝∠DAF﹣∠DAC＝150°﹣75°＝75°，
即∠DAC＝∠FAC，
在△DAC和△FAC中，
，
∴△DAC≌△FAC（SAS），
∴∠DCA＝∠FCA＝37.5°，CD＝CF，
即∠DAF＝∠DCA+∠FCA＝75°，
∴∠FCE＝180°﹣∠DAF＝180°﹣75°＝105°，
在Rt△CEH中，∠CEF＝30°，CH＝a，
∴∠HCE＝60°，CE＝2CH＝2a，
由勾股定理得：EH＝＝，
∴∠FCH＝∠FCE﹣∠HCE＝105°﹣60°＝45°，
∴△FCH为等腰直角三角形，即FH＝CH＝a，
由勾股定理得：CF＝＝，
∴CD＝CF＝，BD＝EF＝EH+FH＝＝，
∴＝，
∵△ABD的边BD和△ACD的边CD上的高相同，
∴得＝，
又∵S△ACD＝，
∴S△ABD＝＝．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）2﹣6+3；
（2）（+3）（﹣5）．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+12
＝14；
（2）原式＝2﹣5+3﹣15
＝﹣13﹣2．
18．已知a＝2+，b＝2﹣，求值：a2+b2．
【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a+b＝4，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×1＝14．
19．如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，
∴OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8格，每个小正方形的点叫做格点．四边形ABDC的顶点是格点，点M是边AB与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）过点C画线段CE，使CE∥AB，且CE＝AB；
（2）在边AB上画一点F，使直线DF平分四边形ABEC的面积；
（3）过点M画线段MN，使MN∥CD，且MN＝CD．
【解答】解：（1）如图，线段CE即为所求．
（2）如图，直线DF即为所求．
（3）如图，线段MN即为所求．
21．把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，折叠后，边BC的对应边BE交AD于F．
（1）求证：BF＝DF；（长方形各内角均为90°）
（2）若AB＝6，BC＝8．求DF的长．
【解答】（1）证明：由折叠的性质知，CD＝ED，BE＝BC．
∵四边形ABCD是矩形，
在△ABF和△EDF中，
，
∴△ABF≌△EDF（AAS），
∴BF＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
∴，
由（1）知BF＝DF，
∴AF＝8﹣DF＝8﹣BF，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴62+（8﹣BF）2＝BF2，
∴，
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的角平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形GECF是正方形；
（2）若AC＝4，BC＝3，求四边形GECF的面积．
【解答】（1）证明：过G作GD⊥AB于D，
∵∠CAB、∠CBA的角平分线交于G点，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，
∴DG＝EG，DG＝FG，
∴EG＝FG，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，GE⊥BC，GF⊥AC，
∴∠C＝∠CEG＝∠CFG＝90°，
∴四边形GECF是矩形，
∵EG＝FG，
∴四边形GECF为正方形；
（2）解：如图2，连接CG，过G作GD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB＝＝5，
设EG＝x，则DG＝FG＝x，
∵S△ABC＝S△AGB+S△AGC+S△BCG，
∴×3×4＝•5x+•4x+•3x，
∴x＝1，
∴四边形GECF的面积＝EG2＝1．
23．（1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段AB，CD交于点O，∠AOC＝60°，连接AC，BD，求证：AC+BD≥CD．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点C作AB∥CE且使AB＝CE，连接BE，
∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝ BE ，
∵AB∥CE、
∴∠DCE＝∠ AOC ＝60°，
又∵CD＝AB＝CE，
∴△DCE为等边三角形，
∴CD＝ DE ，
∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．
请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图2，AB与CD相交于点O，AC＝3，BD＝4，AB＝5，∠AOC＝30°，∠ACD+∠ABD＝240°，求线段CD的长；
（3）联系拓展：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．三条中线的交点为G．若△BDG的面积为3，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 （请直接写出答案）．
【解答】（1）证明：过点C作AB∥CE且使AB＝CE．连接BE．
∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝BE．
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠AOC＝60°．
又∵CD＝AB＝CE，
∴△DCE为等边三角形，
∴CD＝DE．
∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．
故答案为：BE、AOC、DE；
（2）解：过A作AF∥CD，过D作DF∥AC，两直线交于F，连接BF，
则四边形AFDC是平行四边形，
所以∠FAB＝∠AOC＝30°，∠C＝∠AFD，AC＝DF＝3，
∵∠ABD+∠C＝240°，
∴∠ABD+∠DFA＝240°，
∴∠FDB＝360°﹣240°﹣30°＝90°，
∴△FDB是直角三角形，
∵DF＝3，BD＝4，
∴由勾股定理得：FB＝5，
∴AB＝FB，
∴∠BAF＝∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴由勾股定理得：AF＝5，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴CD＝AF＝5．
（3）解：平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE，
∴四边形AFEP为平行四边形，
∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，
又∵AP∥FN∥BC，F为AB的中点，
∴N为PC的中点，
∴E为△PFC各边中线的交点，
∴△PEC的面积为△PFC面积的，
连接DE，可知DE与PE在一条直线上，
∴△EDC的面积是△ABC面积的，
∴S△PFC＝3S△CFE＝3S△EDC＝，
∵△BDG的面积为3，
∴S△ABG＝2S△BDG＝6，
∴S△ABC＝2S△ABD＝18，
所以△PFC的面积是18×＝，
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于，
故答案为：．
24．在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（a，0），C（0，c），且．点E从B点出发沿BC运动，点F从B点出发沿BA运动，点G从O点出发沿OC运动．
（1）如图1，将△AOF沿OF折叠，点A恰好落在点E处，则E点的坐标为 （6，8） ，F点的坐标为 （10，5） ；
（2）如图2，若E，F两点以相同的速度同时出发运动，使∠EOF＝45°，求OC+CE的值；
（3）如图3，已知点D为AO的中点，若F，G两点以相同的速度同时出发运动，连接FG，作AH⊥FG于H，直接写出DH的最大值．
【解答】解：（1）∵，≥0，（c﹣8）2≥0，
∴10﹣a＝0，c﹣8＝0，
∴a＝10，c＝8．
∴A（10，0），C（0，8）．
∴OA＝10，OC＝8．
∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝10．
∵将△AOF沿OF折叠，点A恰好落在点E处，
∴EF＝FA，OE＝OA＝4，
∴CE＝＝6，
∴E（6，8）；
∴BE＝BC﹣CE＝4，
设EF＝FA＝x，则BF＝8﹣x，
∵BE2+BF2＝EF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5．
∴AF＝5．
∴F（10，5）．
故答案为：（6，8）；（10，5）；
（2）延长EF交x轴于点G，延长FE交y轴于点D，过点O作OH⊥OF，使OH＝OF，连接EH，HD，如图，
∵OH⊥OF，∠EOF＝45°，
∴∠HOE＝∠FOE＝45°．
在△OEH和△OEF中，
，
∴△OEH≌△OEF（SAS），
∴HE＝EF．
∵∠HOF＝∠COA＝90°，
∴∠HOD＝∠FOG．
∵E，F两点以相同的速度同时出发运动，
∴BE＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠DEC＝∠BEF＝∠AFG＝∠BFE＝45°，
∴△CED和△AFG为等腰直角三角形，
∴DC＝CE，AF＝AG，∠AGF＝∠ADE＝45°，
∴DE2＝2CE2，FG2＝2AF2，△ODG为等腰直角三角形，
∴OD＝OG．
在△ODH和△OGF中，
，
∴△ODH≌△OGF（SAS），
∴DH＝FG，∠HDO＝∠FGA＝45°，
∴∠HDE＝∠HDO+∠CDE＝45°+45°＝90°，DH2＝2AF2，
∴DH2+DE2＝EF2．
∴2AF2+2CE2＝2BE2，
∴AF2+CE2＝BE2，
设CE＝m，则BE＝BF＝10﹣m，
∴AF＝AB﹣BF＝m﹣2，
∴（m﹣2）2+m2＝（10﹣m）2，
∴m2+16m﹣96＝0．
∴m＝﹣8（负数不合题意，舍去），
∴CE＝4﹣8，
∴OC+CE＝8+4﹣8＝4．
（3）连接OB，交GF于点K，连接KD，AK，取AK的中点M，连接MD，MH，如图，
∵F，G两点以相同的速度同时出发运动，
∴OG＝BF．
∵OG∥AB，
∴∠KGO＝∠KFB．
在△OGK和△BFK中，
，
∴△OGK≌△BFK（AAS），
∴KO＝KB，
即点K为矩形OABC的中心，
∴AK＝OK＝BK＝BO＝＝＝，
∵点D为AO的中点，M为AK的中点，
∴DM＝OK＝．
∵AH⊥FG，M为AK的中点，
∴MH＝AK＝．
∵DH≤DM+NH，
∴当点D，M，H三点在一条直线上时，DH取得最大值＝DM+NH，
∴DH的最大值为．