2024-2025学年高一下学期期中数学试题

这是一份2024-2025学年高一下学期期中数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若均为第二象限角，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则为第二象限角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A．3B．C．D．2
5．在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，，B＝60°，则A=（ ）
A．45°B．45°或135°C．30°D．90°
6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象在以下哪个区间单调递增（ ）
A．B．
C．D．
7．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉､娱乐､欣赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2），圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．3C．D．48
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，，都有
B．对任意非零向量，，都有
C．若向量，满足，则
D．若非零向量，满足，则
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为B．是函数的一个对称中心
C．函数在区间上单调递增D．方程的解为
11．对于函数（），下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数在上有且只有一个零点
B．若函数在单调递增，则的取值范围为
C．若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则
D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2
三、填空题
12．若，则 ．
13．已知向量，.则在上的投影向量的坐标为 ；
14．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 ；
四、解答题
15．已知的夹角为，
(1)求的值；
(2)当为何值时，.
16．在中，角所对的边分别为已知，，角.
(1)求边的长度，求的面积；
(2)若点是的中点，求中线的长度.
17．已知在中，是边的中点，且，设与交于点，记.
(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值.
18．已知向量，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若且，求的值.
19．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
《海南省儋州某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题》参考答案
1．C
【难度】0.94
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，可得答案.
【详解】由题意可得.
故选：C.
2．D
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再代入两角差的余弦公式计算，即可得出答案.
【详解】因为均为第二象限角，满足，，
所以，
所以.
故选：D.
3．D
【难度】0.85
【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正切公式
【分析】由题意，根据诱导公式，求得正切值，利用正切函数的二倍角公式，可得答案.
【详解】由题意可得，，，故.
故选：D.
4．A
【难度】0.65
【知识点】相等向量、已知向量共线（平行）求参数
【分析】由A，B，D三点共线，则存在实数，使，用表示后，由向量相等可得．
【详解】因为，，，
则，
又A，B，D三点共线，
故存在实数，使，即，
则，解得．
故选：A．
5．A
【难度】0.85
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】根据正弦定理，结合三角形边角关系，可得答案.
【详解】正弦定理，，且，.
故选：A．
6．C
【难度】0.65
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数图象平移变换的性质可知，向右平移个单位长度之后的解析式为：
，
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为，则C选项符合.
故选：C.
7．B
【难度】0.94
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.
【详解】因为为的中点，所以化成弧度为，所以此扇形窗子的面积为
故选：B
8．A
【难度】0.65
【知识点】数量积的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数、求二次函数的值域或最值
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
9．AC
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、平面向量数量积的定义及辨析
【分析】根据数量积定义和三角函数有界性可判断A；由向量三角不等式等号成立条件可判断B；根据向量垂直的充要条件推导可判断C；根据已知比较可判断D.
【详解】设，
因为，所以，A正确；
当向量，同向时，，B错误；
若，则，即，所以，C正确；
若非零向量，满足，则，所以，
又，所以，即，D错误.
故选：AC
10．ABC
【难度】0.85
【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心
【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确；
对于B，因为，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
对于C，由，得，所以函数在内无间断点且单调递增，故C正确；
对于D，由，可得，所以，
解得，故D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【难度】0.65
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】由正弦函数的单调性可得A、B正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D正确.
【详解】对于A，当时，，
令，则，
当，为正弦函数的递减区间，此时，
所以有解，且只有一个零点，故A正确；
对于B，，
因为单调递增，所以，解得，
又，所以，故B正确；
对于C，由题可得，所以，故，此时，
令，则，
故，所以，故C错误；
对于D，，
若为偶函数，则，解得，
所以当时，的最小值为2，故D正确；
故选：ABD
12．
【难度】0.85
【知识点】正、余弦齐次式的计算
【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
13．
【难度】0.85
【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解.
【详解】由向量，，
则在上的投影向量的坐标为.
故答案为：
14．
【难度】0.65
【知识点】用坐标表示平面向量
【分析】求得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点，由定义求得，进而可求得点的坐标.
【详解】由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点，
则，又，设，
则，解得，，即点的坐标为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积
【分析】（1）利用向量的数量积公式及向量的模公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量垂直则数量积为0，即可求解.
【详解】（1）因为的夹角为，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，，
因为，
所以，即，
所以，解得.
所以当时，.
16．(1)；
(2)
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）在中，由余弦定理求出，利用三角形的面积公式求出的面积；
（2）设，在和中，分别用余弦定理表示出，则可得到关于的方程，解出，即可得到中线的长度.
【详解】（1）在中，，，角，
由余弦定理得，
，
.
（2）因为点是的中点，由（1）知，则，
设，又，
在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，，
则，
解得，所以.
17．(1)，
(2).
【难度】0.65
【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算、平面向量的混合运算、垂直关系的向量表示
【分析】（1）根据向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解；
（2）由得，结合及数量积的定义即可求解.
【详解】（1），
所以，
.
（2）因为，所以，即，
所以，
所以，即的余弦值为.
18．（1）；（2）
【难度】0.65
【知识点】三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得，化简，由条件求得参数，从而写出解析式.
（2）由得，根据角的范围求得，从而有，求得结果.
【详解】（1）由题知，
，
又函数相邻两条对称轴之间的距离为.即，
则，
（2）由题知，，
则，又，则，
当时，，而，
因此，此时
则
19．(1)；
(2)①；②.
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式
【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；
（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；
②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.
【详解】（1）解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
（2）解①：由已知得，当时，，
所以，所以，所以，
所以函数的值域为；
②当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，则，，
所以，即，
所以，所以，
故.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
A
A
C
B
A
AC
ABC
题号
11









答案
ABD