2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉高级中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉高级中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量AB=(−2,1),AC=(3,4)，则BC=( )
A. (1,5)B. (−1,−5)C. (−5,−3)D. (5,3)
2.若e1, e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. e1−2e2, 2e2−e1B. 2e1+3e2, 3e1+2e2
C. 2e2+3e1, 6e1+4e2D. e1−2e2, e2−12e1
3.已知向量a→=(2,1)，b→=(1,−1)，则a→·b→=( )
A. −1B. −2C. 1D. 0
4.已知i为虚数单位，若1−i2+ai是纯虚数，则实数a=( )
A. −4B. −2C. 1D. 2
5.若向量a,b满足b=3,a⋅b=−6，则a在b上的投影向量是( )
A. −12bB. −13bC. 23bD. −23b
6.在▵ABC中，BC=2，AB=4,csC=−14，则AC的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.如图，在▵ABC中，D为BC中点，E在线段AD上，且AE=2ED，则BE=( )
A. −13AC+23ABB. 13AC−23ABC. 23AC−13ABD. 23AC+13AB
8.在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sin2BcsA=sinCcsB，则▵ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列说法正确的是( )
A. 加速度是向量
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的方向是任意的
D. 向量就是有向线段
10.已知复数z=5−4i，以下说法正确的是( )
A. z的实部是5B. |z|= 41
C. z=5+4iD. z在复平面内对应的点在第一象限
11.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )．
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若a2+b2>c2，则▵ABC为锐角三角形
C. 若acsA=bcsB，则▵ABC为等腰三角形
D. 若b=2，A=π3，这样的三角形有两解，则a的取值范围为 3,2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.sin−2040∘的值为 ．
13.设复数z的共轭复数是z，若复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1⋅z2是实数，则实数t等于 ．
14.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B,E,F为山的两侧共线的三点，且与山脚CD处于同一水平线上，在山顶A处测得B,E,F三点的俯角分别为30°,60°,45°，计划沿直线BF开通穿山遂道，现已测得BC,DE,EF三条线段的长度分别为4,2,3，则隧道CD的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知tanα=2，计算：
(1)2sinα−3csα4sinα−9csα；
(2)2sinα−csαsinα+2csα．
16.(本小题15分)
设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,−4)，且a⊥b，b//c．
(1)求a+b；
(2)求向量a+b与2a+b−c夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，AE=12EC，AD=12AB，线段CD交BE于点G，且AG=λAE+μAD，求λ+μ的值．
18.(本小题17分)
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csAccsB+bcsC=a．
(1)求A；
(2)若a=2，▵ABC的面积为 3，求b，c的值．
19.(本小题17分)
▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA+C2=bsinA．
(1)求B；
(2)若▵ABC为锐角三角形，b= 3，求2a−c的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.D
9.AC
10.ABC
11.AD
12. 32
13.34/0.75
14.6 3
15.【详解】(1)2sinα−3csα4sinα−9csα=2tanα−34tanα−9=2×2−34×2−9=−1；
(2)2sinα−csαsinα+2csα=2tanα−1tanα+2=34．

16.【详解】(1)向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,−4)，且a⊥b，b//c，
可得a⋅b=x+y=0且−4−2y=0，解得x=2，y=−2，
即a=(2,1)，b=(1,−2)，则a+b=(3,−1)，
则a+b= 32+(−1)2= 10；
(2)因为2a+b−c=2(2,1)+(1,−2)−(2,−4)=(3,4)，a+b=(3,−1)，
所以(a+b)⋅(2a+b−c)=3×3−4=5，2a+b−c= 32+42=5，
设向量a+b与2a+b−c夹角为α，
则csα=(a+b)⋅(2a+b−c)a+b⋅2a+b−c=5 10×5= 1010，
即向量a+b与2a+b−c夹角余弦值为 1010．

17.【详解】B,G,E三点共线，设BG=mGE，m>0，
即AG−AB=mAE−AG，
即(1+m)AG−mAE=AB，AG=11+mAB+m1+mAE，
又AD=12AB，所以AG=m1+mAE+21+mAD，
C,G,D三点共线，设CG=nGD，n>0，
即AG−AC=nAD−AG，
即(1+n)AG=AC+nAD，AG=11+nAC+n1+nAD，
又AE=12EC，所以AG=31+nAE+n1+nAD，
所以m1+m=31+n21+m=n1+n，解得m=32n=4,
故λ=31+n=35,μ=n1+n=45，λ+μ=75．

18.【详解】(1)由正弦定理及2csAccsB+bcsC=a．
得2csAsinCcsB+sinBcsC=sinA，
即2csAsin(C+B)=sinA，
即2csAsinA=sinA，
因为0