云南省2024届高三数学下学期一模试题

这是一份云南省2024届高三数学下学期一模试题，共11页。试卷主要包含了已知，则，已知、都是复数，下列正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷共8页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
2.在的二项展开式中，常数项是（ ）
A.132B.160C.180D.196
3.已知，若，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知、是两个不同平面，、是两条不同直线.若，，则下列命题，正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
5.已知双曲线的左、右焦点分别是、，是右支上的一点，若，，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
6.已知，则（ ）
A.B.C.D.
7.椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，为的左焦点，是的上顶点，是的右顶点，是的下顶点.记直线与直线的交点为，则的余弦值是（ ）
A.B.C.D.
8.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）
A.60种B.68种C.82种D.108种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A.若，则B.
C.若，则D.
10.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A.向左平行移动个单位B.向左平行移动个单位
C.向右平行移动个单位D.向右平行移动个单位
11.已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为、，则（ ）
A.当点为直线与轴的交点时，直线经过点
B.当为等边三角形时，点的坐标为
C.的取值范围是
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.甲、乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲、乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是______.
13.已知在上只有一个极值点，则实数的取值范围为______.
14.已知的三个内角、、满足，当的值最大时，的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
某大学保卫处随机抽取该校1000名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进行了问卷调查，结果见下表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别是否有关；
（2）为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及概率如下：
若甲、乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为（单位：元），求的数学期望.
附：，其中.
16.（15分）
已知为等比数列，记、分别为数列、的前项和，，，，.
（1）求、的通项公式；
（2）是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
17.（15分）
如图，平行六面体中，、分别为、的中点，在上.
（1）求证：平面；
（2）若，，平面，，求平面与平面的夹角的余弦值.
18.（17分）
已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点.是圆与的一个交点，.、是上的动点，且、在轴两侧，直线与圆相切，线段、线段分别与圆相交于点、.
（1）求的方程；
（2）的面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由.
19.（17分）
已知e是自然对数的底数，常数，函数，.
（1）求、的单调区间；
（2）讨论直线与曲线的公共点的个数；
（3）记函数，、，若，且，则，求实数的取值范围.
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数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.B、D；10.A、C、D；11.A、B、C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.；13.；14..
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）零假设为：该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别无关联.由已知得
.……4分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. ……6分
（2）由题意可知的取值为0、10、20、30、40.……7分
记事件表示甲同学中奖的金额为元，；
事件表示乙同学中奖的金额为元，，且事件与事件相互独立.
则，
，
，
，
，……11分
故的数学期望. ……13分
16.（15分）
解：（1）设等比数列的公比为，根据已知得，且
解方程组得
∴的通项公式为. ……3分
∵，∴，解得，且.
∴，即.
∴.……6分
当时，，故，解得.……9分
∵，∴的通项公式为.……10分
（2）设，则.
∴.
∴.……13分∵，，，
∴存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为3.……15分
17.（15分）
（1）证明：设的中点为，连接、.
∵为的中点，∴且.……3分
又∵为的中点，且四边形是平行四边形，
∴且.∴四边形为平行四边形.∴.……5分
又∵平面，平面，∴平面.……6分
（2）解：在平面中，作交于.
∵平面，平面，平面，
∴，.∴、、两两互相垂直.……8分
分别以射线、、为轴、轴、轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，在平行六面体中，由平面得平行四边形是矩形.
∵，，
∴，
，.
根据已知可得，，，，，，，.
∴，，，.
∵，∴.
由平面得是平面的法向量.
设是平面的法向量，则
取，得，.∴是平面的法向量. ……12分
∴.……14分
设平面与平面的夹角为，则.
∴平面与平面的夹角的余弦值为.……15分
18.（17分）
解：（1）由已知，设抛物线的方程为，.……2分
又∵是抛物线与圆的一个交点，
∴，.
∴，解方程得.∴的方程为.……6分
（2）由（1）知抛物线的方程为，根据已知设直线的方程为，即.
由、是上的动点，设，，则，.
∵直线与圆相切，∴，化简得.……8分
由得.∴，且，.
又∵、在轴两侧，∴.解得. ……10分
∵，“=”成立，，∴.……12分
∴.∴，解得或.
再由得.……14分
当时，，解方程得.
∴的面积存在最大值，且使的面积取得最大值的直线的方程为，即.……17分
19.（17分）
解：（1）函数的定义域为.
∵，∴. ……1分
∴当时，，当时，.
∴的单调递增区间是；的单调递减区间是. ……2分
函数的定义域为，，常数.
∴当时，，当时，. ……3分
∴的单调递减区间是；的单调递增区间是. ……4分
（2）设，它的定义域为，.
∴当时，，即单调递减；当时，，即单调递增.
∴的最小值为.……7分
∴不成立，即方程无实数解，故方程无实数解.
∴直线与曲线无公共点.……9分
（3）根据已知，的定义域为.
设，由（2）得，且.
由，记，，则，；由得.
由（1）知在上单调递减，故.∴，.
记，则.由得
，，若，且，则.
，.，.……11分
设，则，解得.……13分
由得，由得.
∴.
设，则，，.……15分
由e是自然对数的底数，得.
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；由得.
又∵，
∴存在唯一，使.
∴当时，；当时，；当时，.
∴当时，单调递增，故；
当时，单调递减，故；
当时，单调递增，故.
综上述，当时，.∴，.
∴实数的取值范围为.……17分
请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评分标准酌情给分.
甲
乙
丙
丁
8.2
9.5
9.9
7.7
0.16
0.65
0.09
0.41
男生（单位：人）
女生（单位：人）
总计
赞成
400
300
700
不赞成
100
200
300
总计
500
500
1000
奖金（单位：元）
0
10
20
获奖概率
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828