吉林省吉林市2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试+数学 含答案

这是一份吉林省吉林市2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试+数学 含答案，共18页。
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．设集合，集合，则
A．B．
C．D．
2．在个互不相等的数据中，记上四分位数为，中位数为，第百分位数为，则
A．B．
C．D．
3．已知等差数列满足，前项和为，则
A．B．C．D．
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
4．已知函数，则的图象不可能是
A． B． C． D．
5．过点与圆相切的两条直线夹角为，则
A．B．
C．D．
6．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为
C
B
A
北
A．
B．
C．
D．
7．已知函数，则关于的不等式的解集为
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，则
A．
B．
C．
D．若关于的方程的一个根为，则
10．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．已知函数的部分图象如图所示，则
A．
B．函数在上单调递减
C．方程的解集为
D．是函数是奇函数的充分不必要条件
12．已知平面向量，，，，，，且，则
A．与的夹角为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．若，则的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
x
O
y
13．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”．亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为 ．
如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，且，则 ．
15．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．右面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为 ；的外接球的表面积为 ．
16．若实数满足，则称为函数与的“关联数”．
若且与在实数集上有且只有个“关联数”，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同天的观测数据，得到两小区的同日室温平均值如下图所示：

根据室内温度（单位：），将供热状况分为以下三个等级：
（Ⅰ）试估计小区当年（供热期天）的供热状况为“舒适”的天数；
（Ⅱ）若两小区供热状况相互独立，记事件“一天中小区供热等级优于小区供热等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率；
（Ⅲ）若从供热状况角度选择生活地区居住，你建议选择中的哪个小区，并简述判断依据．
18．（本小题满分12分）
三棱柱中，，，分别为中点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
已知的三个内角的对边分别为，的外接圆半径为，
且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的内切圆半径的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知数列满足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式；
（Ⅲ）设的前项和为，若，求.
21．（本小题满分12分）
设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心．
（ⅰ）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
x
O
y
（ⅱ）求点到直线的距离的最大值．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数的图象上．
（Ⅰ）当顶点在轴上方时，求以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
（Ⅱ）已知函数，关于的方程有两个不等实根.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.
命题、校对：数学学科中心组
室内温度
供热等级
不达标
达标
舒适