2024-2025学年陕西省西安市灞桥区宇航中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市灞桥区宇航中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.AB=DC是四边形ABCD构成平行四边形的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0⋅a=0
②a⋅b=b⋅a
③a2=|a|2
④(a⋅b)c=a(b⋅c)
⑤|a⋅b|≤a⋅b．
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是( )
A. a⋅b=0⇒a//b
B. a//b⇒a在b上的投影向量为−|a|e(e是与b方向相同的单位向量)
C. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2
D. a⋅c=b⋅c⇒a=b
4.已知a=(5,−2)，b=(−4,−3)，c=(x,y)，若a−2b+3c=0，则c=( )
A. (1,83)B. (133,83)C. (133,43)D. (−133,−43)
5.若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
6.已知向量a，b不共线，且向量λa+b与a+(2λ−1)b的方向相反，则实数λ的值为( )
A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或−12
7.在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若BE=λAB+μAC，则λ+μ=( )
A. 1B. 34C. −34D. −12
8.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,3),b=(−2,1),c=(3,2)，则( )
A. (a+2b)/​/cB. (a+2b)⊥c
C. |a+c|= 10+ 34D. |a+c|=2|b|
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为32，且b=2，c= 3，则角A的值可能是( )
A. 30B. 60°C. 150°D. 120°
11.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则( )
A. GA+GB+2GC=0B. AB+AC=2HM−4MO
C. AH=2OMD. |OA|=|OB|=|OC|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是______．
13.已知向量|a|=3，b=(1,2)，且a⊥b，则a的坐标是______．
14.△ABC是钝角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，b=2，则最大边c的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=e1−2e2，b=e1+e2，其中e1=(1,0)，e2=(0,1)
求：(Ⅰ)a⋅b；|a+b|；
(Ⅱ)a和b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图，已知O为平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB|=2a．
(1)求点B与点C的坐标；
(2)求向量BC在向量OA上的投影向量．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(csA,sinB)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=8．
(1)若sinC=47，求角A的大小；
(2)若b=5，求AC边上的高．
19.(本小题17分)
已知村庄B在村庄A的东偏北45°方向，且村庄A，B之间的距离是4( 3−1)千米，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄C在村庄B的正西方向，现要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的 3倍.
(1)求村庄B、C之间的距离；
(2)求农贸市场D到村庄B，C的距离之和．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.D
6.B
7.D
8.C
9.AD
10.BD
11.BCD
12.(35,−45)或(−35,45)
13.(−6 55,3 55)或(6 55,−3 55)
14.( 5,3)
15.解：(Ⅰ)∵向量a=e1−2e2，b=e1+e2，其中e1=(1,0)，e2=(0,1)，
∴a=(1,−2)，b=(1,1)，∴a⋅b=(1,−2)⋅(1,1)=1−2=−1．
∵a+b=(2,−1)，∴|a+b|= 4+1= 5．
(Ⅱ)设a和b的夹角为θ，∵a⋅b=−1=|a|⋅|b|⋅csθ= 5⋅ 2⋅csθ，∴csθ=− 1010．
16.解：(1)过B作BD⊥x轴，垂足为D，过B作BE⊥y轴，垂足为E，过C作CF⊥BE，垂足为F，
如图所示，由题可得∠BAD=∠ABF=∠CBF=60°，
|AD|=12a，|BD|= 32a，|BF|=a，|CF|= 3a，
|BE|=2a+12a=52a，|EF|=52a−a=32a，
则B(5a2, 3a2)，C(3a2,3 3a2)．
(2)由(1)知BC=(−a, 3a)．
设向量BC和OA的夹角为α，e是与OA方向相同的单位向量，
则BCcsαe=BCBC⋅OA|BC|⋅|OA|e=BC⋅OA|OA|e=−ae=−aOA2a=−12OA．
即向量BC在向量OA上的投影向量是−12OA．
17.解：(1)因为向量m=(a, 3b),n=(csA,sinB)，且m//n，
所以asinB− 3bcsA=0，由正弦定理得sinAsinB− 3sinBcsA=0，
又因为sinB≠0，所以tanA= 3，因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，因为a= 7,b=2，
所以7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0因为c>0，所以c=3，
故△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=3 32．
18.解：(1)由正弦定理，asinA=csinC，即sinA=asinCc=7×478=12，
因a