陕西省西安市西安工业大学附属中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安市西安工业大学附属中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 计算的结果是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂运算，根据进行计算，即可作答．
【详解】解：，
故选：C
2. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了补角和余角；
根据补角的定义先求出这个角的度数，再根据余角的定义计算即可．
【详解】解：∵一个角的补角是，
∴这个角的度数为，
∴这个角的余角是，
故选：B．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
4. 如图，下列不能判定的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，则，本选项不符合题意；
B、，则，不能判断，本选项符合题意；
C、，则，本选项不符合题意；
D、，则，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 已知是一个完全平方式，则的值可能是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式的特征判断即可得到结果.
【详解】解: 是一个完全平方式，
∴=或者=
∴-2(m-3)＝8或-2(m-3)＝-8
解得:m=-1或7
故选:D
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
6. 下列说法中，正确的个数有（ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】结合平行线的定义与性质，垂线的性质和平行公理进行判定即可．本题主要考查了平行线的定义与性质，垂线的性质和平行公理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故该说法是正确的，
②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故该说法是错误的．
③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应强调在同一个平面内，故该说法是是错误的．
④④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故该说法是正确的．
故选B．
7. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】设出小长方形长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，，
即①，
由图2可得，，
即②，
由①②得，，
所以，
即每个小长方形的面积为5，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，还考查了多项式乘多项式，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法．
8. 如图，若，则、、之间的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
详解】解：如图，作，
，
则，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共5小题，计15分）
9. 某病毒的平均直径为124纳米（1米纳米），124纳米用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：124纳米米，
故答案为：．
10. 如图，已知，，的面积为12，点P为边所在直线上的一个动点，连接，则点的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短，根据点P为边所在直线上的一个动点，当时，则点取最小值，运用三角形的面积公式列式计算，即可作答．
【详解】解：∵点P为边所在直线上的一个动点，
∴当时，则点取最小值，
∵，的面积为12，
此时，
解得，
故答案为：．
11. 已知，，求的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，同底数幂相除，先根据，，得出，，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
12. 图1是一张长方形纸条，点E，F分别在上，将纸条沿折叠成图2．若图2中的，则图1中的的度数是______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线性质，折叠的性质，图2中根据平行线的性质可得，再由折叠的性质可得的度数的2倍与的度数和为180度即可求出答案．
【详解】解：在图2中，∵，
∴，
∴图1中，
故答案为：．
13. 如图，在同一平面内，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以每秒1度和每秒6度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当与平行时，时间t的值为______．
【答案】6或42秒
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得：
如图①，与在的两侧时，

，，
，，
要使，则，
即，
解得：；
此时，
；
②旋转到与都在的右侧时，

，，
要使，则，
即，
解得：，
综上所述，当时间的值为6秒或42秒时，与平行．
故答案为：6或42秒
三、解答题（共9小题，计61分．解答要写出过程）
14. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、乘方、平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简零次幂、负整数指数幂、乘方，再运算加减，即可作答．
（2）运用完全平方公式进行简便运算，即可作答．
（3）单项式乘多项式、多项式乘多项式等法则进行展开，再合并同类项，即可作答．
（4）先运用平方差公式得出，再运算完全平方公式，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
15. 如图，已知，点C是边上的一点．
求作点P，使得并且．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图一复杂作图、平行线的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行线的判定、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
结合平行线判定、线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，在的左侧作 交线段的垂直平分线于点，则点即为所求．
【详解】如图，作线段的垂直平分线，在的左侧作，交线段的垂直平分线于点，则点即为所求．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，结合绝对值和偶次幂的非负性确定和的值，从而代入求值．
【详解】解：原式
，
∵
∴，，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
17. 填空，并完成推理过程：
如图，已知，，．试说明．
证明：∵（已知），
∴（____________），
∴（____________），
又∵（已知），
∴（____________），
∴（____________），
∴（____________），
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（垂直的定义）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先由同位角相等，两直线平行证明，则由两直线平行，内错角相等得，再结合，得，然后由同旁内角互补，两直线平行证明，则，最后由垂直的定义作答即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（垂直的定义）．
18. 学完多项式乘以多项式，爱思考的小明发现：，
（1）若，那么m的值是______，n的值是______；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据多项式乘多项式法则展开合并同类项得，再比较，即可作答．
（2）同理得，再与比较得，然后处理，再代入数值计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，
∵，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：依题意
∵，
∴，
则
则把代入，
得．
19. 如图所示，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
【答案】∠BOF=25°
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOD，再根据角平分线的定义求出∠1，然后根据垂直的定义求出∠2，再根据平角的定义列式计算即可得解．
【详解】解：如图，∵CD∥AB，
∴∠AOD=180°-∠D=180°-50°=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠1=∠AOD=×130°=65°，
∵OF⊥OE，
∴∠2=90°-∠1=90°-65°=25°，
∴∠BOF=180°-∠AOD-∠2=180°-130°-25°=25°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，是基础题，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．
20. 先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
“配方法”是数学中常用的一种将代数式恒等变形的方法，它的基本原理就是逆用完全平方公式将代数式变形为“完全平方式”，进而利用其“非负性”来解决相关问题．例如：求代数式的最小值，解法如下：．因为，所以，所以的最小值是1．请运用“配方法”解决如下问题：
（1）代数式的最小值是______．
（2）某中学准备在校园里建一个长方形花园，要求一面靠墙（墙的长度为），现用总长为的材料围成一个长方形花园如图所示，当长为多少时，长方形花园的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）5 （2）当长为时，长方形花园的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干的过程，进行作答即可；
（2）先设长为，则，得出长方形花园的面积，根据，则当时， ，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，
，
∵，
∴，
∴的最小值是5．
故答案为：5；
【小问2详解】
解：设长为，则，
∴长方形花园的面积
，
∵，
∴，
则，
当时，则，
即当长为时，长方形花园的面积最大，最大面积是．
21. （1）若用四个完全相同的这样的长方形（长为a、宽为b）拼成如图1的正方形，请用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式：____________；
（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：____________；
②利用上面所得的结论解答：，，求的值．
【答案】（1）（2）①②
【解析】
【分析】（1）利用面积相等推导公式；
（2）①利用体积相等推导；
②应用①生成的公式，进行变形，代入计算即可；
本题考查完全平方公式的几何意义，能够由面积相等过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
【详解】解：（1）∵阴影部分是边长为（）的正方形，
∴ 阴影面积为，
∵ 阴影部分的面积可以由大正方形的面积减去四个长方形的面积，
∴ 阴影部分面积为，
∴ 由阴影部分面积相等可得，
故答案为：，
（2）①∵ 大正方体的棱长为，
∴ 大正方体的体积为
∵大正方体的体积可以看成长方体和小正方体的体积和
∴大正方体的体积为
∴；
故答案为：；
②∵，，，
∴，
即，
∴．
22. 如图①，过直线外一点C作，连接，．
（1）求的度数；
（2）如图②，若的平分线交于点D，点E是线段上一动点（不与A，D重合），连接．若，试探究和之间的数量关系，并说明理由；
（3）过点B引一条射线交于点H，满足，现将绕点B每秒的速度顺时针转动，绕点H每秒的速度顺时针转动，它们同时开始运动，设运动时间为．若转动后的两条射线交于点P，过P作交射线于点Q．若在转动过程中，与的比值是定值，求此时的度数．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，则，再由平角的定义可得答案；
（2）由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理和角的和差关系结合已知条件证明，即可得到；
（3）根据平行线的性质和已知条件求出；则可表示出，，过点P作，则，可得，设（k为常数），则，进而得到，再由的度数与时间t无关，推出，则．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴；
由题意得，，
∴，，
如图所示，过点P作，则，
∴，
∴，
设（k为常数），则，
∴，
∵的度数与时间t无关，
∴，
∴，
∴．