四川省绵竹中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设函数 在 处存在导数为 2，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义即可得解.
【详解】由依题意，知 ，
则 .
故选：C.
2. 由 1，2，3，4 这 4 个数组成无重复数字的四位数且为偶数，共有多少种排法（ ）
A. 12 B. 24 C. 48 D. 256
【答案】A
【解析】
【分析】先排个位数，再对剩余的数进行全排列即可.
【详解】因为四位数为偶数，则个位数字为偶数，共有 种可能，
剩余的三个数进行全排列，共有 种可能；
所以共有 种排法.
故选：A.
3. 下列函数的求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得.
【详解】选项 A： ，故 A 错误；
选项 B： ，故 B 错误；
选项 C： ，故 C 错误；
选项 D： ，故 D 正确.
故选：D
4. 向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度
是关于时间 的函数 ，则函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的形状，判断水面高度 随时间 升高的快慢，判断可得出合适的选项.
【详解】几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢，
即图象越来越平缓，
故选：B.
5. 有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
【答案】B
【解析】
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方
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式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这 5 名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
6. 已知函数 在 处取得极值 ，则 （ ）.
A. B. 2 C. D. 或 2
【答案】B
【解析】
【分析】求出导函数，利用 和 列式求解即可，注意要进行检验.
【详解】由 得 ，所以 ，
又 ，解得 或 2；
当 时， ，此时 ，
此时 不是函数的极值点，不合题意，故 .
故选：B
7. 若函数 在区间 上单调，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求函数的导数，转化为 或 ，利用参变分离转化为最值问题，即可求解.
【详解】 ，由函数 在区间 上单调，
则 或 ，即 或 ， ，
即 ，或 ， ，
，
当 时，函数取得最小值 3，当 时，函数取得最大值 4，
所以 或 .
故选：A
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8. 设函数 的导函数为 ，当 时满足 ，且 ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 ，由已知条件可求得 ，从而解得 的解析式，对 求
导判断得函数的单调性，从而可得 ，再由 ，即可求解.
【详解】令 ， ，
故 ( 为常数)，
又 ，
故 ，
所以 ，定义域为 ， ，
所以 在区间 上单调递减，
因为 ，所以 ，
又由 ，
故 .
故选：A.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
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9. 如图是导函数 的导函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 在区间 上单调递减
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 在 处取极大值
D. 函数 在 处取极小值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由导函数与原函数的关系以及极值的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由图像可知，当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
所以当 时，函数 有极大值，故 C 正确，A 错误；
当 时， ，则函数 单调递增，故 B 正确；
且 ，即 不是函数 的极值点，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递增，
所以 不是函数 的极值点，故 D 错误.
故选:BC
10. 现有 个编号为 的盒子和 个编号为 的小球，要求把 个小球全部放进盒子中，则（
）
A. 没有空盒子的方法共有 种
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B. 可以有空盒子的方法共有 种
C. 恰有 个盒子不放球的方法共有 种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有 种
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，直接使用全排列的定义即可；对于 B，直接使用乘法原理即可；对于 C，根据分组分配问
题并结合乘法原理即可；对于 D，直接列举所有可能的情况即可.
【详解】对于 A，没有空盒子就意味着放置方式对应全体 个小球的全排列，故方法数为 ，故 A 错
误；
对于 B，若允许有空盒子，则每个小球可以任意放进 个盒子之一，故方法数为 ，故 B 正确；
对于 C，若恰有 个盒子不放球，则空盒子的选取方式有 种，空盒子确定之后，剩余三个盒子的小球数目
必定是 ，故方法数共有 种放法，故为，故 C 正确；
对于 D，直接列举可知，编号为 的盒子分别放置的小球可能是
.
共 种，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号 来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整
数上的函数 与 ，若存在正常数 ，同时存在常数 ，使任意 时， ，
则称 是 的复杂函数，则下列函数中，满足 是 的复杂函数有（ ）（设 均
为非零实数）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的定义，结合函数单调性、不等式性质及导数探讨单调性逐项推理判断.
【详解】对于 A，存在正常数 ，取 ，对任意 ，
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，
因此 是 的复杂函数，A 是；
对于 B，存在正常数 ，取 ，对任意 ，令 ，
求导得 ，令 ，
求导得 ，函数 在 上递增，
，函数 在 上递增，
，则 ，
因此 ， 是 的复杂函数，B 是；
对于 C， ，函数 在 R 上单调递增，值域为 ，
因此不存 正常数 ，使得 成立，而 ，即不存在正常数 ，使得 成立，
不是 的复杂函数，C 不是；
对于 D，存在常数 ，取常数 ，对任意 ，
，
因此 是 的复杂函数，D 是.
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若函数 的导函数为 ，且满足 ，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先求导，然后代入 求出 ，进而可得 ，接着代入 计算即可.
【详解】由 得 ，
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所以 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 《哪吒 2》9 天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映 16 天票房突破 100 亿；21 天登顶全球动画
电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，
已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式_____．（用数字作答）
【答案】84
【解析】
【分析】根据已知条件，分两种情况进行排列组合即可.
【详解】由题知共分两种情况：
第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、雷、土三种灵珠均被选出，
共有 种法阵组合；
第二种情况：风、火灵珠均被选出，水、雷、土三种灵珠选出两个，
先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有 种方法，
再将风、火灵珠进行插空，共有 种方法，
则共有 种法阵组合，
所以共有 种法阵组合.
故答案为：84
14. 已知函数 ， ，若 ，则 的最小值
为_______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用导数研究 的单调性，结合 可得 ，进而有 ，
构造 求最小值即可.
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【详解】由 且 ，则 ，
在 时 ， 递减；在 时 ， 递增；
所以极小值 ，故 单调递增，又 ，
由 ，则 ，所以 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 上 ， 递减， 上 ， 递增，
故 ，即 的最小值为 .
故答案 ：
【点睛】关键点点睛：注意 ，根据 的单调性求出 的关系，进而转化目标式并构造
函数求最小值.
四、解答题：本大题共 5 小题；共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的极值.
【答案】（1）
（2）极小值为 ，无极大值
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可.
（2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值.
【小问 1 详解】
的定义域为 ，
，所以 ，
又因为 ，所以切点为 ，
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所以曲线在 处的切线方程为
【小问 2 详解】
，
当 时， ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得极小值，且极小值为 ，无极大值.
16. 2024 年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了 40 枚金牌，27 枚银牌，24 枚铜牌，共 91 枚奖牌，取得
了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，
弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 ，
， ， ， ， 分成 6 组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求 a 的值
（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60 分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样
方法抽出 5 名同学，再从抽取的这 5 名同学中随机抽取 2 名同学进行情况了解，求这 2 名同学分数在
， 各一人的概率.
【答案】（1）
（2）71. （3） .
【解析】
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【分析】（1）利用频率和为 1，可求出 值；
（2）利用区间中点值乘以该区间 频率累加求和即为平均值；
（3）利用分层抽样和列举法来求概率即可.
【小问 1 详解】
由题意可得： ，
解得： ，
【小问 2 详解】
因为 ，
所以估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为 71.
【小问 3 详解】
采用分层抽样从 和 抽取 5 名同学，
因为 ，
则应在成绩为 的学生中抽取 2 人，记为 a，b；
在成绩为 的学生中抽取 3 人，记为 A，B，C；
再从抽取的这 5 名同学中随机抽取 2 名同学有如下结果，
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种可能结果：
其中在 ， 各一人的共 6 种；
所以所求概率 .
17. 已知函数 在 处取得极值 .
（1）求实数 ， 的值
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值
【答案】（1） ，
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）先求导，根据已知列方程组即可求解；
（2）由（1）知 ，根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处的函数
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值与极值比较即可求解最值.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，经检验，符合题意，
所以 ， ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，所以 ，
令 ，得 或 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以函数 的极小值为 ，极大值为 ，
又 ， ，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
18. 已知函数 f(x)＝x－(a＋1)lnx－ (a∈R)，g(x)＝ x2＋ex－xex.
（1）当 x∈[1，e]时，求 f(x)的最小值；
（2）当 a