四川省凉山州2023_2024学年高二数学下学期第四周考试试卷含解析

这是一份四川省凉山州2023_2024学年高二数学下学期第四周考试试卷含解析，共10页。试卷主要包含了设甲，设，则，正方形的边长是2，是的中点，则，已知为锐角，，则等内容，欢迎下载使用。
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．设，则（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
3．正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
4．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
5．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线
6．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
三、填空题
7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为．
8．今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要立方米水制成．（制作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态，，）
三、解答题
9．已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：．
10．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；
(2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率.
11．已知双曲线：，点的坐标为 ．
(1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；
(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．
12．如图，在四棱锥中，与交于点，平面，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案：
1．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
3．B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
4．D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
5．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求出，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）依题意，，
又、、成等比数列，
所以，即，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
6．(1)，73.5
(2)
【分析】（1）由频率之和为解，由频率分布直方图中平均数的估计方法求解平均数即可；
（2）先由分层抽样的方法确定每层的人数，然后由古典概率公式计算概率即可.
【详解】（1）由，解得；
这100人的竞赛成绩的平均数估计为：
.
（2）成绩在的频率为0.25，成绩在的频率为0.05，
所以竞赛成绩在，两个组的人数之比为，
采用分层抽样的方法从中抽取人，
所以成绩在抽得的人数为人，
成绩在抽得的人数为人.
现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，
则这名组长的竞赛成绩在内的概率为.
7．(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）直线的方程为．
由方程组得．
设,则，
．
（2）设点，则点的坐标为．
，，
．
因为，所以．
8．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）结合（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）设，所以，
因此，
由余弦定理可知，，
因为，所以，
因此，于是有，
因此有，即，而，
所以，因此，即，
因为平面，平面，
所以，因为平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，由（1）知，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以，
即，
于是，
，
设平面的法向量为，
则有，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角的正弦值.
9．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
10．ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
11．
【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】因为，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
即，所以，
故答案为：.
12．11.1
【分析】计算出正四棱台冰雕底座的体积，换算成冰的质量，再算得所用水的体积即可.
【详解】由题意，该正四棱台冰雕底座的体积为：，即冰的质量为：，
故需要的水的质量也是，其体积为：.
故答案为：11.1.