山西省大同市第一中学校等校联考2025届中考一模 数学试卷

这是一份山西省大同市第一中学校等校联考2025届中考一模 数学试卷，共14页。
1. 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为，，，.这些气温中最低的是（ ）
A. B. C. D.
2. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色.下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地.据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上.如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点.已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ）
A. B. C. D.
6. 2025年春节档电影精彩纷呈，其中《哪吒之魔童闹海》登顶全球动画电影票房榜首位.小晋和小阳相约观影，他们分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线.若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知反比例函数的图象上有两点，.下列结论一定正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
9. 如图，已知，点D是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（ ）
A. 中线B. 中垂线C. 角平分线D. 高线
10. 物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大.小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象.根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______.
12. 谱号是现代乐谱中不可或缺的元素之一.如图，将高音谱号放入等距离的五条平行线构成的五线谱中，点A，B，C分别是高音谱号与五线谱中三条直线，，的交点，且A，B，C在同一条直线上.若，则的长为______.
13. 视力表是眼科常用的检查工具，通常让患者辨认视力表上的视标，可以评估患者的视力水平，其中视力值V是该行字母E的宽度值的反比例函数.已知某视力表中视力值V和字母E的宽度值a的部分对应数据如下表所示.若某行字母E的宽度值，则该行对应的视力值是______.
14. 已知直角三角板中，，，现将一个量角器和该三角板按照如图方式摆放，其中点B与量角器的中心重合，点C落在量角器的外边缘圆弧上，边与圆弧交于点D.若点D是的中点，，则图中阴影部分的面积为______.
15. 如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点F.若，，则的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本大题共2个小题，每个小题5分，共10分）
（1）计算：；
（2）下面是小含同学解方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务.
任务一：①以上解题过程中，第一步变形依据的运算律是______.
②第______步开始出现错误，错误的原因是______.
任务二：请你直接写出该方程的正确解.
17.（本题6分）
如图，点E是边上一点（不与A，D重合），连接.
（1）尺规作图：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接（要求在图中作出图形，标明字母）；
（2）在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由.
18.（本题8分）
为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛，分为初赛和决赛两个阶段.初赛有45名各班选派的选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项测试，每项成绩均按百分制打分.评委会将笔试、抢答和演讲三项测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩作为选手的初赛成绩，并对选手成绩进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
①45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图（数据分6组，每组包含最小值，不含最大值）；
②其中总评在91~94分的选手成绩如下：
93，91，91.5，92，92.6，91.6，93.5，92，92，92.2，91，93.8
③初赛中甲班选手小文和小武三项成绩如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）45名选手初赛成绩的中位数为______分；
（2）求小武的总评成绩；
（3）若学校决定根据总评成绩择优选拔23名学生参加决赛.试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由.
19.（本题9分）
第9届哈尔滨亚冬运会于2025年2月8日-2月14日举行.冬运会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖.某商店计划购进A，B两款型号的吉祥物.已知用3600元购进A型号吉祥物的数量比用4000元购进B型号吉祥物的数量多20套，且B型号吉祥物每套价格是A型号吉祥物每套价格的倍.
（1）分别求A，B型号吉祥物每套的价格；
（2）经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元.该商家决定购进A，B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于8500元，求A型号吉祥物最多购进多少套.
20.（本题7分）
风能是一种清洁能源，我国风能资源非常丰富.某校综合与实践小组了解到风电塔筒是风力发电设施中不可或缺的重要组成部分，该小组测量某风电塔筒（即风力发电的塔杆）的高度，形成了如下不完整的实践报告：
请根据以上测量数据，求风电塔筒的高度（结果精确到1米，参考数据：，，）.
21.（本题共9分）阅读与思考：请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务.
任务：
（1）材料中“▲”处空缺的内容依次为：______；______；______；
（2）请将材料中关于对边性质的说理过程补充完整；
（3）如图2，已知四边形ABCD是双心四边形，其中，，，直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离.
22.（本题13分）综合与实践
弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适.图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点A为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点B到地面的距离为2.36米，且点A和点B的水平距离为8米.
数学建模
（1）在图1中，以地面为x轴，以过点B垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系.设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为x（米），该处离地面的高度为y（米），求y与x之间的函数关系式；
问题解决
（2）现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架.如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点O与点A，然后在棚顶上某处取点C，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架.当第二段钢架长度为1.89米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置.
23.（本题13分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题.已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点F，过点F作的平行线交射线于点G.
初步探究：（1）如图1，勤思小组先分析了点E恰好与点F重合时的情形，他们发现此时点G与点D也重合.求此时的度数；
深入思考：（2）如图2，敏学小组进一步探究点E与点F不重合的情形.他们在探究中提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点F在的延长线上时，猜想线段，与之间的数量关系，并证明你的结论；
②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由.
2025年山西省名校联考（一）
数学参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 12. 13. 0.4 14. 15.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（本题共有2小题，共10分）
（1）解：原式…………3分
…………4分
.…………5分
（2）解：任务一：①乘法分配律…………7分
②二，将变形为其相反数时，没有添加负号，…………9分
任务二：方程的解为，.…………10分
17.（本题6分）
解：（1）如图：
…………2分
（2）.
理由：根据作法知，，…………3分
∵四边形是平行四边形，
∴，即.…………4分
又∵，∴四边形是平行四边形，…………5分
∴.…………6分
18.（本题8分）
解：（1）91；…………2分
（2）（分）.…………4分
答：小武的总评成绩为89.2分.…………5分
（3）小文能进入决赛，小武不能.…………6分
理由是：共有45名选手参加比赛，要选拔23名进入决赛，则进入决赛的选手成绩应不低于中位数.由（1）得中位数为91分，而小文的成绩为91.6分，高于中位数，小武的成绩为89.2分，低于中位数，所以小文能进入决赛，小武不能.…………8分
19.（本题9分）
解：（1）设A型号吉祥物每套的价格为x元，则B型号吉祥物每套的价格为元.…………1分
根据题意得，.…………2分
解，得.…………3分
经检验，是原分式方程的解且符合题意.…………4分
.
答：A型号吉祥物每套的价格为60元，则B型号吉祥物每套的价格为100元.…………5分
（2）设A型号吉祥物购进y套，则B型号吉祥物购进套.…………6分
根据题意，得.…………7分
解，得.…………8分
∴y的最大值为50.
答：A型号吉祥物最多购进50套.…………9分
20.（本题7分）
解：分别延长、与交于点E，F.…………1分
由题意得，，，
∴.
在中，，，
∴.…………2分
在中，，，
.…………3分
由题意得，四边形，四边形均为矩形，
∴，，米，米，…………4分
设米，则米，
∴，.…………5分
∵米，
∴.解得.…………6分
∴（米）.
∴（米）
答：风电塔筒AB的高度约为115米.…………7分
21.（本题9分）
（1）正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径.…………3分
（2）∴.…………4分
同理，，，.…………5分
∴，
即.…………7分
（3）.…………9分
22.（本题13分）
解：（1）设y与x的函数关系式为，
由题可得，抛物线的顶点A的坐标为，…………1分
∴抛物线的函数关系式为.…………2分
∵点B的坐标为，
∴将点B代入函数关系式中，得：
解得：.…………3分
∴y与x的函数关系式为.…………4分
（2）根据题意，设点P的坐标为，
将代入中，得，，
解，得（舍去），.…………5分
∵，∴这辆货车可以完全停进遮阳棚内.…………6分
（3）设线段的函数关系式为，
将点代入中，得，
∴OA的函数关系式为.…………7分
∵抛物线的一般式为，
且点C是抛物线上的点，可设点C的坐标为，…………8分
∵轴，点D的横坐标为x，点D在上，
∴点D的坐标为…………9分
∴.…………10分
将代入，得.…………11分
解，得，（不符合题意，舍去）…………12分
∴答：钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置.…………13分
23.（本题13分）
（1）解：∵沿翻折得到，
∴.…………1分
∵，且F与E重合，∴.
∵四边形是菱形，∴，∴，
∴，…………2分
∴是等边三角形.
∴…………3分
（2）①.…………4分
证明：∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴.…………5分
∵，∴，
∵，∴.…………6分
∵，∴，…………7分
∴，∴.…………8分
∵，∴.…………9分
②存在两种四边形面积是菱形面积的一般的情形，
的正切值为或1.…………13分
宽度值
70
28
14
3.5
视力值V
0.1
0.25
0.5
2.0
.
解：.…………………第一步
.………………………第二步
.……………………第三步
所以，或.…………第四步
解得，.………………………第五步
笔试成绩
抢答成绩
演讲成绩
总评成绩
小文
93
90
92
91.6
小武
90
85
96
______
测量对象
风电塔筒的高度
测量目的
运用三角函数有关知识解决实际问题
测量工具
测角仪、激光测距仪等
测量示意图
测量方案
1. 在风电塔筒前的空地上取测量点C，利用测角仪测得此时点A的仰角；
2. 改变测量点，在风电塔筒另一侧空地上取点D，利用测角仪测得此时点A的仰角；
3. 测得米，米，米.（图中各点均在同一竖直平面内）
关于“双心四边形”的研究报告
研究对象：双心四边形
研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究.
研究方法：观察—猜想—推理证明—应用拓展
研究内容：【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆.类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形.
【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称）
【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下：
对角：双心四边形的对角______.
对边：双心四边形两组对边之和相等.
理由如下：
如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为E，F，G，H.
为说明，连接，，.
∵与，分别相切于点E，F，
∴，，（依据： ▲ ）
∴，
∵，，
∴，
∴……
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
A
A
C
B
C
A