福建省厦门市2024届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省厦门市2024届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了可以直接使用2B铅笔作图．， 关于等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3.可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定性事件的是（ ）
A. 向上一面的点数是2B. 向上一面的点数是奇数
C. 向上一面的点数小于3D. 向上一面的点数小于7
答案：D
解：A．向上一面的点数是2是随机事件；
B．向上一面的点数是奇数是随机事件；
C．向上一面的点数小于3是随机事件；
D．向上一面的点数小于7是必然事件；
必然事件和不可能事件都是确定事件．
故选：D．
2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：A、∵，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；
B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
C、∵，∴方程没有实数根，不合题意；
D、∵，∴方程没有实数根，不合题意．
故选：B．
3. 如图，内接于，直径交于点P，连接．下列角中，等于的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：由圆周角定理可得，
故选：B．
4. 关于（x为任意实数）的函数值，下列说法正确的是（ ）
A. 最小值是B. 最小值是2C. 最大值是D. 最大值是2
答案：A
解：二次函数，
其图象开口向上，其顶点为．
函数的最小值为．
故选：A．
5. 某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：设图书数量的平均增长率为x,
由题意得，．
故选：C．
6. 如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称．
故选：D．
7. 某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（ ）
A. 4B. 16C. 24D. 32
答案：C
解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转一圈需要转动扳手次，旋转4圈需要转动扳手次．
故选：C．
8. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则t的取值范围是（ ）
A B. C. D.
答案：D
解：，
当s取得最大值时，飞机停下来，即，飞机停下来，
因此t的取值范围是；
故选：D．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9. 不透明袋子中只装有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______．
答案：
解：从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率为，
故答案：．
10. 抛物线的对称轴是______．
答案：
解：∵，
∴此函数的对称轴就是直线．
故答案为：．
11. 已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个实数根，则m的值是______．
答案：2.
将x=1代入方程即可求出m的值.
试题解析：把x=1代入方程得：
1+m-3=0
∴m=2
故答案为m=2.
12. 如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．
答案：∠ABC
解：∵四边形ABCD内接于圆，
∴，
∵E为CD延长线上一点，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，是的角平分线．把绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点是点E，则点D与点F之间的距离是_____．
答案：
解：∵，，是的角平分线．
∴，，
∴，
连接，
由旋转的性质可得：，，
∴；
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为______．
答案：
解：，
，
的对角线相交于点O，，
∴点的坐标为，
故选：C．
15. 为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该种农作物的种子进行辐射，使其基因发生某种变异．表一记录了截至目前的试验数据．
表一
该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还需要准备用以辐射的种子数（单位：千粒）______．
答案：16
解：第1次实验成功率为：，
第2次实验成功率为：，
第3次实验成功率为：，
第4次实验成功率为：，
第5次实验成功率为：，
第6次实验成功率为：，
第7次实验成功率为：，
综上所述，试验成功的概率为，
该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，已经成功14粒，
还差16粒，有（粒）（千粒），
故答案为：16．
16. 有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程：_______．
答案：（答案不唯一）
解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程．
故答案为：（答案不唯一）
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解方程：．
答案：，
∵a=1，b=－5，c=2

∴代入求根公式得，
∴，
18. 如图，四边形平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：．
答案：见解析
解法一：
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
．
解法二：
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
解法三：
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
19. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
当时，
原式．
20. 如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长．
答案：
解：连接，
与相切于点A，
，即．
设，
，的长为，
．
解得，即．
．
．
．
在中，，
．
21. 在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上．
（1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系．
答案：（1）见解析 （2），见解析
小问1详解】
如图即为所求；
以圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求；
故
【小问2详解】
在矩形中，
绕点B顺时针旋转得到，
点A的对应点F在线段上，
∵ 在中，

又与交于点Q，
又

是等边三角形．
在中，

22. 某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；
① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；
② 转运板进311，托起车，载车出311；
③ 转运板载车滑行至316前；
④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前；
⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车．
如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．
（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；
（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）
（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．
答案：（1）转运板载车时的滑行速度为0.6m/s
（2）P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝
【小问1详解】
解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，
依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m，
可列方程：，
解得：x＝0.6 ，
经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意．
答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．
【小问2详解】
解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，
则．
解得：．
因为a是正整数，所以．
因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝．
23. 正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”．若直线l：与“T”是正方形“以T为端点的一边相交，且点T到直线l的距离为，则称直线l为该正方形的“T悬割线”．
已知抛物线M：，其中，，，以为边作正方形（点D在点A的下方）．
（1）证明：正方形是抛物线M的“A悬正方形”；
（2）判断正方形是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由；
（3）若直线l是正方形的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形进行相同的平移，是否存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线M经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由．
答案：23. 见解析
24. 正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由见解析
25. 存在，要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，抛物线M向右平移h个单位，向上平移个单位，其中h为任意实数
【小问1详解】
解：当时，，
则点A在抛物线M上，
故正方形是抛物线M的“A悬正方形”．
【小问2详解】
解法一：
正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下：
假设点B在抛物线M上，则当时，，
则，
化简得：，解得，
与矛盾，假设不成立，
所以点B不在抛物线M上．
故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”．
解法二：
正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下：
假设点B在抛物线M上，
由，可知抛物线M的对称轴，
由抛物线M：可知对称轴是．
所以，解得．
与矛盾，假设不成立．
所以点B不在抛物线M上．
故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”．
【小问3详解】
假设存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形，则平移后，正方形是抛物线M的“C悬正方形”．
∵抛物线M及正方形进行相同的平移，
∴平移前，正方形是抛物线M的“C悬正方形”．
则点C在抛物线M上．
∵，，
∴轴．
∵
∴，
在正方形中，，，则．
∵点C在抛物线M上，
∴．
解得：，（不合题意，舍去）．
∴．
那么平移前，，，．
∵直线l：与x轴，y轴分别交于，，
∵
∴，直线l：与x轴夹角是．
因为平移前，直线l是正方形的“A悬割线”，如图，设直线l与，分别交于点P，Q，
∵轴，
∴，
在正方形中，，
∴．
则．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵点P在直线l：上，
∴，
设点平移后的坐标为．
设直线l与平移后正方形的边交于点E，
如图，同理可得：．
则．
∵点E在直线l：上，
∴，
∴．
∵抛物线M及正方形进行相同的平移，
∴要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，则抛物线M向右平移h个单位，向上平移个单位，其中h为任意实数．
24. 四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示．
（1）当时，求证：直线与相切；
（2）当，时，求的度数；
（3）在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系．
答案：（1）见解析 （2）
（3）或
【小问1详解】
证明：连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，．
∴．
∵．
∴．
∵P是垂直平分线上的点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵垂直平分，P在上，
∴，即点A在上．
∴直线与相切．
【小问2详解】
由（1）得，则点D在上．
∵与同对，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴在中，．
∵由（1）得，即．
∴．
∴为直角三角形，且．
∴．
又∵，
∴．
【小问3详解】
设，
由（1）知：当时，直线与相切，同理：当时，直线与相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合．
所以若点C与E不重合，可分两类讨论：
①当点E在延长线上时，
由（2）知：．
∴，即．
∵，
∴．
∴．
则．
即．
②当点E在边上时，
∵点A，E，C，D在上，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
又∵，
∴．
∴．
∴．
即．
综上，或．
25. 请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料：
[背景]
小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道：“你家附近不是已经有一个A超市了吗？再开一个能吸引顾客吗？”这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣．
[过程]
为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素”为主题对该市居民展开随机调查．结果显示：超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素．
大家根据调查进行了总结：
①可以把“平均每周到超市购物次数p”作为超市吸引力指标；
②占地面积越大吸引力越大；
③距离越大吸引力越小．
在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相应超市的占地面积s（单位：）及其与居民住处的距离r（单位：m），并对p，s，r之间的关系进行研究．
一开始，同学们猜想p可能是的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大．这时，小梧提出：“我联想到牛顿万有引力定律，这个定律揭示了两个物体之间的引力大小与各个物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比，可以表示为（G是引力常数），我们是不是可以作个类比，试一下看p与的关系如何？”．按他的建议，同学们利用调查所得的数据在平面直角坐标系中绘制了p与对应关系的散点图，如图所示．

根据阅读材料思考：
（1）观察图中散点的分布规律，请用一种函数来合理估计p与的对应关系，直接写出它的一般形式；
（2）为了清晰表示位置，同学们选A超市为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长，则小悟家的坐标为超市的占地面积为，规划中的B超市在A超市的正东方向．根据（1）中的对应关系，解决下列问题：
①若B超市与A超市距离，且对小悟家的吸引力与A超市相同，求B超市占地面积的范围；
②小梧家在东西向的百花巷，百花巷横向排列着较为密集的居民楼．现规划B超市开在距A超市处，且占地面积最大为，要想与A超市竞争百花巷的居民，该规划是否合适？请说明理由．
答案：（1）
（2）①B超市占地面积s的范围为；②该规划不合适，理由见解析
【小问1详解】
解：观察图中散点的分布规律可知程正比例函数，故．
【小问2详解】
①解：设超市的坐标为，占地面积为．
记超市的吸引力为超市的吸引力为．
因为超市为原点，小梧家的坐标为，
根据勾股定理，小梧家到超市的距离为，到超市的距离为．
因为超市对居民的吸引力，
所以．
因为两家超市对小梧家的吸引力相同，所以．
所以．
所以．
因为，抛物线开口向上，对称轴，
所以在上，随的增大而增大．
所以当时，取得最小值800，当时，取得最大值2000．
所以超市占地面积的范围为．

②解：设为1个单位长度，因为超市开在距超市处，
所以超市的坐标为，
任取百花巷上一点，设，
根据勾股定理，点到超市的距离为，到超市的距离为．
记超市的面积为超市的面积为，
设，
因为超市的占地面积为超市占地面积最大为，
所以．
因为，
所以
设
则该二次函数中，
因为，所以有最小值．
设．
因为，抛物线开口向上，对称轴为，
所以在上随的增大而减小．
因为当时，，
所以当时，．
因为，所以．
即当恒成立，
因为，
所以，即对于任意的值，都有．
所以在规划的条件下，百花巷上不存在超市对居民吸引力大于超市的位置，故该规划不合适．
累计获得试验成功的种子数（单位：粒）
1
4
6
8
10
12
14
累计试验种子数（单位：千粒）
1
5
8
10.5
12.5
14.5
16.5
停车位
301
…
停车位
311
…
升降台
316
…
留空
321
…
停车位
330
转运板滑行区 转运板滑行区