安徽省A10联盟2024-2025学年高二（下）段考数学试卷（3月份）（D卷）（含解析）

这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高二（下）段考数学试卷（3月份）（D卷）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.C42+A42=( )
A. 14B. 16C. 18D. 24
2.若椭圆C：x22+y25=1的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为( )
A. x22−y23=1B. x23−y22=1C. y25−x22=1D. y23−x22=1
3.已知随机变量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，则P(400)上两点，F1，F2分别为C的左、右焦点，AB⋅AF2=0，AB=λAF1(λ≠0)，5|AF2|=12|AB|，则C的离心率为( )
A. 35B. 155C. 45D. 175
8.有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出k(1≤k≤10,k∈N*)个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为X，则当k(1≤k≤10,k∈N*)变大时( )
A. E(X)变小B. E(X)先变小再变大
C. E(X)变大D. E(X)先变大再变小
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(2x−x)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则( )
A. n=9B. 所有项的系数和为1
C. 没有常数项D. x5的系数为14
10.如图，某电子实验猫线路图上有A，B两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，A，B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为13，p(00)上，且到C的焦点的距离为3p，则实数a= ______．
14.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为14，向右下落的概率为34，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入______号格子的概率最大．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
(3)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
(4)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
(要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示)
16.(本小题15分)
某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．
(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；
(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4×100米接力.现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选4×100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
如图，在正四棱锥S−ABCD中，SA= 2AB=2，P为侧棱SD的中点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)求点B到平面PAC的距离；
(3)求平面SBC与平面PAC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知过点P(3, 2)的双曲线C的渐近线方程为x± 3y=0.如图所示，过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线l交C的右支于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若双曲线C上的点Q(x0,y0)到其两条渐近线的距离分别为d1，d2，求d1d2的值；
(3)已知点Q(32,0)，求证：∠AQF=∠BQF．
19.(本小题17分)
手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序A，工序B，工序C.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为23，23，34.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
(1)求小李独立成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率；
(3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由排列数和组合数的公式，可得C42+A42=4×32×1+4×3=6+12=18．
故选：C．
根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解．
本题考查排列数和组合数的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：椭圆C：x22+y25=1，
则椭圆C的焦点坐标为(0,± 3)，上下顶点坐标为(0,± 5)，
故双曲线E的顶点为(0,± 3)，焦点为(0,± 5)，
则双曲线E的标准方程为y23−x22=1．
故选：D．
根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可．
本题主要考查圆锥曲线的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：已知随机变量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，得μ=80，
则P(400，
所以a=4 55．
故答案为：4 55．
由抛物线定义求出p，得到抛物线方程，再将点(2,a)代入，即可求得a．
本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
14.【答案】8
【解析】解：小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为14，向右下落的概率为34，
小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为(14)10，
小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为C109(14)9(34)1，
小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为C108(14)8(34)2，
小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为C107(14)7(34)3，
依此类推，小球掉入k(k=0,1,2,⋯10)号格子，需要向10−k左次，向右k次，概率为C10k(14)10−k(34)k，
设小球掉入k号格子的概率最大，显然k≠0，k≠10，
则C10k(14)10−k(34)k≥C10k−1(14)11−k(34)k−1C10k(14)10−k(34)k≥C10k+1(14)9−k(34)k+1，
即34C10k≥14C10k−114C10k≥34C10k+1，即3×10×9×⋯×(12−k)⋅(11−k)k⋅(k−1)!≥10×9×⋯×(12−k)(k−1)!10×9×⋯×(11−k)k!≤3×10×9×⋯×(11−k)⋅(10−k)(k+1)⋅k!，
解得294≤k≤334，
又k为整数，
所以k=8，
则小球落入8号格子的概率最大．
故答案为：8．
利用n次独立重复试验中，小球掉入k(k=0,1,2,⋯10)号格子的概率为C10k(14)10−k(34)k，设小球掉入k号格子的概率最大，则C10k(14)10−k(34)k≥C10k−1(14)11−k(34)k−1C10k(14)10−k(34)k≥C10k+1(14)9−k(34)k+1，再利用组合数公式，结合题目已知条件即可求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
15.【答案】48；
72；
36；
108．
【解析】解：(1)将2个相声节目进行捆绑，与其他3个唱歌节目进行全排列，有44A22A=48种排法；
(2)先将3个唱歌节目全排列，再将2个相声节目插入3个唱歌节目所形成的4个空中，
则排法种数为24A33A=72种排法；
(3)先选出2个唱歌节目排在第一个节目和最后一个节目，共有A32种排法，
再将剩下的3个节目全排列，共有A33种排法，
由分步乘法计数原理可知，排法种数为A32⋅A33=36种；
(4)在5个节目进行全排列的排法中去除前3个节目中没有相声节目的排法，
所以前3个节目中有相声节目的排法种数为A5522−A33A=120−12=108种．
(1)利用“捆绑法”求解；
(2)利用“插空法”求解；
(3)优先排列第一个节目和最后一个节目，结合分步乘法计数原理求解；
(4)利用间接法求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
16.【答案】解：(1)记作事件A为“选择60米袋鼠跳服务”，事件B为“3000米服务”，
则P(A)=C52C63=12，P(AB)=C41C63=15，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1512=25，
即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率25；
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C93C153=1265，
P(X=1)=C61C92C153=216455，
P(X=2)=C62C91C153=2791，
P(X=3)=C63C153=491，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×1265+1×216455+2×2791+3×491=65．
【解析】(1)利用条件概率公式求解；
(2)由题意可知，随机变量X可以取0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解即可．
本题主要考查了条件概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】证明见解析； 32； 2 77．
【解析】解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接SO，
因为S−ABCD是正四棱锥，所以SO⊥平面ABCD，
且OB，OC⊂平面ABCD，所以SO⊥OB，SO⊥OC，
又因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
所以以OB，OC，OS方向为x，y，z轴建立如图所示空间指标坐标系，
因为SA= 2AB=2，所以AB=BC= 2，BD= ( 2)2+( 2)2=2，
所以OB=1，OS= 22−12= 3，
所以A(0,−1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(−1,0,0),S(0,0, 3),P(−12,0, 32)，
所以AC=(0,2,0),SD=(−1,0,− 3)，
AC⋅SD=0+0+0=0，
所以AC⊥SD．
(2)设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z)，
AP=(−12,1, 32),AB=(1,1,0)，
则AC⊥mAP⊥m，所以AC⋅m=0AP⋅m=0，即2y=0−12x+y+ 32z=0，
令x= 3，可得m=( 3,0,1)，
所以点B到平面PAC的距离为|AB⋅m||m|= 32．
(3)设平面SBC的一个法向量为n=(a,b,c)，
BC=(−1,1,0),BS=(−1,0, 3)，
则BC⊥nBS⊥n，所以BC⋅n=0BS⋅n=0，即−a+b=0−a+ 3c=0，
令c= 3，可得n=(3,3, 3)，
设平面SBC与平面PAC夹角为θ，则由图可知θ为锐角，
所以csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=4 32× 21=2 77．
(1)利用空间向量的坐标运算证明垂直关系；
(2)利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离；
(3)利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值．
本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】x23−y2=1；
34；
证明见解析．
【解析】解：(1)因为双曲线C的渐近线方程为x± 3y=0，
所以设双曲线方程为x2−3y2=λ(λ≠0)，
又双曲线过点P(3, 2)，
则λ=9−3×2=3，所以双曲线的方程为x2−3y2=3，
即x23−y2=1．
(2)因为Q(x0,y0)在曲线x23−y2=1上，
则x023−y02=1⇒x02−3y02=3，
渐近线方程：x± 3y=0，
所以d1d2=|x0+ 3y0| 1+3⋅|x0− 3y0| 1+3=|x02−3y02|4=34．
(3)证明：由(1)可知F(2,0)，l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=k(x−2)，
联立y=k(x−2)x2−3y2=3，消去y得(1−3k2)x2+12k2x−12k2−3=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意得1−3k2≠0Δ>0x1+x2>0x1x2>0⇒k∈(−∞,− 33)∪( 33,+∞)，
则x1+x2=−12k21−3k2x1x2=−12k2−31−3k2，
所以kAQ+kBQ=y1x1−32+y2x2−32=k(x1−2)x1−32+k(x2−2)x2−32
=k[2x1x2−72(x1+x2)+6]x1x2−32(x1+x2)+94
=k[2(−12k2−3)+72×12k2+6(1−3k2)]−12k2−3+32×12k2+94(1−3k2)=0，
所以kAQ=−kBQ，∠AQF=∠BQF得证．
(1)由渐近线方程得到x2−3y2=λ(λ≠0)，代入点P(3, 2)即可求解；
(2)由点到线的距离公式求解即可；
(3)设直线方程y=k(x−2)，联立双曲线方程，结合韦达定理，由kAQ+kBQ=0即可求证．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设事件M=“小李独立成功完成三道工序”，则P(M)=23×23×34=13．
(2)设事件N=“小李接受技术员补救服务，成功完成三道工序”，
则P(N)=(1−23)×23×34+23×(1−23)×34+23×23×(1−34)=16+16+19=49；
(3)若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为Y，
P(Y=−30)=23,P(Y=170)=13，所以E(Y)=−30×23+170×13=1103，
若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为X，
有如下几种情况：
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时X=120，
由(1)知，P(X=120)=P(M)=13，
技术员参与补救并成功完成三道工序，此时X=70，由(2)知P(X=70)=P(N)=49，
技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时X=−130，
P(X=−130)=1−P(M)−P(N)=29，
所以E(X)=−130×29+70×49+120×13=3809，
因为E(X)>E(Y)，所以小李需要聘请一位技术员．
【解析】(1)利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率；
(2)分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案；
(3)分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论．
本题考查相互独立事件的乘法公式以及离散型随机变量的期望，属于中档题．X
0
1
2
3
P
1265
216455
2791
491