2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市第三中学高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市第三中学高二下学期第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机，则不同的选法有( )
A. 7种B. 11种C. 14种D. 28种
2.已知某质点的位移y(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系式y=x4+3x2，则当x=1时，该质点的瞬时速度为( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
3.已知数列an是等比数列，若a1=12，公比q=12，则an的前8项和S8=( )
A. 255256B. 127128C. 255512D. 127256
4.已知函数fx=e−2x+3，则f′2=( )
A. 2eB. eC. −1eD. −2e
5.中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有( )
A. 2880种B. 1440种C. 720种D. 360种
6.已知函数fx=x3−mx+6lnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为( )
A. −∞,9B. 9,+∞C. −∞,9D. 9,+∞
7.已知a，b，c成等比数列，且a+b=−6，b+c=18，等差数列bn满足b3=b，b9=a，则当数列bnbn+1bn+2的前n项和取最小值时，n的值为( )
A. 5B. 7C. 6或7D. 5或7
8.已知点Ax1,a，Bx2,aa>0分别是函数fx=xex与gx=−lnxx图象上的点，则x1x2ea的最大值为( )
A. 1 eB. 12 eC. 1eD. 12e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数fx的导函数为f′x，已知函数f′x的图象如图所示，则fx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.给出定义：若函数fx在D上可导，即f′x存在，且导函数f′x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记f′′x=f′x′.若f′′x≥0在D上恒成立，则称fx在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是( )
A. fx=x2−4x+3B. gx=lg12x
C. ℎx=x2+2csxD. φx=x2lnx
11.已知数列an满足a1=3, an+1=2n+32n+1ann∈N∗，数列bn满足b1=1, bn+1=2bn+1n∈N∗，设an中不在bn中的项按从小到大的顺序构成新数列cn，记cn的前n项和为Tn，则( )
A. an=2n+1B. bn−1是等比数列
C. c100=213D. T100=11201
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有 种不同的停放方法.(用数字作答)
13.已知fx为偶函数，曲线y=fx在点2,f2处的切线与直线4x−y−3=0垂直，设fx的导函数为f′x，则f′−2= ．
14.近年来，随着新能源汽车的推广和智能化趋势的不断演进，尤其在新的电子电气架构下，汽车芯片迎来巨大的市场需求.为了满足日益增长的市场需求，某芯片生产公司于2022年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用较上一年增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%.设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An0,b3−b12=12b5−b1，求证：1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=1a1−1an+1．
18.(本小题17分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A, B，且AB=4 2，椭圆E的焦距为4．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点M, N(M, N不在x轴上)是椭圆E上不同的两点．
①求直线AM, BM的斜率之积；
②若直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，试判断直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
19.(本小题17分)
若对∀x1,x2∈D且x10，则称函数fx是函数gx在区间D上的m级控制函数．
(1)判断函数fx=2x是否是函数gx=x2在区间−1,1上的1级控制函数，并说明理由；
(2)若函数fx=ex是函数gx=x在区间0,3上的m级控制函数，求实数m的取值范围；
(3)若函数fx是函数gx=lnx−x在区间0,+∞上的m级控制函数，且函数fx在区间0,+∞上存在两个零点a,b，求证a+b>2．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
7.D
8.C
9.AC
10.ABC
11.AC
12.1680
13.14/0.25
14.2030
15.解：(1)由题意得函数fx=ax3+bx2−4x+6，
则f′x=3ax2+2bx−4，由题意得f′1=3a+2b−4=0f1=a+b+2=3，解得a=2,b=−1,
当a=2b=−1时，f′x=6x2−2x−4，令f′x=0，解得x1=−23,x2=1．
则当x∈−∞,−23时，f′x>0,fx单调递增；
当x∈−23,1时，f′x0,fx单调递增，
则x=1是极小值点，符合题意，故fx=2x3−x2−4x+6．
(2)由(1)知fx=2x3−x2−4x+6,x∈−1,2，
则当x∈−1,−23时，fx单调递增；当x∈−23,1时，fx单调递减；
当x∈1,2时，fx单调递增，则当x=1时，函数fx取得极小值f1=3，
当x=−23时，函数fx取得极大值f−23=20627，
而f−1=7,f2=10，故fx在−1,2上的值域为3,10．

16.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，M为CD的中点，AM= 5，所以AD=2．
在▵PAD中，由余弦定理得PA= AD2+PD2−2AD⋅PDcs∠PDA=2 3，
因为PA2+AD2=PD2=16，所以∠PAD=90∘，即PA⊥AD．
因为AB=AD,PB=PD,PA=PA，所以▵PAB≌▵PAD，所以PA⊥AB．
又因为AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．
又因为PA⊂平面PAM，所以平面PAM⊥平面ABCD．
(2)由(1)得PA=2 3,AB=AD=2,AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A0,0,0,C2,2,0,M1,2,0,N23,0,4 33,D0,2,0，
于是AM=1,2,0,CD=−2,0,0,AN=23,0,4 33．
设平面AMN的法向量为n=x,y,z，
则AM⋅n=0AN⋅n=0，即x+2y=023x+4 33z=0,
令x=−2，可得n=−2,1, 33．
设直线CD与平面AMN所成的角为θ，
则sinθ=csCD,n=CD⋅nCDn=42×4 3= 32，
解得θ=π3，
故直线CD与平面AMN所成的角为π3．
17.解：(1)设等差数列an的公差为d，
则bn=an−Snn=an−a1+ann2n=an−a12=n−12d，
所以bn+1−bn=n2d−n−12d=12d，
所以数列bn是公差为12d的等差数列．
(2)由(1)知数列bn是公差为12d的等差数列，
因为b3−b12=12b5−b1，即d2=12×2d，
因为d≠0，所以d=1，
所以an=a1+n−1>0，
所以1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=da1a2+da2a3+⋯+danan+1
=a2−a1a1a2+a3−a2a2a3+⋯+an+1−ananan+1
=1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1an−1an+1
=1a1−1an+1.得证．
18.解：(1)由AB=4 2，得2a=4 2，解得a=2 2，
设椭圆E的焦距为2c，由焦距为4，得2c=4，解得c=2，
又b= a2−c2=2，所以椭圆E的标准方程为x28+y24=1；
(2)①由题意，得A−2 2,0,B2 2,0，
设Mx1,y1，由Mx1,y1在椭圆E上，得x128+y124=1，即y12=4−x122，
所以kAM⋅kBM=y1x1+2 2⋅y1x1−2 2=y12x12−8=4−x122x12−8=−12，
即直线AM, BM的斜率之积为−12．
②设Nx2,y2，
若直线MN的斜率为0，则M, N关于y轴对称，所以kAN+kBM=0，
又直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，所以kAN=3kBM，即kAN=kBM=0，
由M, N不在x轴上，得kAN≠0, kBM≠0，与kAN=kBM=0矛盾，
所以直线MN的斜率不为0．
设直线MN的方程为x=my+nn≠±2 2，
由x28+y24=1x=my+n，得m2+2y2+2mny+n2−8=0，
所以Δ=4m2n2−4m2+2n2−8=84m2+8−n2>0，
且y1+y2=−2mnm2+2, y1y2=n2−8m2+2，
由①知kAM⋅kBM=−12，又kAN=3kBM，所以kAM⋅kAN=kAM⋅3kBM=−32，
所以y1y2x1+2 2x2+2 2=−32，即y1y2my1+n+2 2my2+n+2 2=−32，
化简，得y1y2m2y1y2+mn+2 2y1+y2+n+2 22=−32，
将y1+y2=−2mnm2+2, y1y2=n2−8m2+2代入上式并化简，得
n2−8m2n2−8−2m2n2−4 2m2n+n+2 22m2+2=−32
即n2+3 2n+4=0，解得n=−2 2或n=− 2，
当n=−2 2时，与n≠±2 2矛盾，舍去，
当n=− 2时，满足Δ=84m2+8−n2=84m2+6>0
所以直线MN:x=my− 2恒过点− 2,0．
19.解：(1)函数fx=2x是函数gx=x2在区间−1,1上的1级控制数．
理由如下：因为x12，即证lnba−2⋅ba−1ba+1>0，
令x=ba>1，构造φx=lnx−2⋅x−1x+1，
所以φ′x=1x−4x+12=x−12xx+12>0，
所以φx在1,+∞上单调递增，
所以φx>φ1=0，即x=ba>1时，lnx−2⋅x−1x+1>0，
即lnba−2⋅ba−1ba+1>0成立，所以a+b>2得证．