广东省深圳市2025届高三下学期第一次调研考试（一模）数学试卷（Word版附解析）

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2025.2
本试卷共 6 页，19 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用
2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘
贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不
按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合 ，结合交集定义求 .
【详解】 ， ，
所以 ，又 ，
．
故选：C.
2. 已知 （i 为虚数单位），则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
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【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法求出 ，进而求出其模.
【详解】依题意， ，所以 .
故选：A
3. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解；
【详解】由于 ，
则 ，
则 ；
故选：B
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.
【详解】由于 ，
那么 ，
，则 ，
故选：C．
5. 已知函数 的周期为 ，且在 上单调递增，则 可以是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求函数 的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除 A，证明 为函数
的周期，再判断函数在 上的单调性，判断 B，举例说明函数 的单调
性不满足要求，排除 C，结合函数 定义域，排除 D.
【详解】对于 A， ，但 ， ，
所以函数 在 上不单调递增，不符合题意；
对于 B， ，
所以函数 的周期为 ，
当 时， ，因为 ，
函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，同理可得函数 在 上单调递减，
，所以函数 的最小正周期为 ，B 正确；
对于 C，因为 ， ，
所以函数 在 上不单调递增，不符合题意；
对于 D，函数 的定义域为 ， ，
所以结论函数 在 单调递增错误，不符合题意；
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故选：B.
6. 已知双曲线 的中心为原点，焦点在 轴上，两条渐近线夹角为 ，且点 在 上，则 的离心率
为（ ）
A. B. C. 2 D. 或 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据渐近线夹角得到渐近线方程，然后得到 或 ，再设双曲线方程，根据 进行
取舍.
【详解】由双曲线 的两条渐近线夹角为 ，可知 的渐近线方程为 或 ，
由 （其中 为渐近线的斜率），解得 或 ，
若 ，如图，令 ，点 不可能在双曲线上；
或设双曲线方程为： ，则 无解；
若 ，设双曲线方程为： ，则 ，
此时双曲线方程为： .
故选：C．
7. 已知曲线 与曲线 只有一个公共点，则 （ ）
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A. B. 1 C. e D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：把两曲线 与 有一个公共点，转化为方程 只
有一个实数解，通过分离常数 求出 值；
方法二：把两曲线 与 有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几
何意义求解；
方法三：利用原函数和反函数图像关于 对称，且两函数图像都与 相切于点 ，巧妙求出 值
.
【详解】方法一：由已知曲线 与曲线 只有一个公共点，
方程 只有一个实数解，而 ，则只考虑 ，
即 ，令 ，则 ，
而 在 单调递增，且 ，
所以 时， 单调递减，
时， 单调递增，
而 时， ； 时， ，
所以 ．
方法二：由已知曲线 与曲线 只有一个公共点，
则曲线 与曲线 只有一个公切点，设其坐标为 ，
根据函数 的图像与函数 的图像之间的关系，
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所以有 ，
即 ，所以 ，
设 ，则 在 单调递减，而 ，
所以 ，所以 ．
方法三：由于函数 的反函数为 ，两函数关于 对称，
由于 ，令 ，则 ，即函数 与函数 相切于点 ，
同理， ，令 ，即函数 ． 与函数 也相切于点 ，
于是函数 与函数 相切于点 ，由选项可知， ．
故选：B.
8. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为 4，杯底的半径为 3，高为 ，当杯底水平放
置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则
（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆台上面部分 的体积，根据小球的体积恰好等于 的体积求出球的半径.
【详解】如图， ，又放入的球的半径为 ，
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由于圆台 的体积 ，
由题可知： ，则 ，此时小球恰好与上下底面相切；
下面考虑当小球与侧棱 相切时，设球心为 ，球的半径为 ，则 ，
由于 ，则 ，
则 ，
那么 ，则 ，那么 在 上方，
即该小球先与上下底面相切．
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出圆台 的体积，还需检验小球与侧棱 相切的情形.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 一组样本数据 ．其中 ， ， ，求得其经
验回归方程为： ，残差为 ．对样本数据进行处理： ，得到新的数据
， 求 得 其 经 验 回 归 方 程 为 ： ， 其 残 差 为 、 ， 分 布 如 图 所 示 ， 且
，则（ ）
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A. 样本 负相关 B.
C. D. 处理后的决定系数变大
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据回归方程判断 A，根据样本中心点计算判断 B，根据图象由波动性判断 C，根据图象的波动性
判断 D.
【详解】由经验回归方程 单调递减，可知样本 负相关，故 A 正确；
由题意样本均值分别为 ，
由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得 ，故 B 正确：
由图一的数据波动较大可得 比 更集中，所以 ，故 C 错误；
由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故 D 正确．
故选：ABD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 为周期函数
B. 存在 ，使得 的图象关于 对称
C. 在区间 上单调递减
D. 的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】证明 ，结合周期函数定义判断 A，证明函数 为奇函数，结合周期性证明
若函数 存在对称轴，则 为其对称轴，推出矛盾，判断 B，利用导数判断指定区间函数的单调性，
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判断 C，结合正弦函数性质可得 ，进一步说明等号不成立，判断 D.
【详解】由于 ，故 ，所
以 为 的周期，A 正确；
函 数 的 定 义 域 为 ， 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ，
，
所以 为奇函数，
假设 图象关于 对称，则函数 为偶函数，
所以 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 为函数 的对称轴，
所以 ，
但 ， ，
所以 ，矛盾，所以 图象不关于 对称，B 错误；
因 ，化简整理得 ，
当 时， ，
函数 的图象为开口向上，对称轴为 的抛物线，
若 ，则 ，
所以当 时， ，
故 在区间 上单调递减，C 正确；
因为 ，当且仅当 时取等号，
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但当 ，即 时， ，所以 ，D 不正确．
故选：AC.
11. 已 知 ， 其 中 ． 点 分 别 满 足
，其中 ，直线 与直线 交于点 ，则（ ）
A. 当 时，直线 与直线 斜率乘积为
B. 当 时，存在点 ，使得
C. 当 时， 面积最大值为
D. 若存在 ，使得 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由条件求出 的坐标，结合两点斜率公式求 ，由此判断 A，结合 A 的判断知，
，利用关系求点 的轨迹，由此判断 B,联立 ， ，求点 的坐标，消参求点 的轨迹
方程，结合△换元点到直线距离公式求点 到直线 的距离，再求最值及 的面积的最值判断 C，
结合 C 可得 的轨迹方程，引入参数表示 ， ，结合条件列不等式求 的范围，判断 D.
【详解】对于选项 A，由题设 ，A 正确；
对于选项 B，由 A 可知， ，
设点 ，则 ，所以 ，
此时点 的轨迹方程为： ，
于是若 ，此时点 与点 重合，与 矛盾，B 不正确；
对于选项 C，直线 ，联立得 ，
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设 ，又 ，则 ，
若 ，则点 的轨迹方程为 ，
设点 ，直线 ，
点 到直线 的距离 ，
由于 ，于是当 时， ，
的最大值为 ，C 不正确；
由 C 可知，点 的轨迹方程为 ，
设 ， ，
于是 ，
即 能成立，
于是 ， ，D 正确．
故选：AD.
【点睛】易错点点睛：本题在求点 的轨迹方程的过程中变形可能不等价，导致轨迹方程的范围出错，影
响选项的判断.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）．
【答案】240
【解析】
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【分析】写出二项展开式的通项，令 的指数为 0，即可求解 ，进而可求常数项.
【详解】 的二项展开式的通项为 ，
令 得 ，故常数项为 ，
故答案为：240．
13. 等比数列 中，已知 ，则 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】设数列 的公比为 ，由条件结合等比数列性质可得 ，分类讨论求解即可.
【详解】设数列 的公比为 ，由于 ，则 ，
若 ，则 矛盾，
则 符合．
所以 .
故答案为： .
14. 某次考试共 5 道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给 2 分，答错或不答的扣 1 分，每个
人的基本分为 10 分．已知赵，钱，孙，李，周，吴 6 人的作答情况及前 5 个人的得分情况如下表，则吴的
得分为______．
人 赵 钱 孙 李 周 吴
题号
1 √ √ × × √ √
2 × √ × √ √ √
3 √ × × √ × ×
4 √ × × × √ ×
5 × × √ √ √ √
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得分 14 11 14 14 11
【答案】14 分
【解析】
【分析】方法一：根据无论答案是“√”还是“×”，一个答“√”的人和一个答“×”的人的得分和为
，从而得到每道题前五人的得分比吴多 2 分，然后计算得分即可；
方法二：根据钱的成绩分析答案，然后求得分；
方法三：分析孙的答案情况，然后求得分.
【详解】解法一：分析可得，无论每道题的结果如何，每道题前五人的得分比吴的得分多 2 分，则吴的得
分为： ，加上基本分后为 14．
解法二：由于前四个人只有钱的得分是 11 分，则钱答对两个题，答错三个题，
不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共 14 分；：
人 赵 钱 孙 李 周 吴
题号
1 √ × × × √ √
2 × × × √ √ √
3 √ √ × √ × ×
4 √ √ × × √ ×
5 × √ √ √ √ √
得分 14 14 14 14 11
对于 6 个人而言，前 4 个题，6 个人的答案都是三个√，三个错，那前 4 个题，每个题都是 3 个人对，3 个
人错；前 4 个题的总分为： 分；
现在考虑第 5 题，共 5 个√，一个×，若第 5 题正确答案是“×”，那么第 5 个题的得分是： 分，
最终 5 个题的总得分为 69 分；
而从得分来看， 分，于是吴得分是 2 分，矛盾；
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于是第 5 题正确答案是“√”，第 5 题的得分是： 分，6 个题的总分为：81 分，于是吴得 14
分．
解法三：考虑第一，二题孙的答案是对的，
（1）若孙第三题答案也是对的，与赵 14 分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √ √ ×（2） ×（2） √ √
2 ×（2） √ ×（2） √ √ √
3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2）
4 √ × × × √ ×
5 × × √ √ √ √
得分 14 11 14 14 11
（2）若孙第三题答案是错的，钱最后两题只能全对，与周 11 分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
√ √
1 √ √ ×（2） ×（2）
√ √
2 ×（2） √ ×（2） √
× ×
3 √（2） × × √（2）
√
4 √ ×（2） ×（2） ×（2）
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√
5 ×（2） ×（2） √ √ √
得分 14 11 14 14 11
考虑孙第一题对，第二题答案是错的
（3）若孙第三题答案是对的，则赵最后两题全对，与孙 14 分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √ √ ×（2） ×（2） √ √
2 × √（2） × √（2） √（2） √（2）
3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2）
4 √（2） × × × √ ×
5 ×（2） × √ √ √ √
得分 14 11 14 14 11
（4）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，与赵 14 分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √ √ ×（2） ×（2） √ √
2 × √（2） × √（2） √（2） √（2）
3 √（2） × × √（2） × ×
4 √ × ×（2） × √ ×
5 × × √（2） √ √ √
得分 14 11 14 14 11
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考虑孙第一题错，第二题答案是对
（5）若孙第三题答案是对的，则李最后两题全对，与孙 14 分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √（2） √（2） × × √（2） √（2）
2 ×（2） √ ×（2） √ √ √
3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2）
4 √2 × ×（2） ×（2） √ ×
5 × × √（2） √（2） √ √
得分 14 11 14 14 11
（6）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，此时正确答案是√，×，√，×，√，吴此时 14 分；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √（2） √（2） × × √（2） √（2）
2 ×（2） √ ×（2） √ √ √
3 √（2） × × √（2） × ×
4 √ ×（2） ×（2） ×（2） √ ×（2）
5 × × √（2） √（2） √（2） √（2）
得分 14 11 14 14 11 14
考虑孙第一题错，第二题答案是错的，则孙后三题全对，与赵 14 分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √（2） √（2） × × √（2） √（2）
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2 × √（2） × √（2） √（2） √（2）
3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2）
4 √ × ×（2） × √ ×
5 × × √（2） √ √ √
得分 14 11 14 14 11
综上所述：正确答案是√，×，√，×，√，吴此时 14 分．
故答案为：14 分.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对 边分别为 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用条件及余弦定理的推论可得 ，再由条件可求出 ；
（2）解法 1：利用两角和的正弦公式分别求出角 的正弦值，再利用正弦定理可求出 ，再利用三角
形面积公式求解即可；解法 2：注意到 ，进而可得 ，由正弦定理并化简可得
，进而求 ，再利用三角形面积公式求解即可；解法 3：过点 作 交 于 ，利用
直角三角形即可求边长，再利用面积公式求解即可.
【小问 1 详解】
由余弦定理推论 及 得 ，
由于 ，则 ，
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又因为 ，且 ，
所以 ，则 ．
【小问 2 详解】
解法 1：由（1）可知 ，
且 ，
，
由正弦定理： ，
得 ，
所以 ．
解法 2： 由（1） ，
所以 ，
由正弦定理： ，
得 ，
．
解法 3 : 如图，过点 作 交 于 ，
由于 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ．
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16. 如图，在直三棱柱 中， ， 为 的中点， 为 的
中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，根据中位线的性质得到 ，然后得到四
边形 为平行四边形，根据直棱柱的性质得到 ，最后利用线面垂直的判定定理证明；
（2）解法一：利用余弦定理得到 ，然后建系，利用空间向量的方法求线面角；
解法二：根据线面角的定义得到 即为直线 与平面 所成角，然后求线面角；
解法三：利用等体积的思路得到点 到平面 的距离，然后求线面角.
【小问 1 详解】
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取 中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
为 的中点，所以 为 的中位线，所以 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，有 ，
又因为 平面 平面 ，则 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
解法一：由（1）可知： 两两垂直，如图，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所
在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
在 中，由余弦定理可得： ，则 ，
于是 ，
则 ，
设 平面 ，
于是 ，即 ，
令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
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那么 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
解法二：在 中，由余弦定理可得： ，则
，
如图，连接 ，由（1）， 平面 平面 ，则 ，
又因为 ，四边形 为正方形， 为 的中点， ，
由于 平面 ，则 平面 ，
如图，记 ，过点 作 ，连接 ，
由于 平面 平面 ，则 ，
又因为 平面 ，则 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成角，由于 ，
则 ，
由于 ，则 为 的三等分点，则 ，
于是 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
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解法三：设直线 与平面 所成角为 ，点 到平面 的距离为 ，则 ，
在 中， ，则 ，
过 作 交 的延长线于 ，易得 ，
且易证 平面 ，
由于 ，则 ，
在 中， ，且 ，
又 ，则 ．
【点睛】
17. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 ，输的概率为 ，每
局比赛的结果是独立的．
（1）当 时，求甲最终获胜的概率；
第 22页/共 31页
（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得 3 分，失败者得 分；方
案二：最终获胜者得 1 分，失败者得 0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前 2 局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率；
（2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小
即可.
【小问 1 详解】
记“甲最终以 获胜”为事件 ，记“甲最终以 获胜”为事件 ，“甲最终获胜”为事件 ，
于是 ， 与 为互斥事件，
由于 ， ，
则 ，
即甲最终获胜的概率为 ．
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，
若选用方案一，记甲最终获得积分为 分，则 可取 ，
，
则 的分布列为：
3
则 ，
若选用方案二，记甲最终获得积分为 分，则 可取 1，0，
，
则 的分布列为：
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1 0
则 ，
所以 ，
由于 ，则 ，
于是 时，两种方案都可以选，
当 时， ，应该选第二种方案，
当 时， ，应该选第一种方案．
18. 已知抛物线 ，过点 作两条直线 分别交抛物线于 和 （其中 在 轴上
方）．
（1）当 垂直于 轴，且四边形 的面积为 ，求直线 的方程；
（2）当 倾斜角互补时，直线 与直线 交于点 ，求 的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
【答案】（1） 或 ．
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：设 ，由面积公式求得 ，再联立抛
物线方程，结合韦达定理即可求解；
法二：设 ，由面积求得 ，结合弦长公式求得 ，联立即可求解；
（2）法一：设点 ，得到 方程，求出 ，设
的内切圆圆心 ，再由 到 的距离与点 到 的距离相等，得到
，进而可求解；或化简得到 ，通
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过换元构造函数 ，通过求导求解即可；
法二：设 ，得到 ， ，进而得到
，构造函数 进而可求解；
【小问 1 详解】
法一： 当 轴，令 ，则 ，
设直线 ，由于 ，
则 ，
由于 ，则 ，则 ，
，
则 ，则 ，
所以直线 的方程为 或 ．
法二： 设 ，倾斜角为 ，由对称性知 有两条，且关于 对称，
不妨设 ，那么 ，
则 ，则 ，
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由于 ，则 ，
则 ，
，
则 由对称性，另一条直线： ，
所以直线 的方程为 或 ．
【小问 2 详解】
法一：设点 ，
因为 ，同理： ，
所以 ，化简可得： ，
同理可得： ， ，
，
又因为 ，直线 和直线 交于点 ，
所以 ，且 ，即 ，
，且 ，化简得： ，于是 ，
则 ，解得 ，所以点 ，
由于 ，则 ，所以 ，则 轴平分 ，
第 26页/共 31页
设 的内切圆圆心 ，则 到 的距离 ，
点 到 的距离 ，
所以 ，
化简可得： ，
由于 ，当且仅当 取等号（舍），
则 ，
则 ．
或由 化简得到：
，
令 ，当且仅当 取等号（舍），
则 ，设 ，
，
第 27页/共 31页
则 在 单调递减， ．】
法二：点 证明同解法 1；
设 的内切圆圆心 ，
设定点 ，由于 ，设半径为 ，
设 ，于是 ，
，那么 ，
（或：在 中，由角平分线定理： ．则
．）
设 ，
由于 ，当且仅当 取等号（舍），则 ，
则 ，则 ．
第 28页/共 31页
【点睛】关键点点睛：第二问：则 到 的距离 ，点 到 的距离
，
得到 .
19. 已知无穷数列 满足， 为正整数， ．
（1）若 ，求 ；
（2）证明：“存在 ，使得 ”是“ 是周期为 3 的数列”的必要不充分条件；
（3）若 ，是否存在数列 ，使得 恒成立？若存在，求出一组 的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） 或 3 或 5．
（2）证明见详解 （3）不存在，理由见详解
【解析】
【分析】（1）分别令 ， 代入 ，求出 ，再根据 对 进行
取舍.
（2）证明必要性是以 是周期为 3 的周期数列当条件，推出存在 ，使得 这个结论成立；
不充分性只需举出符合存在 ，使得 的特殊数列 ，推出 不是周期
数列即可.
（3）对 ，要考虑 和 两种情况，注意考虑 这种特殊
情况.
【小问 1 详解】
因为 对任意 成立；
令 得 ，所以 ，则 或 3，
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若 ，由 ，则 ，则 或 3，
若 ，由 ，则 ，则 或 5，
因为 ，综上所述： 或 3 或 5．
【小问 2 详解】
记 ，
必要性：若 是周期为 3 的周期数列， 或 ，
当 时，数列 前 5 项为： ，
由 得 ，该式当且仅当 或 时成立，
与 为正整数矛盾；
当 时，数列 前 5 项为： ，
由 得 ，则 或 （舍，此时 ），
因此 ，此时数列 ： ，存在 ，使得 ，
另一方面：取数列 其中当 时， ，
此时数列 不是周期数列，
综上，“存在 ，使得 ”是“ 是周期为 3 的周期数列”的必要不充分条件．
【小问 3 详解】
不存在，理由如下：
等价于 或 ，
首先说明不存在 ，使得 ，否则由 得 记为 ，
所以 ，
依此类推得前 项为 （第 项），则 要么相等，要么有一项为 0，矛盾，因此
对任意 成立，
其次，不存在 ，使得 以及 同时成立，否则两式相加得 ，
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矛盾．
（ⅰ）若（*）式只对有限个正整数 才成立，不妨设当且仅当 时（*）式成立，其中
，
则当 时，（**）式恒成立，此时 恒成立，
由此易知当 ，因此数列 是无界数列，
（ⅱ）若存在无限个正整数 使得（*）式成立，不妨设当且仅当 时（*）式成立，
其中 ，考虑 与 ，为方便书写记且 ，
则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
则 ，
此时 ，
无论哪种情况总有 成立，即 恒成立，
记 ，则 恒成立，由此易得数列 是无界数列，
所以，存在 使得 ，故不存在符合题意的 ．
【点睛】易错点睛：对 ，要考虑 和 两种情况，注意考虑
这种特殊情况.
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