山东省临沂市2025届高三下学期2月学业水平等级考试模拟（一模）数学试题（Word版附解析）

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2025.2
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运算复数除法的运算法则进行求解即可.
【详解】，
故选：A
2. 已知集合.若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得，即可得解.
【详解】，
因为，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
3. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可.
【详解】，所以该直线的一个方向向量为，
因为，所以向量与向量是共线向量，
其他选项的向量与向量不是共线向量，
故选：B
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断.
【详解】圆的圆心，半径，
圆，即，圆心，半径，
则，所以两圆外切.
故选：C.
5. 在中，点是的中点，点在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解.
【详解】由题意点是的中点，所以，
又，所以，
解得，
又因为点在上，
所以，解得或（舍去）.
故选：B.
6. 的展开式中的一项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二项式定理展开式通项即可验算.
【详解】的展开式通项为，对比选项依次代入得对应项，
的展开式中的项可以是.
故选：C.
7. 已知，若对任意实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】综合利用正切函数的单调性和奇偶性分析判定.
【详解】因为是内的单调递增函数，并且是奇函数，
所以,
所以“”是“”充分必要条件，
故选：C.
8. 设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ）
A. 49B. 50C. 99D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】根据的关系求出的表达式，进一步解不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
当时，，所以，
即，此时
，也满足该式，
故，
若，解得，故所求为100.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：，，，，，，，，，，，
乙组：，，，，，，，，，
则下列说法正确的是（ ）
A. 甲组数据的第60百分位数是252
B. 乙组数据的中位数是246
C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为
D. 甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A直接利用百分位数计算公式即可；对于B根据公式计算中位数和平均数；对于C根据古典概率公式计算即可；对于D，求出两者平均数判断即可.
【详解】对于选项A，因为，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误；
对于选项B，因为，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即，故B正确；
对于选项C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，
所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为
，故C正确；
对于选项D，甲组的平均成绩为厘米，
乙组的平均成绩为厘米，
所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确.
故选：BCD.
10. 圆柱轴截面是正方形，分别是上、下底面的圆心，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，若圆柱的侧面积为，则（ ）
A. 圆柱的体积是
B. 圆柱内切球的表面积是
C.
D. 点到直线距离的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆柱体积公式、侧面积公式，结合空间向量数量积的坐标公式、点到线距离公式逐一判断即可.
【详解】设圆柱的底面半径为，所以母线为，
因为圆柱的侧面积为，所以.
因为圆柱的体积是，所以选项A正确；
因为圆柱的底面半径为2，所以母线为4，所以圆柱内切球的半径为，
所以圆柱内切球的表面积是，因此选项B不正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，
，设，，
，
，
所以选项C正确；
设，
直线的单位方向向量为，
所以点到直线距离为
，
由题意，所以当时，，选项D不正确，
故选：AC.
【点睛】关键点睛：求点到直线距离的最大值的关键是利用点到直线距离的向量公式写出表达式，根据正弦函数与二次函数的性质求出最值.
11. 将曲线经过旋转可得到双曲线，若直线与只有一个公共点，与交于两点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由双曲线定义、对勾函数性质以及旋转的性质依次求得，进一步只需联立与即可判断D.
【详解】对于BC，由题意将曲线夹在中间的两条渐近线方程为，
所以这两条渐近线所形成的那个锐角的一半为，
曲线的两条渐近线的中间那条直线为，
联立以及，解得或，
由旋转的性质可得，，，解得，故BC正确，
对于A，若直线与只有一个公共点，由对勾函数性质可得，故A错误；
对于D，要求，由双曲线的对称性可知，只需联立与，
解得或，即，故D错误.
故选：BC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由正态分布的性质即可得解.
【详解】由题意，，所以，解得.
故答案为：.
13. 2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件概率知识即可求解.
【详解】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西，
例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，
一开始状态有六种情况，我们用表示一次调换，
那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：，
第二种初始状态下的变换过程为：，
第三种初始状态下的变换过程为：，
第四种初始状态下的变换过程为：，
第五种初始状态下的变换过程为：，（本质上没有调换），
第六种初始状态下的变换过程为：，
从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况，
在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是（对应的初始状态是第二种初始状态），
故所求概率为.
故答案为：.
14. 点在直线上，点在抛物线上，记两点间的最小距离为，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题可先求出、两点横坐标的关系，进而得出的表达式，然后求出，最后根据的表达式计算的值.
【详解】已知点在直线上，
则将点代入直线方程可得 ①.
点在抛物线上，则将点代入抛物线方程可得 ②.
因为、两点纵坐标相同，所以.
由①可得，由②可得，则.
令，则，将其转化为顶点式：
，
因为，所以当时，取得最小值，.
因为，所以，则.
，
可以发现上式中相邻两项的分子分母可以约分，约分后可得：
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
对于求平面直角坐标系中两点间距离最值的问题，先根据点所在的曲线方程得到坐标之间的关系，再将距离表示为关于某一变量的函数，通过函数的性质（如二次函数的顶点式）来求解最值.在处理连乘形式的式子时，要善于观察式子中各项的规律，通过约分等方法简化计算.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解；
（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理边化角可得，
即，
所以，因为，
所以，又，解得；
【小问2详解】
若，则，这里是三角形外接圆的半径，
解得，
由余弦定理可得.
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【小问1详解】
由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
小问2详解】
令，则，
令，
则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为.
17. 《教育强国建设规划纲要（年）》中指出深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板，某中学为了解学生每天参加综合体育活动的情况，随机调查了100名男生和100名女生，统计他们周一到周五在校期间的运动步数，数据如下表所示：
表中数据成等差数列；成公比为正整数的等比数列.
（1）若周一到周五在校期间的运动步数达到5万步视为体育锻炼达标，估计该中学男生体育锻炼的达标率；
（2）为进一步了解女生每天参加综合体育活动情况，在步数位于两组内的女生中，采用等比例分层抽样的方法抽取10人，现从这10人中随机抽取3人进行访谈，记步数在内的人数为，求的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）需要根据等差数列的性质求出男生运动步数达到5万步的人数，进而计算达标率；（2）先根据等比数列性质求出相关人数，再利用分层抽样确定抽取人数，最后通过古典概型求出随机变量的分布列和期望.
【小问1详解】
已知成等差数列，设公差为，则.
又因，即.
由等差数列性质，可得.
联立方程组，解得，，.
男生运动步数达到5万步（即、、这三组）的人数为人.
所以男生体育锻炼的达标率为.
【小问2详解】
因为成公比为正整数的等比数列，设公比为（），
且，即.
所以，即.
因为，
当，舍去；当满足题意；
当，舍去. 当，舍去.
当，舍去. 当，舍去.
当，舍去. 当，舍去. 当，舍去.
步数位于内的女生人数为人，步数位于内的女生人数为人.
采用等比例分层抽样抽取10人，则从步数位于内抽取人，从步数位于内抽取人.
随机变量表示步数在内的人数，的可能取值为，，.
；；；
所以的分布列为：
期望.
18. 在中，，如图将沿翻折至.

（1）证明：平面平面；
（2）若二面角大小为.
（i）求与平面所成角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）（ii）存在点，当或时满足题意
【解析】
【分析】（1）只需证明平面，注意到，故只需证明平面，由即可证明；
（2）（i）由题意得即二面角的平面角，结合解三角形知识求解即可；（ii）建立适当的空间直角坐标系，引入参数，将平面与平面的法向量表示出来，结合平面与平面所成角的余弦值为列出关于的方程，判断该方程的解的情况即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
因为平面，所以平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
（i）在四棱锥中，由（1）知即二面角的平面角，
故，因为，所以，
从而，
过点作，交于点，又因为，可得平面，与平面所成角即为.
在中，由余弦定理可得：，
由等面积法，，
所以与平面所成角的正弦值为；
（ii）如图，建立空间直角坐标系，

则，
，
设，可得，
，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
，即，
令，可得，
，即，
令，可得，
设平面与平面的夹角为，，
解得或，
所以存在点，当或时满足题意.
【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两异面直线所成的角为，；
②直线与平面所成的角为，；
③二面角的大小为，.
19. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点.
（1）求的方程；
（2）若，求的方程；
（3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2），或；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可；
（2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可
（3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为该椭圆的离心率为，所以，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率为零时，此时方程为，此时，
显然此时，不符合题意，
故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得
，
因为，
所以设，则有，
由
，
所以直线的方程为，或；
【小问3详解】
由（2）可知：，所以
因此的坐标为，
设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得
，
因为，
所以设，则有，
，
所以的坐标为，
因为的斜率乘积为，
所以，因此的坐标为，
显然边与横轴平行，
因此，
即
即时，取等号，即当时取等号，
所以面积的最大值.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的坐标，再根据直线斜率的关系，把两个点的坐标统一一个变量，最后利用基本不等式进行求解.
运动步数（万步）
合计
人数（男）
12
9
4
100
人数（女）
14
7
2
100