河南省安阳市2025届高三第一次模拟考试数学试题 含解析

这是一份河南省安阳市2025届高三第一次模拟考试数学试题 含解析，共21页。试卷主要包含了 定义等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由绝对值不等式解出集合，再由交集的运算可得.
【详解】由，
所以.
故选：C
2. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长.
【详解】设，
由，则，
则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆，
故复数所对应的点组成的图形的周长为.
故选：D.
3. 已知平行四边形的对角线的交点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.
【详解】在中，.
故选：C
4. 甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】甲、乙两人分别从6个出口中选择1个出口有6种不同的选法，
故共有种不同的基本事件，
又他们离开的出口编号之和为8的包含的基本事件有共5个，
所以他们离开的出口编号之和为8的概率为.
故选：B.
5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长.
【详解】设，因为，所以，.
根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线.
对于点在双曲线右支上，有，即，可得 ①.
对于点在双曲线右支上，有，则 .
已知的周长为，的周长，而.
所以，即 ②.
将①代入②中，得到，即，解得.
根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为.
把代入，可得实轴长为.
故选：C
6. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】
根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
又点为的重心，所以，
则，，
则，
则，
所以点到直线的距离为.
故选：B
7. 已知数列的前项和为，且，若，，则（ ）
A. 3B. 6C. 1015D. 2030
【答案】A
【解析】
【分析】变形得到，故为等差数列，设公差为，证明出为等差数列，根据，得到，从而求出，，结合等差数列性质得到.
【详解】由，变形得到
，即，
故为等差数列，设公差为，则，
故①，则②，
式子②-①得，则，，
所以为等差数列，则，
，即，解得，
所以，
则，，又，
故.
故选：A
8. 已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案.
【详解】时，，
令，则当时，，
故要想在时满足恒成立，
需满足，不妨取，
，，
画出在上的图象，如下：
由图象可知，，，
则，
故，
两式相加得，
所以.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于B，利用反比例函数的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于C，令，，利用复合函数的单调性，求出最大值和最小值，即可求解；对于D，令，则，求出在区间上最值，即可求解.
【详解】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误，
对于选项B，因为在区间上单调递减，
所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确，
对于选项C，，令，，
当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为，
则，所以选项C正确，
对于选项D，令，因为，则，且，
易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为，
则，所以选项D正确，
故选：BCD.
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的面积为2
B. 若，则直线被圆截得的弦长为
C. 若为等腰三角形，则满足条件的点有2个
D. 若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设P记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断A；应用圆的弦长几何法求解判断B；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断C；设点的坐标再结合斜率公式计算求解得出坐标判断 D.
【详解】对于A，，设点P,记 则
因为 , 所以
解得 , 所以 的面积为
，故A正确；
对于B，若，则，
所以，所以直线为，所以，
又因为，圆心到直线距离，
所以直线被圆截得的弦长为，故B正确；
对于C，由椭圆的性质可知，即.
若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；
若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；
同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；
故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误；
对于D：设，，因为，
所以，所以点的横坐标为，D选项正确.
故选：ABD.
11. 已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱柱的体积为4
B. 以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为
C. 若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为
D. 若空间中的一点满足，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用体积公式求得体积可判断A；先求得球的半径，进而可求得点的轨迹形状，可求轨迹长判断B；取关于平面的对称点，连接交于线段的中点，可分别求得与的最小值，进而可判断C；由，可确定点在空间中的轨迹，进而可求得的最小值.
【详解】对于A，由直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，
所以，所以，故A正确；
对于B，设体积为的球的半径为，所以，解得，
取中点，由，所以，，
由直三棱柱的性质可得平面，
设为球面与侧面的交线上的任一点，所以，
所以，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又点在侧面内，故体积为的球面与侧面的交线的长度为，故B错误；
对于C，取关于平面的对称点，连接交于线段的中点，
又点在平面上，故点为线段的中点时，
的最小值为，
此时的最小值为，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，点满足，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，且，
所以，
又，所以在椭圆的短轴所在直线上，又，
所以到椭圆的中心的距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于确定点轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，以及在椭圆的短轴上，从而可求得最小值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为______________.
【答案】##
【解析】
【分析】设数列公比为q，然后由等比数列通项公式结合题意可得答案.
【详解】设数列公比为q，因，则.
又，则.
故答案为：
13. 某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________.
【答案】0.76##
【解析】
【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可.
【详解】设一级教师的平均工资和方差为、，高级教师的平均工资和方差为、，因一级教师的占比，高级教师的占比，
则全校教师的平均工资为(千元)，
则教师工资的方差为
.
故答案为：0.76
14. 已知函数满足，则实数____________，设为的导函数，则不等式的解集为____________.
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】令即可代入求解,求导，即可代入化简，根据一元二次不等式的求解得空2.
【详解】由可得令，则，
故，解得，
由可得，
故得，
化简可得，解得或，
故答案为：，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，点到直线的距离为，求的周长.
【答案】（1）
（2）14.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.
（2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解.
【小问1详解】
在中，，，
则，而，，
解得，则，所以.
【小问2详解】
由正弦定理得，不妨设，则，
由余弦定理得，解得，
由，得，解得，
所以，即的周长为14.
16. 如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等体积法即可求得结果.
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量之间夹角公式即可求得结果.
【小问1详解】
由正方体的性质可知平面，故是三棱锥的高，
所以四面体的体积为，
由题意知，，，
所以，又，
故点到平面的距离；
【小问2详解】
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，令，得，故，
设平面的法向量为，
则，令，得，故，
设平面与平面的夹角为，
则.
17. 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
（2）现从被调查日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）无关； （2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解；
（2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
由题意，列联表如下：
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.
【小问2详解】
由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人.
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，
，
故.
18. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）若当时，，求实数的取值范围；
（3）设实数，满足，证明：.
【答案】（1）极大值为，无极小值
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，再利用极值的定义，即可求解；
（2）构造函数，根据条件得当时，恒成立，对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出在区间上的最小值，即可求解；
（3）利用（1）和（2）中结果，在同一直角坐标系中作出，，结合条件，数形结合，即可求解.
【小问1详解】
由题可知，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，没有极小值.
【小问2详解】
设，根据题意，当时，恒成立.
又，
若，则，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意，
若，令，得或.
若，则恒成立，所以在上单调递增，
又当时，，不符合题意，
若，则，当时，，所以在上单调递增，
当时，，不符合题意 ，
若，则，当时，，
当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以在上成立，
要使在上也成立，只需，即，得，
故的取值范围是.
【小问3详解】
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，.
又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下，
除了点，的图象都在的图象的下方，
当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，，
直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，
由图可知
【点睛】关键点点晴，本题的关键在第（3），根据（1）和（2）中结果，在同一坐标系中作出，的图象，将问题转化用图形直观反映.
19. 设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点.
（1）若且，求直线的方程；
（2）设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点；
（3）若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）作图，由对称性得到两条切线斜率，然后由导数求得切点即坐标，然后得到直线的方程；
（2）设直线方程和点坐标，由导数得出直线方程，然后得到点坐标，同理求出点坐标.联立直线方程和抛物线方程，得到一元二次方程，由韦达定理得到坐标的参数的关系.联立直线的方程求得点坐标.由三点坐标求得三角形外接圆圆心和半径，从而得到三角形外接圆的方程，然后得到定点；
（3）作图，由抛物线的光学性质得到角相等，再由抛物线的性质得到三角形全等，从而证明点到三个点距离相等，从而得证.
【小问1详解】
根据对称性可知在，两点处的切线斜率为
由得，从而，
令，得，所以，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
由题意可设直线，点，.
因为，所以直线，即，
令，得，所以.
同理，直线，令，得，所以
联立直线与的方程，得，消去整理得，
则，.
由解得所以
因为，，故的外接圆圆心落在直线上，
由，知线段的中点为，，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，得，即圆心的坐标为.
设的外接圆半径为，
则，
所以圆的方程为，
即.
令得所以的外接圆过定点.
【小问3详解】
如图所示，将和视为从焦点射出的光线，直线和分别为，对应的反射光线，则与恰好是反射光线的反向延长线.
由抛物线的光学性质可得，
而，，故，
故，
同理可得，即，即点是的外心.
【点睛】方法点睛，本题考查了抛物线的综合运用.本题中的抛物线是函数关系，所以可以利用导数和切点坐标来求抛物线的切线方程，从而得到三个点的坐标，然后利用直线与抛物线方程得到这三个点坐标的关系，从而找到三个点外接圆的方程，即可求得圆的定点.
性别
日均刷“抖音”时间超过2小时
日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性
48
72
女性
24
56
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
日均刷“抖音”时间超过2小时
日均刷“抖音”时间不超过2小时
合计
男性
48
72
120
女性
24
56
80
合计
72
128
200