黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷 含解析

这是一份黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷 含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合要求．
1. 若 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解；
【详解】由 ，可得： ，
所以复数 的虚部为 1.
故选：B
2. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式求出集合 A，再应用交集定义计算求解.
【详解】集合 ，
，
则
故选：D.
3. 在高三某次调研考试时，某学习小组对本组 6 名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分
为 12 分的解答题，6 名同学的得分按从低到高的顺序排列为 ，若该组数据的中位数是这组
数据极差，则该组数据的第 60 百分位数是（ ）
A. 7 B. 7 C. 9 D. 10
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【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数是极差求出 的值，再计算第 60 百分位数即可.
【详解】已知数据 ， ， ， ，10，12，数据个数 为偶数，所以中位数是中间两个数 和 的平
均数，即中位数为 .
极差是最大值 12 减去最小值 ，即极差为 .
因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以 .可得： .
此时这组数据为 ， ， ，10，10，12.
计算 ，所以第 60 百分位数是第 个数，即 10.
故选：D.
4. 正项等比数列 中， 是其前 项和，若 ，则 （ ）
A. 63 B. 56 C. 52 D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式基本量运算求出通项，再应用等比数列求和即可.
【详解】正项等比数列 中， 是其前 项和，
若 ，则 ，所以 或 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
则 .
故选：D.
5. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可.
【详解】已知 ，且 ，
则 ，所以 ，
则 .
故选：C.
6. 正方体 的棱长为 1， 为棱 的中点，点 在面对角线 上运动（ 点异于
点），以下说法错误的是（ ）
A. 平面
B.
C. 直线 与平面 所成角的余弦值为
D. 三棱锥 体积为
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行判定定理证明 A，应用空间向量法计算数量积判断 B，计算线面角判断 C，应用点到
平面距离空间向量法求解再结合三棱锥体积公式计算判断 D.
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【详解】
连接 ，因为 分别是 中点，所以 平面 ， 平
面 ，所以 平面 ，A 选项正确；
如图建系，设 ，
所以 ，
所以 ，B 选项正确；
设 ，设平面 法向量为 ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以 ，C 选项错误；
设平面 法向量为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，则 ，
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因为 ，所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
所以三棱锥 的体积为 ，D 选项正确.
故选：C.
7. 已知函数 是偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一
单调区间内，比较大小即可.
【详解】因为函数 是偶函数，
且 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，得到 ，其定义域关于原点对称，
此时 ，
，
故 是偶函数，符合题意，
而 ，
令 ， ，令 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
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而 ，且 ，得到 ，
而由偶函数性质得 ，
而 ，则 ，
得到 成立，故 A 正确.
故选：A
8. 若不等式 对一切 恒成立，其中 ，e 为自然对数的底数，则 的可能取
值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令 ，再求导函数得出切线计算化简转化求解.
【详解】不等式 可化为 ，
令 ，
当 时， ，此时，直线 恒过点 ，
故只需直线 为 在点 处的切线即可， ，此时 ．
当 时， 亦恒过点 ，为使 ，对一切 恒成立，
需 开口向下，且在点 处与 有公切线即可，
故 ，此时 ．
综上， 的取值范围是 ，所以 的可能取值为 .
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测
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试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于 2002 年开始在全国试行《学
生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到
高三女生坐位体前屈的成绩 （单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高
三女生中随机抽取 3 人，记 在区间 的人数为 ，则正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用正态分布的性质计算判断 A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断 BC；利用对立事件的
概率公式计算判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
则 ，A 正确；
对于 B，由 A 知， 在区间 的概率为 ， ， ，
因此 ，B 正确；
对于 C，由 B 知， ，因此 ，C 错误；
对于 D， ，D 错误.
故选：AB
10. 已知函数 ，如图 是直线 与曲线 的三个交
点，其横坐标分别是 ，则正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的单调减区间为
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C. 若 ，则
D. 若 ，且 ，点 的横坐标为 ，则
【答案】ABD
【解析】
分析】求出周期判断 A；求出最值点判断 B；举例说明判断 C；利用图象，结合给定条件求出解析式计算
判断 D.
【详解】对于 A，观察图象知，函数 的最小正周期 ，因此 ，A 正确；
对于 B，函数 的一个最大值点为 ，右侧相邻最小值点 ，
则函数 的最小正周期为 ，单调减区间为 ，B 正确；
对于 C， ，当 时，由 ，得 ，
由 或 或 ，得 或 或 ，
而 均在区间 内，C 错误；
对于 D，由 ，得 ，由 并结合图象得
，则 ，解得 ， ，
又 ，且 在 的一个减区间内，则 ，解得 ，
因此 ， ，D 正确.
故选：ABD
11. 已知曲线 为 上一点，则以下说法正确的有（ ）
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A. 存在点 ，使得
B. 的取值范围为
C. 若 的值与 无关，且 ，则 取值范围为
D. 若 的值与 无关，则其最小值为 ．
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先对曲线进行化简，分类讨论点的位置判断 A，利用点到直线的距离公式结合余弦函数的性质
判断 B，利用平行线间的距离公式结合直线与椭圆的位置关系判断 C，D 即可.
【详解】我们首先对曲线 的方程化简，得到 ，
对于 A，若点 在曲线 上时，
有 ，此时 ，不可能有 ；
当点 在曲线 上时，曲线 的渐近线方程 ，
当点 在 上时，曲线 的渐近线方程 ，
如图，因为直线 与渐近线方程 平行，
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则不存在点 ，使得 ，故 A 错误；
对于 B，因为 可看作 到
直线 的距离的 倍，
因为直线 与 平行，
且之间的距离为 1，故 ，
由图可知，当点 在曲线 上时，
点 到直线 的距离有最大值，
设 ，
点 到直线 的距离为 ，
结合余弦函数有界性可得 ，
当且仅当 等号成立，即 ，
则 的取值范围为 ，故 B 正确．
对于 C，设
由
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得 表示点 到直线 和 的距离之和的 倍，
的值与 无关，则该曲线在两平行线 和 之间，
当 与曲线椭圆部分相切时，
联立得 ，且 ，解得 或 ，
所以 的范围为 ，故 C 正确；
对于 D，当 为渐近线 为
与曲线椭圆部分相切的直线 时，
的值最小，
由平行线间距离公式得 与 的距离 ，
则 ，
且 ，故 D 正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：解题关键是判断 取值最小的情况，然后结合平行线间距离
公式得到所要求的结果即可．
三、填空题：本小题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ，则 到 轴的距离为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，先求出抛物线的准线方程，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的
距离，进而求出点 到 轴的距离.
【详解】在抛物线 中， ，则 ，所以准线方程为 .
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设点 的坐标为 ，由抛物线的定义，已知 ，即点 到焦点 的距离为 ，那么点 到
准线 的距离也为 .
点 到准线 的距离为 ，所以 .
解方程 ，可得 .
点 到 轴的距离就是点 横坐标的绝对值，因为 ，所以点 到 轴的距离为 .
故答案为： .
13. 已知平面向量 满足 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的定义结合给定条件得到方程，求解夹角即可.
【详解】因为 ，所以 ，得到 ，
即 ，而 ，
故 ，解得 .
故答案为：
14. 三棱锥 中， 平面 ，平面 内动点 的轨迹是集合
，已知 ，且 在 所在直线上， ．则三棱锥 外接
球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】以 中点为原点建立直角坐标系，设 ，利用题设等式化简计算得到点 的轨迹方程，
从而得出 的外接圆半径为 4，结合对应图形借助于直角三角形即可求解.
【详解】以 中点为原点建立直角坐标系，不妨设 ，
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设 ，由 可得， ，
化简得： ，此即点 的轨迹方程，其中 ，
，故 外接圆半径为 4，
设三棱锥 的外接球半径为 ，球心为 ，取 的中点 ，
点 即 的外接圆圆心，连接 ，作 于点 ，
则 平面 ，在 中， ，
则 ，
在 中，可得： ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：由动点 的轨迹方程确定 外接圆的半径是解题的关键.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 为 的中点，在下列两个条件中任选一个，求 的长度．
条件①： 的面积 ，且 ，
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条件②：
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角转化，再应用余弦定理求解即可；
（2）选条件①先应用面积公式计算得出 ，再应用余弦定理计算求解；选条件②先应用同角三角
函数关系得出 ，再应用正弦定理结合余弦定理计算求解.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
由正弦定理 得 ，
，
．
【小问 2 详解】
若选条件①：
∵ 的面积 ， ， ，
，
，
为 的中点， ，
在 中， ，
．
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若选条件②：
，
由正弦定理得， ，
，解得 或 （舍），
为 的中点， ，
在 中， ，
．
16. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有极小值，且 极小值小于 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意计算 和 ，得切线方程为 ；
（2）先求导得 ，分 和 讨论，求出极小值 ，再由
整理有 ，构造新函数 ，利用导数求解
即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 在 处的切线方程为 ．
【小问 2 详解】
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因为 ，其中 ，
则 ，
①当 时， 恒成立，此时函数 在 上单调递增，无极小值，
②当 时，令 ，可得 ，列表如下：
- 0 +
递减 极小值 递增
所以 ，
由题意可得 ，即 ，
令 ，则 ．
因为 ，当 等号成立，
所以函数 在 单调递增，
所以由 ，得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
17. 第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动
员的荣耀与拼搏．中国队以 32 金 27 银 26 铜，总计 85 枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢
家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭
新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是
其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
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上场 38 45
未上场 3
合计 40
（1）完成 列联表，并判断根据小概率值 的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否
上场有关联？
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中
锋，后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为 0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附： ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
【答案】（1）列联表见解析，有关
（2）（ⅰ）0.78；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可；
（2）（ⅰ）先应用条件概率及全概率公式计算；（ⅱ）再应用贝叶斯公式计算求解.
【小问 1 详解】
根据题意，可得 的列联表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 7 45
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未上场 2 3 5
合计 40 10 50
零假设 ：球队胜负与甲球员是否上场无关
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此
推断犯错误的概率不大于 0.025．
【小问 2 详解】
甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为 0.7，0.9，0.5
（ⅰ）设事件 ：“甲球员上场打边锋”，事件 ：“甲球员上场打中锋”
事件 ：“甲球员上场打后卫”，事件 ：“球队赢球”
则
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率 0.78
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
．
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
18. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，经过 且倾斜角为 的直线 与椭
圆交于 两点（其中点 在 轴上方）．
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（1） 为椭圆上顶点时求 的面积；
（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定 半平面（平面 ）与 轴负半轴和
轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直．
（ⅰ）若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
（ⅱ）是否存在 ，使得折叠后 与 距离与折叠前 与 距离之比为 ？若存在，求
的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可联立直线与题意方程，得交点坐标，即可利用面积公式求解，
（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合夹角公式即可求解，（ⅱ）联立直线与椭圆方
程，得韦达定理，根据两点距离公式可得 ,根据 即可求解.
【小问 1 详解】
由椭圆方程 知
当 为椭圆上顶点时 ，又 ，直线 的方程为
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由 知 ，
．
【小问 2 详解】
（ⅰ） 时在折叠前图中，直线 方程为 ，
由（1）可知此时
折叠后仍以 轴为 轴， 轴原位置仍为 轴，折叠后 轴的正方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则
（ⅱ）折叠前设 ，直线
由 知 ，
折叠后按（ⅰ）中坐标系
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由 知
或 （舍去）
，故存在
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何
特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可
首先建立目标函数，再求这个函数的最值．
19. 已知正项数列 满足：对任意的正整数 ，都有 ，其中 为非零常数．
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）证明： ；
（3）若 且 ，从 （ 且 ）中任取两个数，记
事件 A：“取出的两个数是无理数且中间仅包含一个整数”，其概率为 ，若 ，求正整数 的最小
值．公式： （其中 为正整数）．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）19
【解析】
【分析】（1）利用递推关系以及等差数列定义可求得 ，可求得通项公式；
（2）由 并根据裂项相消求和即可证明得出结论；
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（3）依题意利用递推关系可求得 ，且 ，易知数列中共有 个无理数，符合条件
的无序对为相邻区间 和 中的无理数对，分别求得总对数和从
（ 且 ）中任取两个数的组数，由古典概型公式求得 ，解不等式可求正整数 m 的最小值．
【小问 1 详解】
由 知 为等差数列，
【小问 2 详解】
根据递推关系 可得：
所以
，
因此
【小问 3 详解】
由（2）中结论 且 可得 ；
又 ，即可得 ，
因此 ，即可得 ；
又 ，即 ，即可知 ；
所以 ，即 ，
因此此时 ；
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数列中无理数项对应的为非平方数项，符合条件的无序对为相邻区间 和 中的无理数
项对，
即在区间 和 上分别任取一个无理数构成无理数项对，
相邻两区间上符合题意的无理数项对为
；
因此总对数共有
；
从 （ 且 ）中任取两个数共有
，
因此 ，
即 ，
解得 或 ，又 ，
所以
因此正整数 的最小值为 19.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于求出数列 的通项，确定无理数对应的非平方数的个数为
相邻区间内的两个无理数的组合共有 种，再求和 ，得出 的不等式即可解
得 .
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