2025届黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会高三下学期第一次模拟考试数学试卷

这是一份2025届黑龙江省教育学会示范性高中专业委员会高三下学期第一次模拟考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则复数的虚部为（ ）
A．B．1C．D．
2．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（ ）
A．7B．7C．9D．10
4．正项等比数列中，是其前项和，若，则（ ）
A．63B．56C．52D．42
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（ ）

A．平面
B．
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱锥的体积为
7．已知函数是偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
8．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，如图是直线与曲线的三个交点，其横坐标分别是，则正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则的单调减区间为
C．若，则
D．若，且，点的横坐标为，则
11．已知曲线为上一点，则以下说法正确的有（ ）
A．存在点，使得
B．的取值范围为
C．若的值与无关，且，则取值范围为
D．若的值与无关，则其最小值为．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为 ．
13．已知平面向量满足，则 ．
14．三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合，已知，且在所在直线上，．则三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度．
条件①：的面积，且，
条件②：
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
17．第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
(1)完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附：．
18．已知椭圆的左，右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．

(1)为椭圆上顶点时求的面积；
(2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（ⅰ）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ⅱ）是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
19．已知正项数列满足：对任意的正整数，都有，其中为非零常数．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若且，从（且）中任取两个数，记事件A：“取出的两个数是无理数且中间仅包含一个整数”，其概率为，若，求正整数的最小值．公式：（其中为正整数）．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，可得：，
所以复数的虚部为1.
故选：B
2．【答案】D
【详解】集合，
，
则.
故选：D.
3．【答案】D
【详解】已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为.
极差是最大值12减去最小值，即极差为.
因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以.可得：.
此时这组数据为，，，10，10，12.
计算，所以第60百分位数是第个数，即10.
故选：D.
4．【答案】D
【详解】正项等比数列中，是其前项和，
若，则，所以或，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
则.
故选：D.
5．【答案】C
【详解】已知，且，
则，所以，
则.
故选：C.
6．【答案】C
【详解】

连接，因为分别是中点，所以平面，平面，所以平面，A选项正确；

如图建系，设，
所以，
所以，B选项正确；
设，设平面法向量为，，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以，C选项错误；
设平面法向量为，
因为，所以，
所以，令，则，
因为，所以，
所以点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为，D选项正确.
故选：C.
7．【答案】A
【详解】因为函数是偶函数，
且，，
所以，即，
解得，得到，其定义域关于原点对称，
此时，
，
故是偶函数，符合题意，
而，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
而，且，得到，
而由偶函数性质得，
而，则，
得到成立，故A正确.
故选：A
8．【答案】A
【详解】不等式可化为，
令，
当时，，此时，直线恒过点，
故只需直线为在点处的切线即可，，此时．
当时，亦恒过点，为使，对一切恒成立，
需开口向下，且在点处与有公切线即可，
故，此时．
综上，的取值范围是，所以的可能取值为.
故选：A.
9．【答案】AB
【详解】对于A，由，得，
则，A正确；
对于B，由A知，在区间的概率为，，，
因此，B正确；
对于C，由B知，，因此，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB
10．【答案】ABD
【详解】对于A，观察图象知，函数的最小正周期，因此，A正确；
对于B，函数的一个最大值点为，右侧相邻最小值点，
则函数的最小正周期为，单调减区间为，B正确；
对于C，，当时，由，得，
由或或，得或或，
而均在区间内，C错误；
对于D，由，得，由并结合图象得
，则，解得，，
又，且在的一个减区间内，则，解得，
因此，，D正确.
故选：ABD
11．【答案】BCD
【详解】我们首先对曲线的方程化简，得到，
对于A，若点在曲线上时，
有，此时，不可能有；
当点在曲线上时，曲线的渐近线方程，
当点在上时，曲线的渐近线方程，
如图，因为直线与渐近线方程平行，
则不存在点，使得，故A错误；
对于B，因为可看作到
直线的距离的倍，
因为直线与平行，
且之间的距离为1，故，
由图可知，当点在曲线上时，
点到直线的距离有最大值，
设，
点到直线的距离为，
结合余弦函数有界性可得，
当且仅当等号成立，即，
则的取值范围为，故B正确．
对于C，设
由
得表示点到直线和的距离之和的倍，
的值与无关，则该曲线在两平行线和之间，
当与曲线椭圆部分相切时，
联立得，且，解得或，
所以的范围为，故C正确；
对于D，当为渐近线为
与曲线椭圆部分相切的直线时，
的值最小，
由平行线间距离公式得与的距离，
则，
且，故D正确．
故选：BCD
12．【答案】/
【详解】在抛物线中，，则，所以准线方程为.
设点的坐标为，由抛物线的定义，已知，即点到焦点的距离为，那么点到准线的距离也为.
点到准线的距离为，所以.
解方程，可得.
点到轴的距离就是点横坐标的绝对值，因为，所以点到轴的距离为.
故答案为：.
13．【答案】/
【详解】因为，所以，得到，
即，而，
故，解得.
故答案为：
14．【答案】
【详解】以中点为原点建立直角坐标系，不妨设，
设，由可得，，
化简得：，此即点的轨迹方程，其中，
，故外接圆半径为4，
设三棱锥的外接球半径为，球心为，取的中点，
点即的外接圆圆心，连接，作于点，
则平面，在中，，
则，
在中，可得：，解得，
所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
由正弦定理得，
，
．
（2）若选条件①：
∵的面积，，，
，
，
为的中点，，
在中，，
．
若选条件②：
，
由正弦定理得，，
，解得或（舍），
为的中点，，
在中，，
．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，则，所以，
因为，所以在处的切线方程为．
（2）因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
所以，
由题意可得，即，
令，则．
因为，当等号成立，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是．
17．【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)（ⅰ）0.78；（ⅱ）
【详解】（1）根据题意，可得的列联表：
零假设：球队胜负与甲球员是否上场无关
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.025．
（2）甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，0.9，0.5
（ⅰ）设事件：“甲球员上场打边锋”，事件：“甲球员上场打中锋”
事件：“甲球员上场打后卫”，事件：“球队赢球”
则
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
．
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
18．【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，
【详解】（1）由椭圆方程知
当为椭圆上顶点时，又，直线的方程为
由知，
．
（2）（ⅰ）时在折叠前图中，直线方程为，
由（1）可知此时
折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
所以异面直线和所成角的余弦值为；

（ⅱ）折叠前设，直线
由知，
折叠后按（ⅰ）中坐标系
由知
或（舍去）
，故存在
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)19
【详解】（1）由知为等差数列，
（2）根据递推关系可得：
所以
，
因此
（3）由（2）中结论且可得；
又，即可得，
因此，即可得；
又，即，即可知；
所以，即，
因此此时；
数列中无理数项对应的为非平方数项，符合条件的无序对为相邻区间和中的无理数项对，
即在区间和上分别任取一个无理数构成无理数项对，
相邻两区间上符合题意的无理数项对为；
因此总对数共有
；
从（且）中任取两个数共有，
因此，
即，
解得或 ，又，
所以
因此正整数的最小值为19.甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
38
45
未上场
3
合计
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.741
5.024
6.635
10.728
-
0
+
递减
极小值
递增
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
38
7
45
未上场
2
3
5
合计
40
10
50