吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三上学期二模数学试卷（Word版附解析）

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说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解.
【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以为：.
故选：C
2. 设全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
而阴影部分表示的集合是，
则图中阴影部分表示的集合是，故B正确.
故选：B
3. 在中，点D为的中点，点O为的重心，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合重心性质与向量运算化简可得.
【详解】
如图，连接，因为点O为的重心，
则为的三等分点，且，
所以，
故选：A.
4. 已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若互斥，则D. 若互斥，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据根据事件的包含关系即概率的性质，可判断AB的真假；根据事件的互斥关系即互斥事件的概率特征可判断CD的真假.
【详解】若，则，，故AB选项的内容都是正确的；
若互斥，则，，所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的.
故选：C
5. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定条件求出，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可.
【详解】因为轴，且，双曲线的右焦点为，
所以，设双曲线方程为，且，
将代入双曲线方程，得到，联立解得(负根舍去)，
则双曲线的实轴长为，故B正确.
故选：B
6. 定义：到定点的距离为定值的直线系方程为，此方程也是以为圆心，为半径的圆的切线方程. 则当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】弄清楚懂直线围成的封闭图形的形状，就可以求它的面积.
【详解】由.
根据条件中的定义，可得：动直线是以为圆心，以1为半径的圆的切线.
所以动直线围成的封闭图形为：以为圆心，以1为半径的圆.
其面积为：.
故选：C
7. 已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. 505D. 1013
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可.
【详解】设公差为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，
此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前项和为，
，故A正确.
故选：A
8. 定义：为不超过x的最大整数，区间（或）的长度记为.若关于x的不等式的解集对应区间的长度为1，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】问题可转化为不等式的正整数解有且只有一个，设，利用导数刻画该函数的单调性后可得参数的取值范围.
【详解】令，则.
因为原不等式的解集对应区间的长度为，
故不等式的正整数解有且只有一个.
设，则，
故当时，；当时，，
故在上单调递增，上单调递减，
又，.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数，则（ ）
A. 在复平面内z对应的点位于第一象限
B.
C.
D. 若z是关于x的方程的一个根，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A项结合对应点坐标可得；B项由复数除法运算可得；C项由复数乘法运算可得；D项将代入方程，化简整理由复数相等条件可待定.
【详解】A项，复数对应点位于第一象限，故A正确；
B项，，故B错误；
C项，，故C正确；
D项，若z是关于x的方程的一个根，
则，化简得，
所以有，解得，故D错误.
故选：AC.
10. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ）
A. 的最大值为B. 在上单调递增
C. 的周期为D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦函数性质得到和无法同时取得最大值判断A，利用正弦函数性质分别判断得，，的单调性求解B，利用周期性的定义求解C，利用导数结合分类讨论证明，再结合绝对值三角不等式放缩证明D即可.
【详解】对于A，，
若的最大值为，则和必须同时取得最大值，
由正弦函数性质得和无法同时取得最大值，
则的最大值不为，故A错误；
对于B，由题意得，
因为，所以，，
由正弦函数性质得，，在上单调递增，
由函数的性质得，多个增函数相加，结果一定是增函数，
得到在上单调递增，故B正确；
对于C，令，
而，
，
，
得到的周期为，故C正确；
对于D，欲证，则证即可，
令，而，
，则是偶函数，
则证当时，即可，此时，
当时，，，
故在上单调递减，得到
则成立，当时，同理可得成立，
综上，结合是偶函数，可得恒成立，
故
，
则对于时，成立，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则（ ）
A. B.
C. 有3个零点D. 若，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到判断B，利用赋值法求解零点个数判断C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D即可.
【详解】对于A，已知，
令，则，
故；令，则，解得，故A正确；
对于B，令，则，
解得；令，则，
得到是奇函数，不满足，故B错误；
对于C，令，则，
而，得到是奇函数，且在上有定义，
则，，得到有3个零点，故C正确，
对于D，结合，解得，
显然，而，若，则即可，
当时，此时，则，符合题意，
而在时，，则，，不符合题意，排除，
当时，，，故，
由奇函数性质得，符合题意，
当时，，此时，
由奇函数性质得，不符合题意，排除，
综上，若，则或，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解题关键是对参数范围分类讨论，然后结合奇函数的性质得到符合条件的解集即可．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
12. 已知函数， 则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由分段函数解析式先求，再求可得结论.
【详解】因函数，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据轨迹的求法，确定椭圆方程，可求其离心率.
【详解】由题意：，设（），则.
由直线，的斜率之积为，可得.
所以，，，所以.
故答案为：
14. 如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为__________；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】分析点的轨迹，可求点的轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与直线所成角的余弦值的取值范围（或者用三余弦定理求直线与直线所成角的余弦值的取值范围）.
【详解】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为.
建系如图，设，则.
.
令，
.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
（法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大，
由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大，
则P在点M处时，取得最小值，此时，
则P在点N处时，取得最大值，此时，
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为.
（1）若，求的面积S；
（2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积.
（2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值.
【小问1详解】
由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
【小问2详解】
因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
16. 已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）、
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间；
（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域与，且，
令，得或，
所以，函数的单调递减区间为、.
【小问2详解】
对任意的，.
由于，则，
令，其中，则，
令，则.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，，则，因此，实数取值范围是.
17. 如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高.
【答案】（1）证明见解析
（2）2或
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，结合并利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法建立方程，求解所求高即可.
【小问1详解】
在直三棱柱中，平面，
又平面.
又平面，
平面.又平面，
平面平面.
【小问2详解】
以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则.
设正四棱锥的高为h，则，
故，
设平面的一个法向量为.
则，即，
取，则.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，故，
设平面与平面夹角为，
则，解得或.
所以正四棱锥的高为2或.
18. 国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设. 现对近4年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：
（1）经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系. 请求出项目支出y关于年份序号x的经验回归方程，并预测2025年的项目支出；
（2）天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基金申报者的交流，天元基金委员会举办了论坛活动. 经调查统计，甲、乙两个地区共有200人参加此次论坛活动，具体数据如下表：
（i）根据小概率值的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？
（ii）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为10分），现采用按男、女样本量比例分配的分层随机抽样，从上述200人中抽取40人进行访谈，其中男生样本的满意度平均数为9分，方差为7.19，女生样本的满意度平均数为7分，方差为6.79，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并对全体参加此次论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.
附：，，，其中.
【答案】（1），118.8百亿元
（2）（i）能；（ii）平均数为8.1，方差为8；全体参加论坛活动天元基金者的满意度的平均数为8.1，方差为8
【解析】
【分析】（1）利用所给的公式求回归方程，并用之预测2025年的项目支出.
（2）（i）计算，根据独立性检验的思想进行判断；（ii）根据部分数据与整体数据特征数的关系求值.
【小问1详解】
（法一），
，
，
所以，
所以国家自然科学技术基金项目支出y关于年份序号x的经验回归方程为.
当时，（百亿元），
预测2025年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8百亿元.
（法二），，
，
所以国家自然科学技术基金项目支出y关于年份序号x的经验回归方程为.
当时，（百亿元），
预测2025年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8百亿元.
【小问2详解】
（i）零假设为
申报天元基金者的所在地区与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
.
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为申报天元基金者的所在地区与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（ⅱ）把男生样本的满意度平均数记为，方差记为；
女生样本的满意度平均数记为，方差记为；总样本的满意度平均数记为，方差记为.
则，
根据男、女样本量按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本的满意度平均数为，
.
总样本的满意度的平均数为8.1，方差为8.
并据此估计全体参加论坛活动的天元基金者的满意度的平均数为8.1，方差为8.
19. 已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且.
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）求的面积；
（3）记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）存，或
【解析】
【分析】（1）先根据抛物线过的点求出，然后利用得，然后根据等比数列的定义证明，并根据等比数列的通项公式求解即可.
（2）法一：求出直线的斜率，进而求出直线方程，求出到直线的距离及，代入三角形面积公式求解即可.
法一：先证明在中，，则的面积，然后代入三角形面积公式求解即可.
（3）先根据求出，利用等差数列求和公式得，再代入已知等式列式求解，即可求得满足条件正整数.
【小问1详解】
点在抛物线上，，
即抛物线方程为.
.
即.
.
.
是以2为首项，2为公比的等比数列，即.
符合上式，数列的通项公式是.
【小问2详解】
（法一）.
直线的斜率为.
直线的方程为：，即.
到直线的距离为，
.
.
（法二）证明：在中，，
则的面积.
证明如下：，
.
下面求的面积.
，
.
.
【小问3详解】
.
.
.
.，
或或.
解得或或（舍）.
或.年份
2020年
2021年
2022年
2023年
年份序号
1
2
3
4
项目支出/百亿元
90
96
100
108
男生
女生
合计/人
甲
65
35
100
乙
45
55
100
合计/人
110
90
200
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828