2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中真题必刷易错75题（34个考点）（含答案）

这是一份2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中真题必刷易错75题（34个考点）（含答案），共86页。试卷主要包含了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法逆用，幂的乘方运算及其逆用，积的乘方运算及其逆用，同底数幂的除法及其逆用，幂的混合运算，零指数幂与负整数指数幂，幂的运算等于1的情况等内容，欢迎下载使用。
1．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
2．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）已知（是正整数），求的值．
3．（2025七年级下·江苏南通·专题练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点二 同底数幂的乘法逆用（共1小题）
4．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，求的值．
考点三 幂的乘方运算及其逆用（共3小题）
5．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，求的值．
7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
考点四 积的乘方运算及其逆用（共3小题）
8．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（是正整数）．
9．（24-25七年级下·江苏常州·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
10．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：．
解：原式．
(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出n的值．
考点五 同底数幂的除法及其逆用（共3小题）
11．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）计算下列各题
(1)
(2)（是整数）
(3)（是整数）
12．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）根据已知条件求值
(1)已知，，求的值
(2)已知，求的值．
考点六 幂的混合运算（共3小题）
14．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算
(1)
(2)
15．（23-24七年级·江苏宿迁·假期作业）计算：
(1)；
(2)．
16．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算：
(1)；
(2)
考点七 零指数幂与负整数指数幂（共2小题）
17．（24-25七年级下下·江苏泰州·阶段练习）若有意义，则a的取值范围是 ．
18．（24-25七年级下下·江苏泰州·阶段练习）若，，，请用“”表示它们的大小关系是 ．
考点八 幂的运算等于1的情况（共3小题）
19．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果等式成立，则满足条件x值为（ ）
A．3或B．4或3或C．4或2或D．4或
20．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如果等式，则x的值为 ．
21．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若，则 ．
考点九 幂的新定义运算（共3小题）
22．（23-24·七年级下·江苏镇江·一模）对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（ ）
A．5B．6C．8D．16
23．（24-25七年级下·江苏南京·期末）我们定义：三角形，四边形；若，则 ．
24．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
(1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；
(2)计算＝_________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
考点十 单项式乘法（共3小题）
25．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
26．（23-24七年级下·江苏南通·单元测试）计算：．
27．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算：．
考点十一 多项式乘法（共2小题）
28．（2024七年级下·江苏南通·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
29．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)
(2)
考点十二 多项式乘法的化简求值（共3小题）
30．先化简，再求值：，其中，．
31．（23-24七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中．
32．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）若，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
考点十三 已知多项式的乘积不含某项求字母的值（共2小题）
33．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值．
34．（23-24七年级下·广西贺州·期中）已知：的结果中不含x的二次项，求的值．
考点十四 多项式乘多项式与图形面积（共1小题）
35．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式 ；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值；
(3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值．
考点十五 多项式乘法中的规律性问题（共3小题）
36．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）填空：
①________；
②________；
③________；
…
根据上述计算回答下列问题：
（1）写出反应上述规律的关系式；
（2）利用上述规律反映的关系式计算：．
37．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考
根据以上规律，解答下列问题：
(1)的展开式中：
①第一项的次数是__________，第二项的系数是__________，第三项是__________；
②共有__________项，系数和为__________；
(2)应用以上规律计算；
(3)的展开式为__________．
38．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习） 观察以下等式：



(1)按以上等式的规律，填空：
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简：
考点十六 整式乘法混合运算（共3小题）
39．（2024七年级下·江苏南通·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
40．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
41．（2024七年级下·江苏扬州·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点十七 平方差公式运算（共3小题）
42．（2024七年级下·江苏泰州·专题练习）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
43．（23-24七年级下·福建福州·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数”），在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．614B．624C．634D．642
44．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)44和2028这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续的偶数为和（其中n取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
考点十八 平方差公式与几何图形（共2小题）
45．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现
(1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________；
(2)【发现规律】
猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________；
(3)【运用规律】
运用上述规律计算：．
46．（24-25七年级下上·云南文山·阶段练习）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形），如图所示：
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法的形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
A． B．
C． D．
(4)根据（3）中所得公式，当，时，求阴影部分的面积．
考点十九 完全平方公式运算（共2小题）
47．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
48．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
考点二十 完全平方公式与几何图形（共2小题）
49．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）问题情境：
我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决．
例如：已知，，求的值．
解：
独立思考：
（1）已知，，求的值；
（2）若，
①则 ，
②求的值；
解决问题：
（3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积．
50．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．

（1）如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为______；（用、表示）
（2）①类比（1）的探究过程，用不同的代数式表示图中大正方形的面积．
由此得到的等式为______；（用、、表示）；
②根据上面的结论，已知．，则_____．
【知识迁移】
（3）类比上述两个探究过程，请画图探索的结果（用、、、表示）．
考点二十一 通过对完全平方公式变形求值（共3小题）
51．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知实数满足，．
(1)_____，_____；
(2)求
52．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算．
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
53．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，求：
（1）；
（2）．
思考：若已知，则
（3）；
（4）又分别为多少？
考点二十二 图形的平移（共2小题）
54．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，求阴影部分的面积是多少．
55．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到．
考点二十三 利用平移的性质求解（共2小题）
56．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ．
57．（2025七年级下·江苏南通·专题练习）如图，将沿方向平移，得到．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
考点二十四 利用平移解决实际问题（共1小题）
58．（23-24七年级下·江西上饶·阶段练习）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示．
(1)问地毯至少需要多少米？
(2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？
考点二十五 平移作图（共3小题）
59．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．
(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)连接与，则线段与线段的关系_________．
60．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C．
(1)画出平移以后的；
(2)连接，，则这两条线段的关系是 ；
(3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？
61．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形经过平移后得到三角形，其中点是点的对应点．
(1)画出平移后得到的三角形；
(2)连接、，则线段、的关系为_________________；
(3)线段扫过的面积为_________________（平方单位）．
考点二十六 平移综合（共1小题）
62．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点．
(1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到；
(2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出；
(3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量．
考点二十七 轴对称图形（共1小题）
63．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．

考点二十八 根据成轴对称的特征进行求解（共1小题）
64．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知．
(1)求的周长；
(2)连接、，若，求．（用含的代数式表达）
考点二十九 折叠问题（共3小题）
65．（2025七年级下·江苏南通·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法．
(1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由．
66．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度．
(1)写出的等量关系；
(2)若，求的值．
67．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，．
①若，求和的度数．
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
考点三十 图形的旋转（共1小题）
68．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图．
(1)将线段平移，使平移后的线段经过点．
①请在图中画出一条符合要求的线段；
②写出线段平移至线段的方法；
(2)第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心．
考点三十一 旋转的规律性问题（共1小题）
69．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号）
考点三十二 根据旋转的性质求解（共2小题）
70．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点．
(1)若，指出旋转中心，并求出的值；
(2)若，求的长．
71．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度；
(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，若，求的度数．
考点三十三 旋转作图（共2小题）
72．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．
(1)将向左平移4格，画出平移后的对应；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的；
(3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________．
73．（24-25七年级下下·安徽淮南·开学考试）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点（格点为网格线的交点）．
(1)将绕点逆时针旋转得到，画出；
(2)将向下平移4个单位长度得到，画出．
考点三十四 旋转综合题（共2小题）
74．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当 时，的边与的某一边平行．
75．（23-24七年级下上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．B．C．D．
76．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题提出
（）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ．
问题探究
（）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；
问题解决
（）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．

考点一 同底数幂的乘法（共3小题）
1．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
（5）
．
2．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）已知（是正整数），求的值．
【答案】2048
【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案．
【详解】解：，
．
3．（2025七年级下·江苏南通·专题练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘法则，逆用同底数幂相乘法则是解本题的关键．
（1）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可；
（2）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可；
（3）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可；
（4）先利用同底数幂相乘法则，再逆用同底数幂相乘法法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可．
【详解】（1）解：．
（2）
（3）
（4）
考点二 同底数幂的乘法逆用（共1小题）
4．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据同底数幂的法则进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法的应用，逆用公式是解题的关键．
考点三 幂的乘方运算及其逆用（共3小题）
5．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则是解题的关键．
（1）将看作整体，用幂的乘方运算法则进行计算即可；
（2）根据幂的乘方运算法则进行计算即可；
（3）先根据幂的乘方运算法则进行计算，再根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（4）先根据幂的乘方和同底数幂运算法则进行计算，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
6．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，求的值．
【答案】29
【分析】此题考查幂的乘方逆运算，熟练利用幂的乘方逆运算进行整理是解题关键．
根据幂的乘方逆运算整体代入即可求值．
【详解】
．
7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)6
(2)9
(3)108
【分析】本题考查了同底数幂相乘以及逆运用、幂的乘方、正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答．
（2）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可作答．
（3）根据同底数幂相乘的逆运用，得出，代入数值，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴原式；
（2）解：∵，，
∴原式；
（3）解：∵，，
∴原式．
考点四 积的乘方运算及其逆用（共3小题）
8．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（是正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了积的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可；
（2）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可；
（3）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可；
（4）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
9．（24-25七年级下·江苏常州·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式；
（1）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可；
（2）先计算积的乘方，再按照单项式乘以单项式的法则计算即可；
（3）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可；
（4）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可；
（5）直接按照单项式乘以单项式的法则计算即可；
（6）先计算积的乘方，再按照单项式乘以单项式的法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：．
10．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：．
解：原式．
(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出n的值．
【答案】(1)①1；②；
(2)4
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键．
（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果；
（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值．
【详解】（1）解：①；
②
（2）解：∵
∴，
∴
∴，
∴，
解得：．
考点五 同底数幂的除法及其逆用（共3小题）
11．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）计算下列各题
(1)
(2)（是整数）
(3)（是整数）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了幂的混合计算：
（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和除法法则计算即可；
（3）先化为同底数幂，再根据同底数幂的除法法则计算即可
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
12．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法的逆运算．
（1）根据幂的乘方、同底数幂的乘法的逆运算计算即可；
（2）根据幂的乘方、同底数幂的除法的逆运算计算即可．
【详解】（1）解：，，
，，
．
（2）解：，
由（1）知，，
．
13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）根据已知条件求值
(1)已知，，求的值
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）逆用同底数幂的除法进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
的值为．
（2）解：，
，
，
的值为8．
考点六 幂的混合运算（共3小题）
14．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可；
（2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
15．（23-24七年级·江苏宿迁·假期作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法；
（2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法，，，
（，，都是正整数），注意负数的奇次幂还是负数．
16．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据幂的运算性质进行化简，再合并同类项即可；
（2）先把各项化为同底数幂，再计算同底数幂的乘法和除法即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，涉及同底数幂的乘法和除法积的乘方，合并同类项等知识，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
考点七 零指数幂与负整数指数幂（共2小题）
17．（24-25七年级下下·江苏泰州·阶段练习）若有意义，则a的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】考查了零指数幂，根据零指数幂有意义的条件，可得，依此即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得且．
故答案为：且．
18．（24-25七年级下下·江苏泰州·阶段练习）若，，，请用“”表示它们的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的乘方法则及负整数指数幂的定义是解题的关键．
利用有理数的乘方法则及负整数指数幂的定义求出、、的值，再比较大小即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
考点八 幂的运算等于1的情况（共3小题）
19．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果等式成立，则满足条件x值为（ ）
A．3或B．4或3或C．4或2或D．4或
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的运算，根据1的任何次幂均为1，的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答．
【详解】解： 若，解得：，此时符合题意；
若，解得：，此时，，不符合题意；
当时，解得：，此时，符合题意；
综上：或．
故选：D．
20．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如果等式，则x的值为 ．
【答案】1或或0
【分析】本题考查利用乘方运算解方程，涉及，及等知识．由题意，结合，及分类讨论求解即可得到答案．
【详解】解：∵及，，，
∴分两种情况：①指数为；②底数为；③底数为，且指数为偶数；
当指数为时，，且，解得，且，即；
当底数为时，，解得；
底数为时，，解得，且，即；
故答案为：1或或0．
21．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若，则 ．
【答案】或0
【分析】本题主要考查了零次幂以及负整数指数幂．根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可．
【详解】解：∵，
①当，解得；
②当，解得，；
③当，解得，不符合题意，舍去．
∴或．
故答案为：或0．
考点九 幂的新定义运算（共3小题）
22．（23-24·七年级下·江苏镇江·一模）对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（ ）
A．5B．6C．8D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，新定义，根据新定义结合幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法法则得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
23．（24-25七年级下·江苏南京·期末）我们定义：三角形，四边形；若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而求得四边形的值为，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴．
故答案为：．
24．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
(1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；
(2)计算＝_________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
【答案】(1)3，±2
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得，；
（2）设，，利用新定义得到，，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到；
（3）设：，，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3，±2；
（2）；
理由如下：
设，，则，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（3）设，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（m，n是正整数）．
考点十 单项式乘法（共3小题）
25．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）利用单项式乘单项式法则进行计算即可；
（2）利用单项式乘单项式法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
26．（23-24七年级下·江苏南通·单元测试）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的乘法．根据单项式乘以单项式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：
．
27．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查整式的乘法混合运算，运用相关运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
考点十一 多项式乘法（共2小题）
28．（2024七年级下·江苏南通·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，
（1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
29．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果；
（2）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点十二 多项式乘法的化简求值（共3小题）
30．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得．
【详解】解：原式
．
将，代入得：原式．
31．（23-24七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【分析】本题考查的是整式的运算．先将原式根据单项式乘多项式以及多项式乘多项式的法则进行化简，再将的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
32．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）若，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)0
【分析】（1）先根据多项式乘多项式的法则化简，再把代入即可；
（2）先化简，再把，代入即可．
【详解】（1）解：由，
得，
则，而，
于是，
所以；
（2）解：，
因为，，
所以原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、求值，熟练掌握运算法则和整体代入的数学思想是解题的关键．
考点十三 已知多项式的乘积不含某项求字母的值（共2小题）
33．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项的问题，先列式求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项，得到一次项的系数为，据此即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
∵乘积中不含的一次项，
∴，
∴．
34．（23-24七年级下·广西贺州·期中）已知：的结果中不含x的二次项，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查多项式乘多项式，分别将第一个括号的每一项与第二个括号相乘，再合并同类项，根据结果中不含x的二次项，可知x的二次项系数为0，得到p的值，再代入计算即可．
【详解】解：
∵的结果中不含x的二次项，
∴
∴，
把代入．
考点十四 多项式乘多项式与图形面积（共1小题）
35．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式 ；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值；
(3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值．
【答案】(1)
(2)45
(3)9
【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可；
（2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形的面积的和等于即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解；，
，
，，，
．
考点十五 多项式乘法中的规律性问题（共3小题）
36．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）填空：
①________；
②________；
③________；
…
根据上述计算回答下列问题：
（1）写出反应上述规律的关系式；
（2）利用上述规律反映的关系式计算：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，
根据多项式乘多项式法则计算填空；
对于（1），根据上述规律得出关系式解答即可；
对于（2），根据（1）中的规律解答即可．
【详解】解：①；
②；
③；
故答案为：．
（1）根据上述过程，得
；
（2）
．
37．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考
根据以上规律，解答下列问题：
(1)的展开式中：
①第一项的次数是__________，第二项的系数是__________，第三项是__________；
②共有__________项，系数和为__________；
(2)应用以上规律计算；
(3)的展开式为__________．
【答案】(1)①n，n，；②，
(2)243
(3)
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，以及多项式的系数，项数，次数等知识．
（1）①通过阅读理解寻找规律，找出，，，每一个第一项的次数，第二项的系数以及第三项，总结规律即可．②找出，，，找出各个项数以及各系数之和，总结规律即可．
（2）根据“杨辉三角”的规律计算即可．
（3）根据规律展开求解即可．
【详解】（1）解：①，它只有一项，次数为0，
，它有两项，第一项的次数是1，第二项的系数是1，
，第一项的次数是2，第二项的系数是2，第三项是，
，第一项的次数是3，第二项的系数是2，第三项是，
∴的展开式中：
第一项的次数是n，第二项的系数是n，第三项是，
故答案为：n，n，．
②，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为；…
∴展开式共有n+1项，系数和为，
故答案为：；．
（2）解：；
（3）解：，
故答案为：．
38．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习） 观察以下等式：



(1)按以上等式的规律，填空：
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律．
（1）根据上述式子，即可得到规律；
（2）根据整式的乘法运算法则进行运算，即可证明；
（3）利用结论，把看成，进行化简，即可．
【详解】（1）由题意得，．
故答案为：．
（2）
．
（3）
．
考点十六 整式乘法混合运算（共3小题）
39．（2024七年级下·江苏南通·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键．
（1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项；
（4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
40．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）本题主要考查整式运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键；
（1）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
（2）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式加单项式的运算法则计算即可．
（3）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据整式乘法的运算法则计算即可．
解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
41．（2024七年级下·江苏扬州·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（3）先计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
；
（4）解：原式
．
考点十七 平方差公式运算（共3小题）
42．（2024七年级下·江苏泰州·专题练习）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式．根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．
【详解】解：A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，
D选项变形后为，不能使用平方差公式；
故选：D．
43．（23-24七年级下·福建福州·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数”），在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．614B．624C．634D．642
【答案】B
【分析】根据，确定小于100的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，可得出答案．
【详解】解：依题意设连续的两个奇数为，
∴
解得：
，
在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键．
44．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)44和2028这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续的偶数为和（其中n取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
【答案】(1)44是“神秘数”； 2028是“神秘数”；理由见解析
(2)是，理由见解析
【分析】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了整式的运算，熟练运算法则是解题的关键．
（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28写成两个连续偶数的平方差即可；
（2）计算，整理即可得到结果．
【详解】（1）解：∵，
∴44是“神秘数”；
∵，
∴2028是“神秘数”；
（2）解：是4的倍数，理由：
∵，k取非负整数
∴两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．
考点十八 平方差公式与几何图形（共2小题）
45．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现
(1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________；
(2)【发现规律】
猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________；
(3)【运用规律】
运用上述规律计算：．
【答案】(1)；
(2)
(3)1275
【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可；
把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可；
（2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可；
（3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为；
小红的方法：长方形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积为．
（2）解：这三个代数式之间的数量关系为：
；
（3）解：
．
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
46．（24-25七年级下上·云南文山·阶段练习）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形），如图所示：
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法的形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
A． B．
C． D．
(4)根据（3）中所得公式，当，时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)，，
(3)D
(4)
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用：
（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出答案：
（2）根据图形列出代数式，即可求解；
（3）根据（1）（2）所求即可得到答案；
（4）根据进行求解即可．
【详解】（1）解： 由题意得，，
故答案为：；
（2）解：该长方形的宽是，长是，面积是；
故答案为：，，．
（3）解：由（1）（2）可知，
故选：D；
（4）解：当，时，．
考点十九 完全平方公式运算（共2小题）
47．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据完全平方公式求解即可。
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）；
（6）．
48．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式：
（1）先利用平方差公式，再进行完全平方公式进行计算即可；
（2）先利用平方差公式，再进行完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
考点二十 完全平方公式与几何图形（共2小题）
49．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）问题情境：
我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决．
例如：已知，，求的值．
解：
独立思考：
（1）已知，，求的值；
（2）若，
①则 ，
②求的值；
解决问题：
（3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积．
【答案】（1）18；（2）①3；②7；（3）长方形院子的面积为
【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算、合并同类项、完全平方公式在几何图形中的应用；
（1）利用完全平方公式进行变形求解即可；
（2）①根据合并同类项法则进行计算即可；
②由①可得，再利用完全平方公式进行计算即可；
（3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
即，
∴；
（2）①，
故答案为：3；
②由①得，，
∴，
∴，
∴；
（3）由题意得，，，
∴，
即，
∴，
∴，
答：长方形院子的面积．
50．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．

（1）如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为______；（用、表示）
（2）①类比（1）的探究过程，用不同的代数式表示图中大正方形的面积．
由此得到的等式为______；（用、、表示）；
②根据上面的结论，已知．，则_____．
【知识迁移】
（3）类比上述两个探究过程，请画图探索的结果（用、、、表示）．
【答案】（1）；（2）①；②29；（3），画图见解析
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系．
（1）用两种不同的方式表示大正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可；
（2）①类比（1）用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可；
②把①中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可；
（3）根据（1）、（2）中等式的规律直接写出结果即可．
【详解】（1）大正方形的边长为，
大正方形的面积为，
大正方形可以分成个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为宽为的长方形，
大正方形的面积为，
，
故答案为：；
（2）①类比（1）可得：，
故答案为：；
②由①可得：，
，，
，
故答案为：29；
（3）由（2）可得：，
画图如下：
考点二十一 通过对完全平方公式变形求值（共3小题）
51．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知实数满足，．
(1)_____，_____；
(2)求
【答案】(1)9；1
(2)79
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）利用完全平方公式将两等式展开，等号两边分别相加消去项，即可求出的值；相减消去，即可求出的值；
（3）利用结合，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴得：，
∴，
∴；
∴得：
∴；
（2）解：∵，
∴
．
52．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算．
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)53
(2)14
【分析】（1）根据，，求和解答即可．
（2）根据完全平方公式解答即可．
本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
53．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，求：
（1）；
（2）．
思考：若已知，则
（3）；
（4）又分别为多少？
【答案】（1）7（2）（3）11（4）119
【分析】本题主要考查了利用平方差公式变形求解．
（1）将已知等式两边平方可求得的值，
（2）再对平方即可求得的值．
（3）将已知等式两边平方可求得的值，
（4）再对平方即可求得的值．
【详解】解：（1）∵
∴
即：
∴
（2）
（3）∵
∴
∴
（4）
考点二十二 图形的平移（共2小题）
54．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，求阴影部分的面积是多少．
【答案】
【分析】本题考查平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状．先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键．
【详解】解：∵直角三角形从点出发沿着方向匀速平移得到三角形，
平移的距离为，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
55．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将向右平移 格，再向上平移 格得到．
【答案】
【分析】本题考查图形的平移，根据点的平移方式即可得答案．解决本题的关键是观察发现各对应点之间的转换关系．
【详解】解：∵从点看，向右移动格，向上移动格即可得到，
∴将向右平移格，再向上平移格得到．
故答案为：，
考点二十三 利用平移的性质求解（共2小题）
56．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长．
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
，
阴影部分的周长为．
故本题答案为：12．
57．（2025七年级下·江苏南通·专题练习）如图，将沿方向平移，得到．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
（1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可．
（2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题．
【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到，
所以．
又因为，
所以；
（2）解：由平移可知，，
所以，
即．
又因为，
所以，
所以．
考点二十四 利用平移解决实际问题（共1小题）
58．（23-24七年级下·江西上饶·阶段练习）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示．
(1)问地毯至少需要多少米？
(2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？
【答案】(1)地毯至少需要11.6米
(2)买地毯需要1044元
【分析】本题考查了平移的性质及有理数四则运算的实际应用．
（1）利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， 即可求解；
（2）用地毯的长度乘以宽度3米，得到面积，再用面积乘以30，即可求解．
【详解】（1）解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米，
∴地毯的长度为（米），
答：地毯至少需要11.6米；
（2）解：地毯的面积为（平方米），
∴买地毯至少需要（元），
答：买地毯需要1044元．
考点二十五 平移作图（共3小题）
59．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．
(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)连接与，则线段与线段的关系_________．
【答案】(1)画图见解析
(2)平行且相等
【分析】本题考查平移变换以及平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出图形位置；
（2）利用平移的性质得出对应点连线的关系即可；
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
；
（2）解：如图，连接与，
线段与线段的关系是：平行且相等；
60．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C．
(1)画出平移以后的；
(2)连接，，则这两条线段的关系是 ；
(3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
(3)32
【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，图形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质可得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由平移的性质得，，
∴这两条线段的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）解：如图所示，连接
∴线段在平移过程中扫过区域的面积为．
61．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形经过平移后得到三角形，其中点是点的对应点．
(1)画出平移后得到的三角形；
(2)连接、，则线段、的关系为_________________；
(3)线段扫过的面积为_________________（平方单位）．
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
(3)
【分析】本题考查了平移变换，解题的关键是掌握平移的性质．
（1）直接利用平移的性质得到对应点的位置，然后依次连接即可；
（2）直接利用网格可得出线段、的位置关系和大小关系；
（3）线段扫过的面积为四边形的面积，求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求：
（2）线段、的关系为平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）线段扫过的面积为四边形的面积，
线段扫过的面积为：，
故答案为：．
考点二十六 平移综合（共1小题）
62．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点．
(1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到；
(2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出；
(3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量．
【答案】(1)；
(2)图见解析；
(3)使，满足条件的平移量有、、、、．
【分析】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据“平移量”的定义判断即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可；
（3）过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，取格点，使，即可得出点平移量．
【详解】（1）解：依题意可知，点在点的左侧个单位，上方个单位，
∴点可看作点按“平移量”平移得到，
故答案为：．
（2）解：点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，依次连接、、，如图：

∴为所求的三角形．
（3）解：要使，则点到的距离等于点到的距离，所以过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，如图：
在网格上取格点，则，
∴由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
由点按“平移量”平移得到，
∴使，满足条件的平移量有、、、、．
考点二十七 轴对称图形（共1小题）
63．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．

【答案】2
【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解．
【详解】解：如图所示，

即：满足条件的点的个数为2个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键．
考点二十八 根据成轴对称的特征进行求解（共1小题）
64．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知．
(1)求的周长；
(2)连接、，若，求．（用含的代数式表达）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键；
（1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案；
（2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案；
【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点，
∴，，
∴的周长
；
（2）如图，连接，，，
∵M，N分别是点O关于、的对称点，
∴，，
∴．
考点二十九 折叠问题（共3小题）
65．（2025七年级下·江苏南通·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法．
(1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质；
（1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案；
（2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论；
【详解】（1）解： ．
理由：∵，
∴．
由折叠可知，，
∴．
（2）解：．
理由：∵，
∴．
由折叠可知，，
∴，
∴．
66．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度．
(1)写出的等量关系；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
（1）由题意得度，度
度，再列等式求解即可；
（2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意得度，度
度，
即，
解得；
（2）解：因为将沿边折叠到处，
所以度，
所以，
因为，
所以，即，
由（1）得，代入得
解得，
所以
67．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，．
①若，求和的度数．
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．
（1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案；
（2）①根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案．
②由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案．
【详解】（1）解：如图1，由翻折的性质得：，
．
四边形是长方形，
，，
，，
．
（2）解：①如图2，，
，
，
．
由翻折的性质得：，
，
．
继续沿进行第二次折叠，
，
．
②如图3，
，
．
由翻折得，
，
．
继续沿进行第二次折叠，
，
．
，
，
，
．
，
．
考点三十 图形的旋转（共1小题）
68．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图．
(1)将线段平移，使平移后的线段经过点．
①请在图中画出一条符合要求的线段；
②写出线段平移至线段的方法；
(2)第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平移作图，作旋转中心；
（1）①根据平移的性质，使得点平移至，点平移至点，即可求解；
②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段；
（2）连接交于点，即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，线段即为所求；
②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，线段经过点．
（2）解：如图所示，点即为所求．
考点三十一 旋转的规律性问题（共1小题）
69．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号）
【答案】1
【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置．
通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案．
【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同．
故答案为：1．
考点三十二 根据旋转的性质求解（共2小题）
70．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点．
(1)若，指出旋转中心，并求出的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)旋转中心为点C，旋转角度为
(2)
【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解；
（2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得．
【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴旋转中心为点C，旋转角度为；
（2）解：由旋转得，，，
∵点恰好为的中点，
∴，
∴．
71．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度；
(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，若，求的度数．
【答案】(1)45
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义以及角之间的和差关系，读懂题意是解题的关键．
（1）的度数就是旋转的角度；
（2）由得，由可得结论
【详解】（1）解：∵，
∴三角板旋转的角度为，
故答案为：45；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴,
∵
∴
考点三十三 旋转作图（共2小题）
72．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．
(1)将向左平移4格，画出平移后的对应；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的；
(3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可．
（3）首先勾股定理求出，然后得到旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆，进而求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）根据题意得，
∵绕点顺时针旋转得到
∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆
∴旋转过程中边“扫过”的面积为．
73．（24-25七年级下下·安徽淮南·开学考试）如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点（格点为网格线的交点）．
(1)将绕点逆时针旋转得到，画出；
(2)将向下平移4个单位长度得到，画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所示．
考点三十四 旋转综合题（共2小题）
74．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当 时，的边与的某一边平行．
【答案】或或
【分析】本题考查了旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据所给旋转方式，画出示意图，再结合平行线的性质，分 ，，三种情况讨论即可解答．
【详解】解：，
是等边三角形，
∠DAC=60°．
．，
．
当旋转后的边与平行时，如图所示，
令与的交点为M，
由旋转可知，
，
，
，
，
，
即．
当旋转后的边与平行时，如图所示，
，
，
，
即．
当旋转后的边与平行时，如图所示，
，
，
，
即．
综上所述，当或或时，的边与的某一边平行．
故答案为：或或．
75．（23-24七年级下上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点在同一条直线上，，
∴，
故选：C．
76．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题提出
（）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ．
问题探究
（）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；
问题解决
（）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．

【答案】（）；（）度数不会发生变化，为；（）或．
【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解；
（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解；
（）由，可判断出与重合前（含重合）和与重合后这两个阶段不存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在与重合后到与重合时这个阶段，根据角的和差关系列出方程即可求解；
本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键．
【详解】解：（）∵点在直线上，，，
∴，
∵为平分线，
∴，
故答案为：；
（）∵将三角板绕点逆时针旋转，
∴，，
∵平分，为平分线，
∴，
，
∴，
∴度数不会发生变化，为；
（）由图可知，当与重合前（含重合）和与重合后，，
∴在这两个阶段不存在满足条件的值，
当与重合后到与重合时，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得或，
∴当时，的值为或．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：
，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1；系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1；系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
将此规律用下图表示：
……………1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：
，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1；系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1；系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
将此规律用下图表示：
……………1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
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