2025年湖南省常德市高考数学模拟试卷（含答案）

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这是一份2025年湖南省常德市高考数学模拟试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|(x+1)(x−3)≤0}，B={−3,−2,−1,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {−2,−1}B. {−1,1,2,3}C. {1,2}D. {−3,−2,−1}
2.命题“∃x∈R，x2+x+2=0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2+x+2≠0B. ∃x∈R，x2+x+2>0
C. ∀x∈R，x2+x+2≠0D. ∀x∈R，x2+x+2=0
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=a1+a2+…+an(n∈N∗)，则( )
A. a2=2B. a4=8C. S2=3D. S5=16
4.已知复数z满足：z−1z=2i，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
5.下列不等式正确的是( )
A. 0.30.3>0.30.2B. lg0.20.3>lg0.20.2
C. 20.3>30.2D. lg20.3b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，连接PF1并延长交椭圆C于点N.若PF1⊥PF2，且PF1=4F1N，则椭圆C的离心率为( )
A. 35B. 75C. 135D. 175
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设样本空间Ω={5,6,7,8}，且每个样本点是等可能的，已知事件A={5,6}，B={5,7}，C={5,8}，则下列结论正确的是( )
A. 事件A与B为互斥事件B. 事件A，B，C两两独立
C. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)D. P(A|C)=P(C|A)
10.已知连续函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，则下列说法正确的是( )
A. 函数y=x2+f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. 函数y=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增
C. 函数y=f(x2)存在极小值点
D. “f(0)≥1”是“f(x+1)+xex+1≥0”的充要条件
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，空间中的点P满足AP=AD+λAB+μAA1，且λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 若μ=1，则BP⊥A1D
B. 若AP= 5，则λ+2μ的最大值为 52
C. 若λ=1，则平面BPD1截该正方体的截面面积的最小值为 6
D. 若λ+μ=1，则平面ACD1与平面AB1P夹角的正切值的最小值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为______．
13.若函数f(x)=1−ax,x≤1xlnx,x>1有最小值，则实数a的取值范围是______．
14.已知函数f(x)=cs(ωx−π3)(ω>0)在区间(−π,π)上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数(单位：千人)如下：
(1)建立y关于x的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；
(2)该景区只开放东门、西门供游客出入，游客从东门、西门进入该景区的概率分别为34、14，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为15，出景区与进入景区选择不同的门的概率为45.假设游客从东门、西门出入景区互不影响，求甲、乙两名游客都从西门出景区的概率．
附：参考数据：i=15xiyi=72，i=15xi2=55，y−=4．
参考公式：回归直线方程y=bx+a，其中b=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a=y−−bx−．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥E−ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，二面角E−AB−D为π4．
(1)证明：平面ADE⊥平面ABCD；
(2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD=CE，BE与CD交于点O，已知OC=OD=2，且∠EOC=π3．
(1)若OB=32，求BC的长；
(2)求BE的长．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x2−m)ex在x=0处的切线与直线y=x−1垂直．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥ax−1对任意x∈(−1,+∞)恒成立，求实数a的值；
(3)对于函数f(x)，规定：f′(x)=[f(x)]′，f(2)(x)=[f′(x)]′，⋯，f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′，f(n)(x)叫做函数f(x)的n阶导数(n∈N∗).若对任意x∈(−1,+∞)，f(n)(x)>0恒成立，求满足条件的正整数n的最小值．
19.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,2)在C上，且|PF|=2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P作圆O：x2+y2=r2(r>0)的两条切线l1，l2，且l1，l2分别与C相交于点A，B(异于点P)．
(i)若l1⊥l2，求△PAB的面积；
(ii)证明：直线AB过定点．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.D
6.A
7.C
8.C
9.BD
10.ACD
11.ABD
12.y=±x
13.[1,+∞)
14.(13,23]
15.解：(1)依题意，x−=1+2+3+4+55=3，而i=15xiyi=72，i=15xi2=55,y=4，
则b =i=15xiyi−nx−y−i=15xi2−nx−2=72−5×3×455−5×32=1.2，a =4−1.2×3=0.4，
因此y =1.2x+0.4，当x=10时，y =1.2×10+0.4=12.4，
所以y关于x的回归直线方程为y =1.2x+0.4，第10天进入该景区参观的人数约为12.4千人；
(2)记“甲从西门进入景区”为事件A，“甲从西门出景区”为事件B，“乙从西门出景区”为事件C，
P(A)=14，P(A−)=34，P(B|A)=15,P(B|A−)=45，
由全概率公式得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)=15×14+34×45=1320，
同理P(C)=1320，所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率P(BC)=P(B)P(C)=169400．
16.解：(1)证明：在四棱锥E−ABCD中，由AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，得AE⊥CD，
由四边形ABCD是正方形，得AD⊥CD，而AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，
因此CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，
所以平面ADE⊥平面ABCD．
(2)由(1)知，CD⊥平面ADE，而AB//CD，
则AB⊥平面ADE，又AD，AE⊂平面ADE，
于是AB⊥AD，AB⊥AE，
则∠DAE为二面角E−AB−D的平面角，则∠DAE=π4，
令正方形ABCD的棱长为4，而AE⊥DE，则AE=DE=2 2，
取AD中点O，连接EO，BO，则EO⊥AD，
由(1)知平面ADE⊥平面ABCD，又平面ADE∩平面ABCD=AD，EO⊂平面ADE，
则EO⊥平面ABCD，
∠EBO是直线BE与平面ABCD所成的角，
而EO=2，BE= 42+(2 2)2=2 6，sin∠EBO=EOBE= 66，
所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 66．
17.解：(1)在△BOC中，∵OC=2,OB=32,∠BOC=π−π3=2π3，
∴BC2=OB2+OC2−2OB⋅OCcs∠BOC
=94+4−2×32×2×(−12)=374，
∴BC= 372；
(2)如图，在OB上取点F，使得OE=OF，
又OD=OC=2,∠EOC=∠FOD=π3，
∴△EOC≅△FOD，则EC=FD，
∴DB=DF=EC，
过点D作DH⊥BO，垂足为H，
则BH=FH，
∴BE=BF+EF=2HF+2OF=2OH=2×ODcsπ3=2×2×12=2．
18.解：(1)由题意可知：函数f(x)的定义域为R，
则f′(x)=(x2+2x−m)ex，
若函数f(x)=(x2−m)ex在x=0处的切线与直线y=x−1垂直，
则f′(0)=−m=−1，解得m=1，
所以f′(x)=(x2+2x−1)ex，
令f′(x)>0，则x2+2x−1>0，解得x> 2−1或x