山东省济南市历城第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试（4月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省济南市历城第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试（4月）数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 17B. 16.5C. 16D. 15.5
2. 若复数是纯虚数，则z的共轭复数（ ）
A. －1B. －iC. iD. 1
3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知非零向量，满足，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
5. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A. B.
C D.
6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccsB﹣ccsA，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
7. 嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与 ，现测得 ，，，在 点测得塔顶 的仰角为，则塔的总高度为（ ）
A. B. C. D.
8. 中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A. 1B. C. 3D. 5
二、多选题
9. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（ ）
A. 样本中男生的人数为30
B. 每个女生入样的概率均为
C. 样本的平均数为166
D. 样本的方差为22.2
10. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是纯虚数，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确是（ ）
A.
B.
C 向量与共线
D. 过点直线分别与、交于、两点，若，，则
三、填空题
12. 将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于66，则__________.
13. 在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为______.
14. 在中，，为的中点，，为上一点，且，则______．
四、解答题
15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）．
（1）求m的值；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
16. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；
（2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
（3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
17. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，.
（1）求的值；
（2）若，求周长.
18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点.

（1）求；
（2）连接，交于点，求；
（3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值.
19. 在中，对应的边分别为.
（1）求；
（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
历城一中高64级高一下学期第一次阶段性测试
数学试题
一、单选题
1. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 17B. 16.5C. 16D. 15.5
【答案】B
【解析】
【分析】由给定的平均数求出，再由第60百分位数的定义求解即可.
【详解】由数据的平均数为16，得，解得，
由，得数据的第60百分位数为.
故选：B
2. 若复数是纯虚数，则z的共轭复数（ ）
A. －1B. －iC. iD. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的乘、除法运算化简复数z，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】，
因为复数是纯虚数，所以，
则，所以.
故选：C.
3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】.
故选：B
4. 已知非零向量，满足，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】由题意知，
由知.
故选：D
5. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意判断出三角形有两解时，满足不等关系求解即可．
【详解】因为， 要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，
半径为2的圆与BA有两个交点，
所以只需满足，即，解得.
故选：C
6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccsB﹣ccsA，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．
【详解】∵a﹣b＝ccsB﹣ccsA，∴，
∴,
∴，
∴或，∴或，
故选：D.
【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．
7. 嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与 ，现测得 ，，，在 点测得塔顶 的仰角为，则塔的总高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，在中，根据正切用表示，中，正弦定理建立与的等量关系，可求解，从而确定选项.
【详解】设，则，
在中，
，
在中由正弦定理＝，即，
解得.
故选：B.
8. 中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A. 1B. C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得的代数式，进而求得其最大值.
【详解】过点作、，垂足分别为、，
如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点，
在中，，
所以，即，
即，
，
同理，
则
，
由正弦定理得，
当且仅当时取“=”，
所以的最大值为.
故选：C.
二、多选题
9. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（ ）
A. 样本中男生的人数为30
B. 每个女生入样的概率均为
C. 样本的平均数为166
D. 样本的方差为22.2
【答案】AC
【解析】
【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算样本的均值可判断C；计算样本的方差可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：抽样比为，
所以样本中男生有人，故选项A正确；
对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确；
对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，
所有样本均值为：，故选项C正确；
对于D：设男生分别为，，，，平均数，，
女生分别为，，，，平均数，，
样本的平均数为，方差为，
因为
，
而，
所以，
同理可得，
所以，
故选项D不正确；
故选：AC
10. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是纯虚数，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，对于C设，求得即可判断正误，对于D设，代入验证即可求得.
【详解】对于A选项，，则，故A正确；
对于B选项，取，，则，但且，所以B错误；
对于C选项，设，则，所以，C正确；
对于D选项，设，则由得，
又，，
故成立，D正确．
故选：ACD．
11. 对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与共线
D. 过点直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简，再根据判断正误；D：根据平面向量基本定理可得，再由三点共线即可证.
【详解】A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.
三、填空题
12. 将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于66，则__________.
【答案】120
【解析】
【分析】运用频率的概念结合条件列式子即得.
【详解】根据题意，频率＝频数比总数，知道频率之比为频数之比，后三组频数之比.
频数分别设为，则总数为，则，
解得，则.
故答案为：120.
13. 在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为______.
【答案】21
【解析】
【分析】将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，可求得，即可得出三角形周长最大值.
【详解】解：因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
由余弦定理得，即，
因为，所以，
得，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以周长的最大值为21.
故答案为：21.
14. 在中，，为的中点，，为上一点，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】取中点，连接，从而可得为中点，，再根据，可得，再由余弦定理及数量积的运算律求解即可.
【详解】解：取中点，连接，如图所示：

则有，
又因为，
所以，所以∥，
又因为为中点，所以为中点，
所以，
所以，
又因为为的中点，，
所以，
平方，得，
即，
解得，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
在中，由余弦定理可得：，
将两边平方，
得，
所以.
故答案为：
四、解答题
15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）．
（1）求m的值；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值.
（2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解.
【小问1详解】
复数，且为纯虚数是的共轭复数），则，
解得．
【小问2详解】
，
复数在复平面对应的点在第一象限，
，
解得．实数的取值范围是．
16. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；
（2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
（3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
【答案】（1），
（2）120分 （3）众数估计值为100分，平均数估计值为分
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，求得，进而得到及格率；
（2）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解；
（3）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图的性质，
可得，解得.
所以及格率为.
【小问2详解】
得分在110分以下的学生所占比例为，
得分在130分以下的学生所占比例为，
所以第80百分位数位于内，
由，估计第80百分位数为120分.
【小问3详解】
由图可得，众数估计值为100分.
平均数估计值为（分）.
17. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据余弦定理角化边得，进而可求；
（2）由面积公式可得，由正弦定理角化边得，代入，从而可求，进而可求，从而可求.
【小问1详解】
根据余弦定理可得，，则，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
又的面积为，所以，即，
因为，结合正弦定理可得，
又，所以，解得，
所以，
所以，即，
所以的周长为.
18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点.

（1）求；
（2）连接，交于点，求；
（3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可；
（2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模坐标公式即可；
（3）首先证明，最后转化为求解即可.
【小问1详解】
因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以.
【小问2详解】
设，，
，所以，
所以，
所以，解得，
所以.
【小问3详解】
在中，因为为中点，所以，
又因为是边的101等分点，
，
所以，
所以
由（2）得，
所以，
所以.
19. 在中，对应的边分别为.
（1）求；
（2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值；
（2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果.
【小问1详解】
在中，，
由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以，
因为，所以，
故，又，所以；
【小问2详解】
①设，由，得，
从而，即；
②.
又，
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，
所以，即，
则，
令，则.
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）
【点睛】关键点点睛：本题关键是仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解.