山东省诸城市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省诸城市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1. 某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为（ ）
A. B. C. D.
2 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
3. 若数列的通项公式为，则（ ）
A. 27B. 21C. 15D. 13
4. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是
A. B. C. D.
5. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（ ）
A. B. C. D. 1
6. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为
A. B. C. D.
7. 已知某种商品的广告费支出(单位：万元)与销售额(单位：万元)之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为.根据该回归方程，预测当时，，则（ ）
A. 9.4B. 9.5C. 9.6D. 9.8
8. 已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则（ ）
A. 19B. 16C. D.
二、多选题：
9. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，
10. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件相互独立B.
C. D.
11. 以下选项正确的是（ ）
A. 已知数列满足，，，，则.
B. 已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是
C. 已知为等差数列，，则
D. 已知等差数列，的前n项和分别为且则＝
三、填空题：
12. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2016个三角数与第2015个三角数的差为_______.
13. 在某市年月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的全市理科学生约人.某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名.
（参考数值：，，）
14. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________．
四、解答题：
15. 已知数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前多少项和最大．
16. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.新疆有一支“村BA”球队，甲球员是其主力队员，统计该球队在某个赛季的所有比赛，将甲球员是否上场与该球队的胜负情况整理成如下列联表：
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整.根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为.当甲球员上场参加比赛时，求甲球员打中锋且球队赢球的概率.
附：.
17. 设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且＝bnbn＋1.
（1）求证：{}等差数列；
（2）设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
18. 体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若，求位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
19. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施
诸城一中2023级高二3月月考试题
数学
一、单选题：
1. 某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意可知，恰有一套机制失效的概率为.
故选：C
2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
【答案】A
【解析】
【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
所以，
.
故选：A
3. 若数列的通项公式为，则（ ）
A. 27B. 21C. 15D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列的通项公式，代入可得选项.
【详解】因为，所以，
故选：A.
【点睛】本题考查由数列的通项公式求数列中的项，属于基础题.
4. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案.
【详解】记事件为第二次抽到一等品，事件为第一次抽到一等品，
则由条件概率公式可知：
故选：C.
【点睛】本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件发生条件下事件发生的概率公式为：.
5. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及古典概率求解即得.
【详解】依题意，
所以.
故选：C
6. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.
【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A.
【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为.
7. 已知某种商品的广告费支出(单位：万元)与销售额(单位：万元)之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为.根据该回归方程，预测当时，，则（ ）
A. 9.4B. 9.5C. 9.6D. 9.8
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格中的数据，求得的值，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解.
【详解】由已知表格中的数据，可得，
所以，
又由当时，，所以，解得.
故选：B.
8. 已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则（ ）
A. 19B. 16C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先设，利用期望公式，计算，求实数，再根据分布列求,根据方差的性质，计算结果.
【详解】由题知，设，则，因此，解得，因此离散型随机变量的分布列如下：
则，因此.
故选：A
二、多选题：
9. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断．
【详解】A．若，则，，A正确；
B．与互斥，则，是不可能发生的，，B正确；
C．与相互独立，则，C错误；
D．与相互独立，则与，与也相互独立，，同理，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查互事件与相互独立事件的概率公式．两个概念是不相同的，要注意区别．概率公式也不相同，如互斥时，，相互独立时，．
10. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与事件相互独立B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题设求出、，利用条件概率公式、全概率公式判断B、C、D，根据是否相等判断事件的独立性判断A.
【详解】由题意，，，
若发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
若发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，
若发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
对于A，，，
则，，，故A错误.
故选：BD.
11. 以下选项正确的是（ ）
A. 已知数列满足，，，，则.
B. 已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是
C. 已知为等差数列，，则
D. 已知等差数列，前n项和分别为且则＝
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由递推公式逐项计算即可，对于B，由特例即可判断，对于C，由等差数列下标性质计算即可判断，对于D，由等差数列前n项的和与项的关系推理即可判断.
【详解】对于A，由，，及，
可得：，A正确；
对于B，取，即，则，
此时an+1-an=n+12-52n+1-n2+52n=2n-32>0,∀n∈N+恒成立，即数列单调递增，故B错误；
对于C，，即，
故，故C正确；
对于D，由，可得：，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：
12. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2016个三角数与第2015个三角数的差为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】因三角数的通项为，
则，
所以两个三角数.
故答案为：.
13. 在某市年月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的全市理科学生约人.某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名.
（参考数值：，，）
【答案】
【解析】
【分析】分析可得，计算得出的概率，乘以可得结果.
【详解】考试的成绩服从正态分布，所以，，，
所以，，则，
数学成绩为分的学生大约排在全市第名.
故答案为：.
14. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值.
【详解】依题意，得解得，
故，所以．
当最大时，
即
即整理得
解得，而，因此．
四、解答题：
15. 已知数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前多少项和最大．
【答案】(1) (2) 前16项和最大
【解析】
【分析】(1)利用时,可求得通项公式;
(2)利用二次函数的解析式配方可得答案.
【详解】解：（1）当时，；当时，；
所以：；
（2）因为；
所以前16项的和最大．
【点睛】本题考查了由与的递推关系式求通项公式,数列前项和的最小值,易错点警示: 的适用条件是,求出后要检验是否成立,如果不成立,要写成分段的形式,属于基础题.
16. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.新疆有一支“村BA”球队，甲球员是其主力队员，统计该球队在某个赛季的所有比赛，将甲球员是否上场与该球队的胜负情况整理成如下列联表：
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整.根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为.当甲球员上场参加比赛时，求甲球员打中锋且球队赢球的概率.
附：.
【答案】（1）列联表见解析，能认为球队的胜负与甲球员是否上场有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二联表求解卡方，即可与临界值比较作答，
（2）根据条件概率事件的概率公式即可求解.
【小问1详解】
根据题意，可得列联表：
零假设为：球队的胜负与甲球员是否上场无关，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
【小问2详解】
设“甲球员上场打中锋”，事件“球队赢球”，
则，
当甲球员打中锋且球队赢球的概率为：
.
17. 设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且＝bnbn＋1.
（1）求证：{}是等差数列；
（2）设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）an＝(n＋1)(n＋2)，bn＝(n＋2)2．
【解析】
【分析】（1）根据递推关系求出an＝，代入2bn＝an＋an＋1利用等差中项可求证；
（2）由（1）根据等差数列通项公式求出{bn}的通项，再代入＝bnbn＋1求出{an}的通项公式.
【详解】（1）证明：＝bnbn＋1得an＋1＝，
∴an＝代入2bn＝an＋an＋1，
得2bn＝＋，
∴2＝＋，
∴{}是等差数列．
（2）由a1＝1，a2＝2得b1＝＝.
又由＝bnbn＋1得＝b1b2，
∴b2＝＝，
∴＝＝，＝＝.
∴{}的公差d＝－＝.
∴＝＋(n－1)·＝(n＋2)，
∴bn＝(n＋2)2，
∴＝bn－1bn＝(n＋1)2·(n＋2)2，
∴an＝(n＋1)(n＋2)．
18. 体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若，求位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
【答案】（1）；（2）当或时，方案一更“优”； 当或时，方案一、二一样“优”；当时，方案二更“优”.
【解析】
分析】
（1）根据题意，3人混检样本为阴性的概率为，故根据对立事件得答案；
（2）采取方案一，检验次数记为，可能取值为，进而列概率分布列，求期望；采取方案二，记检验次数为，可能取值为，进而列概率分布列，求期望得，再作差分情况讨论即可得答案.
【详解】解：(1)该混合样本阴性的概率是，
根据对立事件可得，阳性的概率为
(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为，则的可能取值为
，其分布列为:
则，
方案二:由题意分析可知，每组份样本混合检验时，若阴性则检测次数为概率为，若阳性，则检测次数为，概率为，
方案二的检验次数记为，则的可能取值为，
;
其分布列为:
则，
，
当或时，可得，所以方案一更“优”
当或时，可得，所以方案一、二一样“优”
当时，可得，所以方案二更“优”.
【点睛】本题考查随机事件的概率分布列与数学期望，考查知识迁移与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意写出方案一与方案二的概率分布列，求解对应事件的概率是难点，理解并应用独立事件的概率求解是解决概率的基本方法，进而根据分布列求期望，并作差分类讨论.
19. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施
【答案】（1）更适宜
（2）
（3）选择方案1最佳，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【小问1详解】
由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
【小问2详解】
将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，，
所以，
则，
所以z关于x的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为；
【小问3详解】
用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
2
3
4
5
6
25
39
50
56
64
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
36
40
未上场
6
合计
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6
2
3
4
5
6
25
39
50
56
64
0
1
2
3
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
36
40
未上场
6
合计
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
36
4
40
未上场
4
6
10
合计
40
10
50
参考数据（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6