2025年普通高等学校招生“圆梦杯”高三统一模拟考试（七）数学试卷（含答案）

这是一份2025年普通高等学校招生“圆梦杯”高三统一模拟考试（七）数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z的实部为1，则z+z=( )
A. 1B. 2C. iD. 2i
2.抛物线x2=−2y的准线方程为( )
A. x=12B. x=1C. y=12D. y=1
3.设向量a=x,2，b=1,3.若a与b共线，则x=( )
A. 6B. −6C. 23D. −23
4.已知函数fx=lgaxa>0,a≠1，若fe2+fe3=10，则a=( )
A. e2B. eC. eD. e2
5.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为( )
A. 320B. 1720C. 310D. 710
6.已知函数fx=xlnx+a在区间1,2单调递增，则a的最小值为( )
A. −1B. −2C. −3D. −4
7.已知i,j∈N∗，记Sn为等比数列an的前n项和.设命题p:a2i+10}，C=a∣ga≥f1，则( )
A. A∩C=AB. A∩C=CC. B∩C=BD. B∩C=C
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两组样本数据，第一组x1,x2,x3,x4,x1+x22，第二组x1,x2,x3,x4,x1+x2+x33，若x1≤x2≤x3≤x4，则( )
A. 这两组数据的平均数一定相等B. 这两组数据的极差一定相等
C. 这两组数据的第90百分位数一定相等D. 这两组数据的众数一定相等
10.已知椭圆C:x24+y23=1的左顶点为A，右焦点为F.点M在线段AO(O为坐标原点)上，且C与圆M有且只有一个公共点A，点Px0,y0，Q分别为C和圆M上的动点，则( )
A. OP的最大值为2B. PF4−x0为定值
C. 圆M半径的最大值为1D. PQ+2PF的最小值为3
11.设a，b为正数，若函数fx=sin2x−12在区间ba,ab上有且仅有两个零点，则( )
A. ab−ba有最大值B. ab−ba有最小值
C. a2b的最小值为5 5π12D. a+b的最小值为 5π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 ．
13.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心.现规划在半圆弧岸边取点C，D，满足∠AOC=∠COD，在扇形AOC和扇形BOD区域内种植荷花，在扇形COD区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道AC，BD，CD作为观光路线，则当AC+BD+CD最大时，sin∠BOD= ．
14.如图，由9个单位小方格组成的3×3方格表中共有16个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意4个格点构成矩形的4个顶点，则这4点中至多有2点被染成灰色.则被染为灰色的格点数目最多为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，E，F分别是PB，AC的中点．
(1)证明：EF//平面PCD；
(2)求二面角C−EF−B的正弦值．
16.(本小题15分)
小明连续投篮两次，若第一次投中，则第二次也投中的概率为0.6，若第一次未投中，则第二次投中的概率为0.5，已知第一次投中的概率为0.7．
(1)记小明投中的次数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
(2)求在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率．
17.(本小题15分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点A2,3在C上，且AF2⊥F1F2．
(1)求C的标准方程；
(2)过F2的直线交C于M，N两点，线段AM与线段F1N交于点R，若▵F1RM的面积等于▵ARN的面积，求MN．
18.(本小题17分)
已知函数fx=a−xex+x，a∈R．
(1)当a=0时，求fx的最大值；
(2)证明：fx存在唯一极值点；
(3)若存在开区间I，使得fx∈I，当且仅当x∈I，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
若互不相交的非空集合A1,A2,…,Ak满足：A1∪A2∪⋯∪Ak=1,2,⋯,n，且对任意a,b∈Amm=1,2,⋯,k，a+b∉Am，则称A1,A2,⋯,Ak是“k,n集合对”．
(1)写出一个3,7集合对；
(2)若bi+aj=a1i=1,2,3,j∈2,3,4,5,6，cs+bt=b1s=1,2,t∈2,3，证明：不存在3,n集合对A1,A2,A3，使得a1,a2,⋯,a6⊆A1，b1,b2,b3⊆A2，c1,c2⊆A3；
(3)若数列xn满足x2=5，xn=nxn−1+1n≥3，证明：当n≥2时，不存在n,xn集合对．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.D
6.A
7.A
8.A
9.BC
10.ABD
11.BC
12. 3π3
13.π3 或60 ∘
14.6
15.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，F是AC的中点，连接DF，
∴B，F，D三点共线，且F是BD的中点，
又E是PB的中点，∴EF//PD，
又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EF//平面PCD．
(2)
如图建系，易得：A0,0,0,B1,0,0,P0,0,1,C1,1,0,F12,12,0,E12,0,12，
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，又EB=12,0,−12,EF=0,12,−12，
由n⋅EB=0n⋅EF=0得：12x−12z=012y−12z=0,
令x=2，可得：y=2,z=2，
所以n=(2,2,2)，
设平面CEF的法向量为m=(a,b,c)，FC=12,12,0,EF=0,12,−12，
由由m⋅FC=0m⋅EF=0得：12a+12b=012b−12c=0,
令a=2，可得：b=−2,c=−2，
所以m=2,−2,−2，
设二面角C−EF−B的大小为θ，
所以csθ=m⋅nm⋅n=412=13，
所以sinθ=2 23，
所以二面角C−EF−B的正弦值是2 23．

16.解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，
则PX=0=0.3×0.5=0.15，PX=2=0.7×0.6=0.42，
PX=1=0.7×0.4+0.3×0.5=0.43，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
故EX=0×0.15+1×0.43+2×0.42=1.27．
(2)记事件A:小明在第一次投中，事件B:小明在第二次投中，
则PA=0.7，PA=0.3，PBA=0.6，PBA=0.5，
则PAB=PA⋅PBA=0.7×0.6=0.42，
由全概率公式可得PB=PA⋅PBA+PA⋅PBA=0.42+0.3×0.5=0.57，
由条件概率公式可得PAB=PABPB=．
所以，在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为1419．

17.解：(1)因为AF2⊥F1F2且A2,3，所以焦点F22,0，即c=2，F1F2=2c=4,AF2=3，
所以AF1= AF22+F1F22=5，
根据双曲线的定义有AF1−AF2=5−3=2=2a⇒a=1，所以b2=c2−a2=3，
所以双曲线C:x2−y23=1．
(2)根据题意过F22,0的直线斜率为0显然不满足题意，可设过F22,0的直线为x=my+2，
由x=my+2x2−y23=1⇒3m2−1y2+12my+9=0,
当m≠± 33时，有Δ=12m2−4×93m2−1=36m2+1>0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则由韦达定理有y1+y2=−12m3m2−1,y1y2=93m2−1，
所以MN= 1+m2y1−y2= 1+m2 y1+y22−4y1y2=6m2+13m2−1，
因为S▵F1RM=S▵ARN，所以S▵F1NM=S▵ANM，即点F1−2,0和点A2,3到直线x=my+2的距离相等，
则有d=−2−2 1+m2=2−2−3m 1+m2，解得m=±43，
所以MN=6m2+13m2−1=5013，

18.解：(1)当a=0时，f(x)=(−x)ex+x，x∈R，
则f′(x)=−ex−xex+1=1−ex(x+1)，其中f′(0)=0，
当x