2024-2025学年河南省三门峡市高一下册3月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省三门峡市高一下册3月月考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了 已知向量满足，则， 下列正确的是， 在中，角的对边分别为，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用复数的运算法则计算即可.
【详解】由题意，
故选：B.
2. 边长为2的等边三角形中，（ ）
A. 2B. 4C. D.
【正确答案】C
【分析】利用向量数量积定义及公式计算即可.
【详解】由题意，
故选：C.
3. 在中，，则（ ）
A. 或B. C. D. 或
【正确答案】B
【分析】由正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理得，，
即，解得，
又，则，所以
故选：B.
4. 已知向量，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据在方向上的投影向量是，代入计算即可.
【详解】由题意有，，
所以在方向上的投影向量是，
故选：A
5. 已知向量满足，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由向量满足，
因为，可得，
解得，
故选：D.
6. 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求出，再利用正弦定理求解即可.
【详解】因为，,
所以，
中，由正弦定理得,
即，解得.
所以A，B两点的距离为m.
故选：A.
7. 如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果.
【详解】由题意得，，，
∵若是边的中点，是边的中点，
∴，
∴①＋②得，，
∴，
∴，故.
故选：D.
8. 在中，已知，则的内切圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由三边长利用余弦定理求得继而求得三角形的面积，接着通过的内切圆的圆心分割三角形得到其面积的另种表示方式，即可求得内切圆半径.
【详解】由余弦定理可得，因，
则， .
设的内切圆的半径为，则，解得，
则的内切圆的面积为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列正确的是（ ）
A. 若，则与能作为一组基底
B. ，则与能作为一组基底
C. 与可以作为一组基底
D. 若不共线，则与可以作为一组基底
【正确答案】BD
【分析】本题可根据向量能否作为一组基底的判定条件，即两个向量不共线时可以作为一组基底，来逐一分析选项.
【详解】选项A：判断与是否共线.
，等式成立，所以与共线，不能作为一组基底，A选项错误.
选项B：判断与是否共线.
，所以与不共线，能作为一组基底，B选项正确.
选项C：判断与是否共线.
设，可得.
若与不共线，则不存在这样的实数使得成立；
若与共线，则与共线.
由于题目未明确与是否共线，所以无法确定与是否能作为一组基底，C选项错误.
选项D：判断与是否共线.设，即.
因为，不共线，所以不存在实数使得成立.
所以与不共线，可以作为一组基底，D选项正确.
故BD.
10. 在中，角的对边分别为，则（ ）
A. 若，则解此三角形有两解
B. 若，则此三角形为等腰直角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 的充要条件是
【正确答案】ACD
【分析】利用余弦定理求解可判断A；利用正弦定理边化角可得或，可判断B，利用锐角三角形的定义以及诱导公式计算可判断C；由正弦定理可判断D.
【详解】对于A，由余弦定理可得，
即，解得或，故三角形有两解，故A正确；
对于B，因为，
所以由正弦定理可得，
所以，因为，，
所以或，所以或，
所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，因为为锐角三角形，所以，所以，，
所以，，
所以，故C正确；
对于D，充分性，若，则，所以，故充分性成立，
必要性，若，则，所以，故必要性成立，
所以的充要条件是，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的取值范围为
D. 若，则为等边三角形
【正确答案】ABD
【分析】根据余弦定理化简判断A，根据正弦定理结合合比性质判断B，利用正弦定理及数量积定义得，然后利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质求解范围判断C，根据向量线性关系及数量积的几何意义易知的角平分线与垂直且，即可判断D.
【详解】对于A，在中，，由余弦定理得，正确，
对于B，由正弦定理，可得，，
所以，正确；
对于C，由选项B知，，则
，
又，所以，所以，
所以，错误；
对于D，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量，
根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线，
由可知的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，
又，所以为等边三角形，正确.
故选：ABD
关键点点睛：解答本题的关键是利用数量积的定义及正弦定理、综合运用两角和差正弦公式及二倍角公式化简，再利用正弦函数的性质求解范围即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，与的夹角为，若与垂直，则实数__________.
【正确答案】
【分析】由已知条件可得，再利用向量垂直，可得，进而求得的值.
【详解】由题意得，从而，得.
故答案为.
13. 在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为________．
【正确答案】
【分析】分别在和中利用余弦定理可得，，再将面积表达式平方并利用二次函数性质即可求得面积的最大值.
【详解】如下图所示：
设角所对的边分别为，
在中，由利用余弦定理可得，
又，可得，
即；
同理在中,由利用余弦定理可得，
又，可得，
即；
联立，解得，；
由的面积为可得
因此可得，可得，
即面积的最大值为.
故
关键点点睛：本题关键在于利用中线长结合余弦定理求得三边长之间的关系，再由面积表达式平方计算，根据二次函数性质可求得最值.
14. 在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．
【正确答案】
【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围.
【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.

则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，其中.
（1）若向量是单位向量，且，求向量；
（2）若向量，向量与向量共线，求向量.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）根据向量的模和垂直的坐标表示列出等式求解；
（2）根据向量平行的坐标表示列出等式求解.
【小问1详解】
设，
根据题意，得，则或，
所以或；
【小问2详解】
若向量，
则，，
由向量与向量共线，
可得，则，
故.
16. 在中，角,,的对边分别是，且 .
（1）求角的大小；
（2）若，，求和的值.
【正确答案】（1）（2） 或 .
【分析】（1）根据已知结合余弦定理求出，再由角是
的内角得出角的范围进而可以求解；
（2）根据已知结合余弦定理即可求解
【详解】（1）由，得，
由余弦定理，得，
即，
又因为， 所以 .
（2）由（1）及余弦定理，得
，
将 ，代入得.
由，解得或
所以或 .
17. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．
（1）用表示；
（2）如果，且，求．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；
（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可．
【小问1详解】
因为，
所以，
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，由，可得，
又，所以，
所以．
18. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且．
（1）求此山的高OP的值；
（2）求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1），在中和中，利用正切函数可表示出，然后在中利用余弦定理可求出；
（2）设是线段AB上一动点，连结OC，PC，当时，OC最短，此时观测点的仰角正切值的最大，从而可求出其最大值.
【小问1详解】
设，在中，因为，所以，
同理，在中，，
在中，由余弦定理得，
所以，得，
所以此山的高为．
【小问2详解】
由（1）得，
设是线段AB上一动点，连结OC，PC，
则在点处观测点的仰角为，
当时，OC最短，
由得，
所以，
所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为．
19. 在中，内角的对边分别为，且为边上的一点，且平分.
（1）求的大小；
（2）若平分线交于点，且，求周长的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可得结果.
（2）根据面积公式可得，利用基本不等式得到，结合余弦定理求得，由此可得答案.
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，∴，
∴，故，即，
∵，∴，
∴，故.
【小问2详解】
∵为的平分线，∴.
∵，∴，
∵，∴，
由得，，由得，当且仅当时，等号成立，，
在中，由余弦定理得，，
令，则，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴当时，，故，
∴周长的最小值为.