高考数学第二轮复习专题练习 专题8.13 空间直线、平面的垂直（二）（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题8.13 空间直线、平面的垂直（二）（重难点题型精讲）（学生版），共17页。试卷主要包含了二面角，面面垂直的定义及判定定理，平面与平面垂直的性质定理等内容，欢迎下载使用。

1．二面角
(1) 二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l-，如图(1).
②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.
2．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂
直，记作⊥.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
3．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
【题型1 求二面角】
【方法点拨】
求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即
过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找
到二面角的平面角或其补角.
【例1】（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的体积为13，求二面角P－BC－A的余弦值．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为45∘．
(1)二面角B-PC-D的大小；
(2)直线PB与平面PCD所成的角的大小．
【变式1-2】（2023春·江苏常州·高三开学考试）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB,AC于点M,N.将△AMN沿着MN折起至△A1MN，使得二面角A1-MN-B是直二面角.
(1)若平面A1MN∩平面A1BC=l，求证：l//BC；
(2)若三棱锥A1-AMN的体积为1，求二面角N-A1M-B的正弦值.
【变式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二阶段练习）已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，∠PCA=45°，点M为线段PC上一动点.
(1)当点M为PC中点时，证明：BM⊥AC；
(2)当平面ABC与平面ABM所成二面角为60°时，试确定点M的位置.
【题型2 面面垂直判定定理的应用】
【方法点拨】
利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通
过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
【例2】（2023·河南郑州·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：平面PBC⊥平面PCD；
(2)求四棱锥E-ABCD的体积；
【变式2-1】如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E为PC中点．
(1)求证：直线BE //平面PAD；
(2)平面PBC⊥平面PDC．
【变式2-2】（2023春·河南·高三开学考试）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点.
(1)求证：平面BED⊥平面BCC1B1；
(2)求三棱锥E-BCD的体积.
【变式2-3】（2023·贵州毕节·统考一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，AC与BM交于点E，AB=62，AD=6，K为PA上一点，PK=13PA．
(1)证明：K，E，M，N四点共面；
(2)求证：平面PAC⊥平面BMNK．
【题型3 面面垂直性质定理的应用】
【方法点拨】
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平
面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90∘，平面PAD⊥底面ABCD,Q,M分别为AD,PC的中点.PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.
(1)求证：直线BC⊥平面PQB；
(2)求三棱锥A-BMQ的体积.
【变式3-1】（2023春·青海西宁·高三开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为边长为2的正三角形，D为BC的中点，AA1=2，且∠C1CB=60∘，平面BB1C1C⊥平面ABC.
(1)证明：C1D⊥AB；
(2)求三棱锥B1-AA1C1的体积.
【变式3-2】（2023·四川南充·四川模拟预测）如图， 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，N，E，F分别是AA1，AB，C1D1的中点， 侧面DCC1D1⊥平面ABCD，∠ABB1=60∘，AD=4，AB=DD1=8，∠DAB=120∘．
(1)求证：NF//平面C1CE;
(2)试求三棱锥 N-C1EC体积．
【变式3-3】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，四边形ABB1A1是边长为2的菱形，△ABC为等边三角形，∠A1AB=60°，E为BC的中点，D为CC1的中点，P为线段AC上的动点．
(1)若AB1//平面PDE，请确定点P在线段AC上的位置；
(2)若点P为AC的中点，求三棱锥C-PDE的体积．
【题型4 垂直关系的相互转化】
【方法点拨】
在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此，判定定理与性质定
理的合理应用是证明垂直问题的关键.
【例4】（2023秋·四川内江·高二期末）如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FA⊥AC，AB=2，EF=FA=1．
(1)求证：BE⊥平面DEF；
(2)求直线BD与平面BEF所成角的大小．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A、B的动点，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F是DE的中点．
(1)求证：OF//平面BCE；
(2)求证：平面ADE⊥平面BCE．
【变式4-2】（2022秋·河南·高三阶段练习）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=2，∠BAC=90∘．以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，E,F分别为AD,BC的中点．
(1)证明：AC⊥EF；
(2)设EF=3，求BD．
【变式4-3】（2022秋·江苏南通·高二期中）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=1，A1A=2，E为棱CC1的中点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)求A1E与平面A1BD所成角的余弦值．
【题型5 点、线、面的距离问题】
【方法点拨】
结合具体条件，根据点到平面的距离、线面距、面面距的定义，进行转化求解即可.
【例5】（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D为CC1上的中点.
(1)证明：平面A1BD⊥平面ABB1A1;
(2)若∠ACB=90∘,AB=2，求点B1到平面A1BD的距离.
【变式5-1】（2023秋·重庆巫山·高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=2，PD的中点为F.
(1)求证：PB//平面ACF；
(2)求直线PB到面ACF的距离.
【变式5-2】（2023·河南·高三阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥BC ，PA=PB，∠APC=∠BPC．
(1)证明：PC⊥AD；
(2)若AB∥CD，PD⊥AD， PC=3，且点C到平面PAB的距离为62，求AD的长．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA//BF，AB=AE=2BF=2.
(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；
(2)求点B到平面CEF的距离.
【题型6 平行关系与垂直关系的综合应用】
【方法点拨】
根据线、面平行的判定和性质、线、面垂直的判定和性质等知识，结合具体问题，进行求解即可.
【例6】（2023·河北·高三学业考试）如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，BD与AC相交于O点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MO//平面PAD；
(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.
【变式6-1】（2023秋·四川遂宁·高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E,F,G分别是AB,PB,CD的中点．
(1)求证：EF⊥DC；
(2)求证：平面EFG//平面PAD.
【变式6-2】（2022·上海·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA=AB=2，E为PD中点.
(1)证明：PB//平面AEC
(2)证明：平面PCD⊥平面PAD.
【变式6-3】（2023秋·广东汕尾·高二期末）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1B,B1D1的中点.
(1)求证：EF//平面ACD1；
(2)求证：平面ACD1⊥平面D1B1BD.