高考数学第二轮复习专题练习 专题8.6 简单几何体的表面积与体积（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题8.6 简单几何体的表面积与体积（重难点题型检测）（教师版），共20页。
1．（3分）（2023·高一单元测试）已知正四棱锥的高为3，底面边长为2，则该棱锥的体积为（ ）
A．6B．32C．2D．2
【解题思路】直接利用棱锥的体积公式计算即可.
【解答过程】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为13×2×2×3=2
故选：C.
2．（3分）（2023·高一课时练习）若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ）
A．12B．13C．23D．14
【解题思路】根据题意可圆柱的底面积乘以圆柱的高=圆柱的底面积乘以圆锥的高×13×2，由此解答.
【解答过程】圆柱的体积=圆锥的体积×2 ，
即圆柱底面积×圆柱的高=圆锥的底面积×圆锥的高÷3×2 ，
由此推出：圆柱的底面积×圆柱的高=圆柱的底面积×圆锥的高×13×2，
整理得，圆柱的高=圆锥的高×23，圆柱的高÷圆锥的高=23，
所以，圆柱的高是圆锥高的23.
故选：C.
3．（3分）（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ）
A．4B．6C．203D．163
【解题思路】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，求出三棱锥和正方体的体积，作差可得.
【解答过程】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，
三棱锥的体积为 V1=13×12×2×2×2=43,
正方体的体积为V2=8，
则该正方体剩余几何体的体积为
V=V2-V1=8-43=203.
故选：C.
4．（3分）（2022春·河南信阳·高一阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（ ）
A．多面体有12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为3
C．多面体的体积为56
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
【解题思路】由题得该多面体的各顶点为正方体每条棱的中点，判断选项正误.
【解答过程】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点，
该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A项正确；
多面体表面每个三角形面积为12×22×22×32=38，每个小正方形面积为22×22=12，
所以多面体表面积为38×8+12×6=3+3，B项错误；
将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为13×12×12×12×12=148，
所以多面体体积V=13-148×8=56，C项正确；
原正方体中心到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）的距离都为22，
所以以该点为球心，22为半径的圆即多面体的外接圆，D项正确；
故选：B.
5．（3分）（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在三棱锥A-BCD中， 平面ABD⊥平面BCD，△BCD是边长为23的等边三角形，AB=AD=2，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．20πB．8πC．28πD．48π
【解题思路】设△ABD外心为O2，△BCD外心为O1，DB中点为E，过外心分别作平面ABD，平面BCD垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得△BCD，△ABD外接圆半径r1，r2，又注意到四边形O2EO1O为矩形，则外接球半径R=O2B2-14DB2+O1B2.
【解答过程】设△ABD外心为O2，△BCD外心为O1，DB中点为E.
因O1E⊥DB，O1E⊂平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，则O1E⊥平面ABD，又O2E⊂平面ABD，
则O1E⊥ O2E.过O2，O1分别作平面ABD，平面BCD垂线，则垂线交点O为外接球球心，
则四边形O2EO1O为矩形.△BCD外接圆半径r1=O1B=BD2sin60=2.
又因AB=AD=2，BD=23，则∠BAD=120.故△ABD外接圆半径r2=O2B=BD2sin120=2.
又OO1=O2E=O2B2-EB2=4-3=1.
又OO1⊥平面BCD，BO1⊂平面BCD，则OO1⊥BO1.
故外接球半径R=OB=OO12+BO12=4+1=5，
故外接球表面积为4πR2=20π.
故选：A.
6．（3分）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． 10B．15 C．4D．5
【解题思路】表示出表面积后，根据二次函数性质可得.
【解答过程】大圆柱表面积为2×152π+10×2×15π=750π
小圆柱侧面积为10×2πr，上下底面积为2πr2
所以加工后物件的表面积为750π+20πr-2πr2，当r=5时表面积最大.
故选：D.
7．（3分）（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，EF=4，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A．22πB．42πC．823πD．2π
【解题思路】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知OA=OB=OC=OD=OE=OF=2，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.
【解答过程】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则OM⊥平面ABCD.取BC的中点G，连接FG，作GH⊥EF，垂足为H，如图所示，
由题意得，OA=OB=OC=OD，OE=OF=2，HF=14EF=1，FG=32BC=3，
∴HG=FG2-HF2=2，
∴OM=HG=2，
又∵AM=22AB=2，
∴OA=OM2+AM2=2，
∴OA=OB=OC=OD=OE=OF=2，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，
∴这个羡除的外接球体积为V1=43πr3=43π×23=32π3.
∵AB//EF，AB⊄面CDEF，EF⊂面CDEF，
∴AB//面CDEF，即：点A到面CDEF的距离等于点B到面CDEF的距离，
又∵△OED≌△OCD，
∴VA-OED=VB-OCD=VO-BCD，
∴这个羡除的体积为V2=VA-OED+VBCF-ADO=VO-BCD+3VO-BCD=4VO-BCD=4×13×12×2×2×2=823，
∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为V1V2=32π3823=22π.
故选：A.
8．（3分）（2023·辽宁·校联考模拟预测）在三棱锥A－BCD中，AB=BC=CD=DA=22，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），BE=2CF．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．πB．3πC．32πD．2π
【解题思路】作出图形，辅助线，找到球心位置，求出半径，设CF＝x，则BE=2x