安徽省示范高中皖北协作区2025届高三下学期3月第27届联考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获
得的金牌数依次为 15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这 11 届夏季奥运会中国代表队获得
的金牌数的第 40 百分位数为（ ）
A. 16 B. 26 C. 28 D. 32
2. 若集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 内含
4. 在正四棱柱 中， ， 分别为侧棱 上一点，则
最小值为（ ）
A. B. C. D. 14
5. 如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端 恰好可以围成一个正八边形，
设 ，则 （ ）
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A. -3 B. C. D.
6. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 同时抛掷三枚质地均匀 骰子，得到向上的点数分别为 ，则 是直角三角形的三个内角的
概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知两个非零向量 的夹角为 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若 为纯虚数，则复数 可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 与 奇偶性相同
B. 曲线 关于直线 对称
C. 的最小正周期是 最小正周期的 2 倍
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D. 上单调递减
11. 曲线的形状类似希腊字母“ ”，其方程为 .若点 在 曲线上，
，则（ ）
A. 当 第一象限时，
B. 当 在第四象限时，
C. 直线 与 曲线的所有交点的横坐标之和大于 6
D. 直线 与 曲线恰有 4 个公共点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的值域为____________.
13. 已知顶点为 的圆锥的外接球为球 为底面圆的一条直径， 是母线 的中点， 为底面圆的中
心， 为线段 的中点，若 是边长为 2 的正三角形，则球 的表面积为____________， 与该
圆锥底面所成角的正切值为____________.
14. 设 表示有限集合 中元素的个数，已知函数 ，若
，其中 为常数，且 ，则 的取值范围为____________.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：“ 在 上单调递增”是“ 在 上单调递增”的充要条件.
16. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 依次成等差数列，求 面积的最大值.
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17. 已知抛物线 的准线方程为 ，直线 与 交于 两点.
（1）求 的标准方程.
（2）若 ， 为坐标原点，证明： .
（3）若 为 的焦点，且 的周长为 ，求 的值.
18. 如图，在五面体 中，菱形 的边长为 ， ， .
（1）证明： 且 .
（2）求五面体 体积的最大值.
（3）当五面体 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19. 已知 是各项均为正数的数列，事件“ ”发生的概率为 ，事件“ ”发生的概率为
.
（1）若随机变量 的期望 不小于 ，求 的取值范围；
（2）已知 ，若 依次成等比数列的概率为 ，比较 与 的大小；
（3）若 （ 为大于 的常数，且 为偶数），证明在得到 的 次递推过程中，事件
“ ”发生的次数为奇数，并求 的最大值.