高考数学第二轮复习专题练习专题6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（重难点题型精讲）（教师版），共11页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理等内容，欢迎下载使用。

1．分类加法计数原理
(1)分类加法计数原理的概念
完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种
不同的方法，，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=+++种不同
的方法.
(2)分类加法计数原理的特点
分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事
情，我们可以用第一类有种方法，第二类有​​​​​​​种方法，，第n类有​​​​​​​​​​​​​​种方法，来表示分类加法计数
原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成
这件事.
(3)分类的原则
分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，
分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种
方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.
2．分步乘法计数原理
(1)分步乘法计数原理的概念
​​​​​​​完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件
事共有N=m×n种不同的方法.
概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，
做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理的特点
分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利
用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个
步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事.
(3)分步的原则
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才
能完成这件事；
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件
事就不可能完成；不能缺少步骤.
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各
个步骤既不能重复也不能遗漏.
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析
(1)联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.
(2)区别
分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区
别如下表：
(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
【题型1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析】
【方法点拨】
根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念，进行判断，即可得解.
【例1】（2022·高二课时练习）判断正误
（1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( 错误 )
（2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( 正确 )
【解题思路】利用分步乘法计数原理的定义，判断即可．
【解答过程】（1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤是不能完成这件事的，故错误；
（2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故正确.
【变式1-1】在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． 错 （判断对错）
【解题思路】利用分类加法计数原理的定义判断即可．
【解答过程】解：分类加法计数原理：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．
所以在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法不相同．
故答案为：错．
【变式1-2】（2022·高二课时练习）判断正误
（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( 正确 )
（2）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( 错误 )
【解题思路】利用分类加法计数原理的定义判断即可．
【解答过程】（1）在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事，故正确；
（2）在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，所以两类不同方案中的方法不可以相同，故错误.
【变式1-3】（2021•概率统计模拟）判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数 （1）（3） ．
（1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
（2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放，有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？
【解题思路】直接利用分类计数原理，即可得出结论．
【解答过程】解：分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．
（1）完成从书架上任取一本书，每取一本，都能完成这件事，故运用分类计数原理计数；
（2）从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，完成这件事需要3步，故运用分步计数原理计数；
（3）完成地到乙地，有3类办法，每一类中办法都能完成这件事，故运用分类计数原理计数．
故答案为：（1）（3）．
【题型2 分类加法计数原理的应用】
【方法点拨】
应用分类加法计数原理解题的一般思路：
一、分类：将完成一件事的方法分成若干类；
二、分步：求出每一类中的方法数；
三、结论：将每一类的方法数相加，得出结果.
【例2】（2022秋·辽宁葫芦岛·高二期中）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．40种B．20种C．15种D．11种
【解题思路】根据分类加法计数原理，即可得到答案.
【解答过程】根据分类加法计数原理，
不同的选法共有4+5+2=11种．
故选：D.
【变式2-1】（2022·高二课时练习）某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为（ ）
A．27B．24C．18D．16
【解题思路】根据题意，甲不可预约C医院，则甲可预约A，B两家医院，分若甲预约A医院，乙预约A医院；若甲预约A医院，乙预约B或C医院；③若甲预约B医院，乙预约A或C医院；若甲预约B医院，乙预约B医院，四种情况，即可求解.
【解答过程】由题意，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗，即甲不可预约C医院，则甲可预约A，B两家医院，
①若甲预约A医院，乙预约A医院，则丙可预约B，C医院，共2种情况；
②若甲预约A医院，乙预约B或C医院，则丙可预约A，B，C医院，共2×3＝6种情况；
③若甲预约B医院，乙预约A或C医院，则丙可预约A，B，C医院，共2×3＝6种情况；
④若甲预约B医院，乙预约B医院，则丙可预约A，C医院，共2种情况，
所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为2+6+6+2=16种．
故选：D．
【变式2-2】（2022·高二课时练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i