华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试卷（含解析）

这是一份华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，.
A．0.57B．0.75C．0.80D．0.84
4．已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（ ）

A．与相交B．与异面
C．D．
6．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ）
A．3B．4C．5D．7
7．已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递减
D．在上有6个零点
10．已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
11．19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示：
由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境，肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25
B．本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5
C．为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3且小于0.9，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27株
D．经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达24cm及以上的频率为0.8，若种植20000株此类作物，则作物存活16000株的概率最大
三、填空题
12．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则 .
13．已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 .
14．已知，则的最大公约数为 .
四、解答题
15．为了了解某地岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示：
(1)完善上述表格并依据小概率值的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？
(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3500的概率.
附：
16．已知数列的首项为，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足的的最小值；
(3)已知，记数列的前项和为，求证：.
17．已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.
(1)若在上为凹函数，求实数的取值范围；
(2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围.
18．已知椭圆过点，，过点的直线与交于，两点，其中.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，求的值；
(3)已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程.
19．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，.
(1)求三棱锥外接球的表面积.
(2)设为线段上的点.
（i）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（ii）平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
作物类别
数量
作物平均高度/
作物高度的方差
雄性作物
50
30
256
雌性作物
50
20
361
工资超过3500
工资不超过3500
合计
男性居民
200
180
女性居民
280
240
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案
1．B
【详解】由已知，，
则，
则子集的个数为个，
故选：B.
2．D
【详解】，
其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
3．C
【详解】，
，
故所求概率，
故选：C.
4．B
【详解】由正弦定理得，，
解得，故，
则，
故所求外接圆的面积为，
故选：B.
5．C
【详解】AB选项，连接，则，平面，平面，
由于与相交，故与异面，故AB错误；
C选项，的面积为，为等边三角形，
设的边长为，则，解得，
因为分别为的中点，所以⊥，
又在平面上的投影为点，故⊥平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
又，故，
则，
，
所以，C正确；

D选项，，，
，
故
故所成角的余弦值为，故D错误.
故选：C.
6．D
【详解】，
而，故最后一位数为7，
故选：D.
7．D
【详解】由题意知，点是在以线段为直径的球与平面形成的交线上，

如图，取的中点，的中点，设BP的中点为，
连接，则，，
过点作，垂足为N，
由于，
又根据正三棱柱可知，平面，
所以平面，则平面，
则，
而，
，，，
故点在以为圆心，为半径的圆上，
故的最小值为，
故选：D.
8．B
【详解】设，依题意可设，
所以，则，
故，
化简得,
又，
所以，
因为，点在双曲线上，且，
所以在双曲线的右支上，
所以，
则，解得，
所以的坐标为，
代入双曲线方程中，得，解得，
故所求渐近线的方程为.
故选：B.
9．AD
依题意得，，则，故A正确；
由图可知对称轴为，则，
又，则，故，故B错误；
延长的图象如图所示，观察可知，在上先减后增，故C错误；
在上有6个零点，故D正确.
故选：AD.
10．BCD
【详解】A选项，令，则，满足为偶函数，
但的图象如下，不关于直线对称，A错误；
BD选项，为偶函数，故为奇函数，
即，即，
故，故点为曲线的对称中心，
故，则，故B，D正确；
C选项，由题意得，令，则，
由于曲线的对称中心为，结合三次函数的图象特征可知，
，则，又，故，故C正确.
故选：BCD.
11．ACD
【详解】所有作物的高度的平均值为，故A正确；
所有作物的高度的方差为，故B错误；
设作物高度达到预定达标高度的数量为，依题意知，则，
若，则，
由切比雪夫不等式可得，又，
解得，即最少种植27株，故C正确；
设存活株的概率最大，，则，
，
，
则，
解得，，
解得.又，所以当时，最大，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】依题意得，，解得，
故，
故答案为：.
13．
【详解】如图所示：
因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，
所以,
，
所以.
又因为，
则.
故答案为：
14．3333
用表示正整数的最大公约数，
则，
而，故，
则的最大公约数为3333.
15．(1)表格见解析，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性
(2).
【详解】（1）完善表格如下表所示：
零假设：依据小概率值的独立性检验，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性，
则，
故依据小概率值的独立性检验，假设成立，
即不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性.
（2）由题意知：工资超过3500的概率为.
记至少2人工资超过3500为事件，
所以.
16．(1)
(2)最小值为
(3)证明见解析
【详解】（1）由已知，
则，
即，则，，，，
等式左右分别相加可得，
则；
（2）由（1）得，且，
即，
化简可得，
又，即，
所以满足的的最小值为；
（3）依题意得，，
则，
又，所以，
所以，
即.
17．(1)
(2)
【详解】（1），
则，
依题意知，对任意的恒成立，则恒成立，
令，
则，
故在上单调递增，故，
则实数的取值范围为；
（2）依题意得，，
若，当时，，
所以在上无零点，舍去；
若，则，令，
则，则在上单调递减，且，
①若，即，此时，
则存在，使得，即，
故在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，
令，解得，
因为，且，
所以存在唯一的，使得，满足条件；
②若，即，此时在上单调递减，
又，所以，不合题意，舍去，
综上所述，实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知椭圆过点，，
则，解得，
即椭圆方程为；
（2）依题意得，直线的方程为，
联立，整理得，，
故，，
故；
（3）因为四边形为等腰梯形，则必有，即，

不妨设点的坐标为，的中点为，则必有，
要求直线的斜率，只需要转化为求点的坐标，则有.
而，则直线的方程为，
令，则有，
不妨设直线的方程为，
则有，即，
联立方程，消去得，
则有，，则有，
则有，所以，
所以，
所以，故所求直线的方程为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）存在，的值为或
【详解】（1）如图所示，
因为，，，
故，即，
则，
故为直角三角形，即，
又，，且，平面，
则平面，
又因为平面，所以平面平面，
设中点为，则的外接圆圆心满足，
过的外接圆圆心作直线垂直于平面，
过线段的中点作直线垂直于平面，其中，
则即为三棱锥的外接球球心，
且四边形为矩形，
即，
故，
故三棱锥外接球的表面积；
（2）（i）以的中点为原点，为轴，平行方向为轴，为轴，
建立如图1所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
而，故，
，.
设为平面的法向量，
则，则，
令，则为平面的一个法向量.
而，
故直线与平面所成角的正弦值；
（ii）由（i）可知，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
如图2，建立空间直角坐标系，记直线平面，直线平面，连接，
因为平面，平面平面，所以，
不妨设，则，，
则，故，
同理可得，，
则有，，
设平面的法向量为，
则，
解得，设，则，
故，
所以，
又与平面之间所成角的正切值为，
则，
化简得，解得或，
设，则，则，
解得，
故.
当时，.
因为，所以，
化简得，解得，满足要求.
当时，.
因为，所以，
化简得，解得，满足要求.
综上所述，的值为或.
工资超过3500
工资不超过3500
合计
男性居民
200
180
380
女性居民
280
240
520
合计
480
420
900