江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第5周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第5周阶段性训练模拟练习【含答案】，共26页。试卷主要包含了在复平面内，复数z＝，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1．已知点F1，F2是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．π
3．在复平面内，复数z＝（sinα﹣2sinβ）+（csα﹣2csβ）i（i为虚数单位）与点对应，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
4．已知一几何体上半部分为圆台PO，下半部分为圆锥SO，其中圆锥SO底面的半径为r，高为h．圆台PO的两底面的半径分别r和，高为2h．该几何体内接于表面积为100π的球，则圆台PO的体积为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为9π，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．9πB．15πC．D．
6．如图，将边长为1的正五边形ABCDE的各边延长，得到一个正五角星．若点P、Q在正五角星的内部（含边界），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线C：y2＝4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α＝45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．32
二．多选题（共4小题）
（多选）8．设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有（ ）
A．|z1|+|z2|＝|z1+z2|
B．
C．若|z1|＝|z2|，则
D．若，则z1为纯虚数
（多选）9．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝2，P为CC1的中点，点Q满足（λ∈[0，1]，μ∈[0，1]），则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则四面体A1BPQ的体积为定值
B．若△A1BQ的外心为O，则为定值2
C．若，则点Q的轨迹长度为
D．若λ＝1且，则存在点E∈A1B，使得AE+EQ的最小值为
（多选）10．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，下列选项中正确的是（ ）
A．直线EF与A1B所成的角为
B．平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为
C．若点P满足，其中θ∈R，则三棱锥D﹣A1C1P的体积为定值
D．以B1为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥B1﹣ABC表面相交的交线长为3π
（多选）11．如图所示，已知正三棱锥A﹣BCD底面边长为m，侧棱长为n，E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC的中点，连接EF，FG，GH，HE，CE，CF，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形EFGH为矩形
B．向量，不共面
C．点P在△ABC内，点P到点A距离与到底面BCD距离相等，则点P的轨迹是椭圆的一部分
D．若侧棱长n＝m，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为
三．填空题（共2小题）
12．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥P﹣ACE和四棱锥P﹣ABCD的体积分别为V1和V2，则的值为 ．
13．已知在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面ABCD内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，则MN+ND的最小值为 ．
四．解答题（共7小题）
14．如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E是棱AA1的中点，AB1⊥CE．
（1）求证：平面A1ABB1⊥平面ABC；
（2）若，点P满足，求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值．
15．如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，．
（1）求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（2）若CD＝2，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．
16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AA1＝AD＝2BC＝2，．点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F．
（1）求证：BD⊥C1F；
（2）若BE与平面ABCD所成角的正弦值是，求三角形C1EF的面积．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AC⊥BC，PH⊥平面ABC，H为垂足，D为AC的中点．
（1）证明：DH∥平面PBC；
（2）若AC＝2，∠PAH＝∠CAH＝45°，求二面角P﹣BC﹣A的正弦值．
18．梯形ABCD中，AD∥BC，E为AD上的一点且有BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC＝ED，将△ABE沿BE翻折到△PEB使得二面角P﹣BE﹣C的平面角为θ，连接PC，PD，F为棱PD的中点．
（1）求证：FC∥面PBE；
（2）当θ＝，PD＝时，求直线PC与平面BCF所成角的正弦值．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，平面AA1C1C⊥平面ABC．
（1）证明：AA1⊥平面ABC；
（2）已知AA1＝3，AB＝2，AC＝1，BC＝，求直线A1B与AC1所成角的正弦值．
20．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，BC＝CD＝，∠DCB＝90°，∠DAB＝45°，E，F分别为AD，AB的中点．
（1）求证：AD⊥BD；
（2）求证：平面BDC1∥平面EFD1；
（3）若CC1＝2，P是线段D1F上的动点，求直线A1P与平面BDC1所成角的正弦值的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：不妨设椭圆的方程为：，P（x0，y0），Q（x，y），
则有F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以，
因为，
所以
＝（3x0﹣11x﹣2c，3y0﹣11y）＝（0，0），
所以，
所以△PF1F2的内切圆的半径为，由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
所以．
故选：D．
2．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，
则，解得csθ＝，解得．
故选：B．
3．【解答】解：由题意，，
两式平方相加，可得1﹣4（csαcsβ+sinαsinβ）+4＝4，
即cs（α﹣β）＝．
故选：C．
4．【解答】解：设该几何体的外接球的半径为R，
则该球的表面积为4πR2＝100π，所以R＝5，
设该几何体的外接球的球心到圆O平面的距离为t，
则根据题意可得，
解得h＝3，t＝2，r＝，所以，2h＝6，
所以圆台PO的体积为＝．
故选：D．
5．【解答】解：由球的表面积公式S＝4πR2＝9π，
解得R＝，
即圆锥内的最大球的直径为，
圆锥轴截面如图，则AD＝BD＝3，，
因为∠COE+∠DOE＝∠CAB+∠DOE＝π，
所以∠COE＝∠CAB，设∠COE＝∠CAB＝2α，
则，，
则cs2α＝cs2α﹣sin2α＝＝＝，
在△COE中，OC＝＝＝，
所以CD＝CO+OD＝4，所以，
所以圆锥的侧面积为π×3×5＝15π．
故选：B．
6．【解答】解：，当与方向相反，此时最小，且，
由于P，Q在正五角星的内部（含边界），所以P、Q分别是与A、B共线的五角星的顶点M、N，如图所示：
此时最小，故此时P点在图中的M点处，由于与方向相反，且要最大，故Q在图中N处．
取AE的中点为F，正五角星在AB上的两个顶点分别为M，N，
因为cs54°＝sin36°，所以4cs318°﹣3cs18°＝2sin18°cs18°，
所以4sin218°+2sin18°﹣1＝0，解得sin18°＝，
所以AN＝＝＝，
所以AM＝AB+BM＝1+＝，
所以＝﹣AN•AM＝＝．
故选：B．
7．【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x，
则F（1，0），
又直线AC的倾斜角α＝45°，
则直线AC的方程为y＝x﹣1，
联立，
得x2﹣6x+1＝0，
解得，
结合图可取，，
故，，
根据抛物线的对称性结合AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，
可知，
故，
故结合抛物线对称性可得“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为2×4＝8．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
8．【解答】解：对于A：对于z1＝1+i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝2，故A错误；
对于B，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，则，，
所以＝，故B正确；
对于C：对于z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然，故C错误；
对于D，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，
，
则，可得，即z1为纯虚数，故D正确．
故选：BD．
9．【解答】解：对于A选项，取DD1，DC的三等分点分别为M，N，如图所示，
因为，所以3λ+3μ＝1，
令，，则，所以Q∈MN．
因为MN∥CD1，CD1∥A1B，所以MN∥A1B，
所以△A1BQ的面积为定值，点P到平面A1BQ的距离也是定值，故A选项正确．
对于B选项，如图，
若△A1BQ的外心为O，过点O作OH⊥A1B于点H，则H是A1B的中点．
因为，
所以，故B选项错误．
对于C选项，如图，
在平面A1B1C1D1中作A1K⊥C1D1，
显然A1K⊥平面CC1D1D，由长度和角度，可得．
在Rt△A1KQ中，，
所以，则点Q在以K为圆心，为半径的圆上运动．
设此圆与D1D交于点A3，因为且KD1＝1，
所以，则点Q的轨迹长度是．故C选项正确．
对于D选项，若λ＝1且，则点Q与点P重合．
把△A1AB沿着A1B进行翻折，使得A1，A，B，P四点共面，
此时AE+EQ有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）．
在△A1PB中，，，，
所以，所以，从而，
在△APB中，由余弦定理得：
，故D选项正确．
故选：ACD．
10．【解答】解：作出图形如下：
对A选项，根据题意易知EF∥BC1，且三角形A1C1B为正三角形，
所以直线EF与A1B所成的角为，所以A选项错误；
对B选项，易知EF∥BC1∥AD1，所以平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形AEFD1，
又易知AD1＝2EF＝，D1F＝AE＝，
所以平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：
＝，所以B选项正确；
对C选项，因为点P满足，
又cs2θ+sin2θ＝1，cs2θ≥0，sin2θ≥0，
所以根据向量共线定理可得P在线段B1C上，
又易知B1C∥A1D，又B1C⊄平面A1DC1，A1D⊂平面A1DC1，
所以B1C∥平面A1DC1，
所以P到平面A1DC1的距离为定值，又三角形A1DC1的面积也为定值，
所以三棱锥D﹣A1C1P的体积为定值，所以C选项正确；
对D选项，如图，分别作出以B1为球心，4为半径的球与三棱锥B1﹣ABC三个表面的交线，
易得图中GB＝＝2，B1B＝，所以∠GB1B＝，所以HB1G＝＝，
所以的长度为＝，由对称性可知该球在侧面B1BC内所截得的圆弧长等于的长度，
又易知侧面ACB1为边长为的正三角形，所以该球在侧面ACB1内所截得的圆弧长为＝，
在底面三角形ABC内，易知K点即为G点，所以BK＝BL＝BG＝2，
所以该球在底面三角形ABC内所截得的圆弧长为＝π，
所以以B1为球心，4为半径的球面与三棱锥B1﹣ABC表面相交的交线长为＝3π，所以D选项正确．
故选：BCD．
11．【解答】解：对于A，∵E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC的中点，
根据中位线定理得EF∥BD，，HG∥BD，，
∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，
取BD中点O，连接OC，OA，
∵正三棱锥A﹣BCD，AB＝AD，得BD⊥OA，
BC＝DC得BD⊥OC，OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面OAC，
∴BD⊥平面OAC，AC⊂平面OAC，∴BD⊥AC，
又∵EH∥AC，HG∥BD，∴EH⊥HG，四边形EFGH为矩形，A正确；
对于B，四边形EFGH为矩形，，
向量可以由向量，线性表示，向量，，共面，B错误；
对于C，点P在△ABC内，过点P作PM⊥底面BCD，BC⊂底面BCD，则PM⊥BC，
过点P作PN⊥BC，连接MN，
∵PM∩PN＝P，PM，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，
MN⊂平面PMN，∴BC⊥MN，
∴∠PNM为二面角A﹣BC﹣D的平面角θ，
当m，n确定时，二面角A﹣BC﹣D的平面角θ是定值，，
∵点P到点A距离与到底面BCD距离PM相等，
∴定值，且0＜sinθ＜1，
根据椭圆第二定义，到定点A和到定直线BC的距离比为定值sinθ∈（0，1）的点的轨迹为椭圆，故C正确；
对于D，若侧棱长n＝m，正三棱锥A﹣BCD为正四面体，设m＝2，
以BC中点H为坐标原点，HC，HD，Hz所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则C（1，0，0），，B（﹣1.0，0），，E，F，
，
设平面CEF的法向量，，，
则，即，取，则，
∴平面CEF的法向量，
设直线AC与平面CEF所成的角为α，
∴，D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共2小题）
12．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E满足，
设三棱锥P﹣ACE和四棱锥P﹣ABCD的体积分别为V1和V2，
设点C到平面PAD的距离为h，
∵，∴，
∴，其中三棱锥P﹣ACE的体积为V1，
则VC﹣EAD＝2V1，VP﹣ACD＝VC﹣PAE+VC﹣EAD＝V1+2V1＝3V1，
∵VP﹣ABCD＝2VP﹣ACD，∴V2＝6V1，则．
故答案为：．
13．【解答】解：如图（一），因为，，
又tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，所以MB＝2MA，
如图（二），建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），D（0，3），设点M（x，y），
根据MB＝2MA，所以，化简得：（x+1）2+y2＝4（x≥0，y≥0），
该方程表示圆心为P（﹣1，0），r＝2的圆的一部分，又点D（0，3）关于BC的对称点D′（6，3），
所以．
故答案为：．
四．解答题（共7小题）
14．【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，A1B，OC，
因为E为AA1中点，O为AB中点，所以EO∥A1B，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则四边形ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，
则AB1⊥EO，又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE⊂平面EOC，
所以AB1⊥平面EOC，又因为OC⊂平面EOC，
所以OC⊥AB1，
因为△ABC是等边三角形，O为AB中点，所以OC⊥AB．
又因为OC⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1⊂平面A1ABB1，
所以OC⊥平面A1ABB1，又因为OC⊂面ABC，
所以平面A1ABB1⊥平面ABC．
（2）连接A1O．
因为，AB＝AA1，所以△A1AB是等边三角形，所以A1O⊥AB，
又平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，A1O⊂平面A1ABB1，
所以A1O⊥平面ABC，由OC，OB⊂平面ABC，
得A1O⊥OC，A1O⊥OB，又OC⊥AB，
如图，以O为原点，OC、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则O（0，0，0），，B（0，1，0），，．
设C1（x，y，z），又，
即，
得，
所以，，，
则，
易知平面A1ABB1的一个法向量，
所以，
设直线CP与平面A1ABB1所成角为θ，
则．
15．【解答】解：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，
∴AC1⊥A1C，
∵AA1⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，
∴AA1⊥CD，又AD＝2CD，，
∴CD2+AC2＝AD2，CD⊥AC，
∵AC∩AA1＝A，CD⊥平面ACC1A1，
∵AC1⊂平面ACC1A1，
∴CD⊥AC1，又AC1⊥A1C，且CD∩A1C＝C，
∴AC1⊥平面A1B1CD；
（2）∵CD＝2，
∴AD＝4，，
∴三棱锥C1﹣A1CD的体积为：
＝．
16．【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AA1＝AD＝2BC＝2，，
点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F．
在直四棱柱中ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，连接AC，
∵tan∠ADB＝＝，，
∴∠ADB＝∠CAB，又∠ADB+∠DBA＝90°，
∴∠CAB+∠DBA＝90°，∴AC⊥BD，
∵AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵C1F⊂平面ACC1A1，∴BD⊥C1F．
（2）以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），，，，
设E（x，0，2），x＞0，
平面ABCD的法向量为，
∵BE与平面ABCD所成角的正弦值是，
∴＝|cs＜＞|＝＝，解得，
则，，，
设F（0，0，z），，
∵C1，B，E，F四点共面，
则，∴（﹣1，﹣，z﹣2）＝m（）+n（﹣，﹣，0），
∴，解得，，z＝1，
∴F（0，0，1），∴F为棱AA1的中点．
∴，
∴cs＜＞＝＝＝，
∴sin＜＞＝＝，
∴三角形C1EF的面积为：
S＝||×||×sin＜＞＝．
17．【解答】（1）证明：连接PD，
因为PA＝PC，D为AC的中点，所以AC⊥PD，
又因为PH⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以PH⊥AC，
又因为PD，PH⊂平面PHD，PD∩PH＝P，
所以AC⊥平面PHD，又DH⊂平面PHD，
所以AC⊥DH，因为AC⊥BC，且HD，BC⊂平面ABC，
所以DH∥BC，因为BC⊂平面PBC，DH⊄平面PBC，
所以DH∥平面PBC；
（2）解：如图，过点H作HQ⊥BC于点Q，连接PQ，
因为PH⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PH⊥BC，
又HQ⊥BC，HQ∩PH＝H，HQ，PH⊂平面PHQ，
所以BC⊥平面PHQ，又PQ⊂平面PHQ，
所以PQ⊥BC，所以∠PQH为二面角P﹣BC﹣A的平面角，
因为AC＝2，∠PAH＝∠CAH＝45°，
所以，HQ＝DC＝1，
所以，所以，
所以二面角P﹣BC﹣A的正弦值为．
18．【解答】解：（1）证明：取PE中点G，连接GB，GF，
因为BC∥ED，，
在△PED中，GF∥ED，，
所以GF∥BC，GF＝BC，
所以四边形BCFG为平行四边形，
所以FC∥GB，
又因为FC⊄平面PBE，GB⊂平面PBE，
所以FC∥平面PBE；
（2）BE⊥AD，则BE⊥PE且BE⊥ED，
所以BE⊥平面PDE，又BE⊂平面BCDE，
平面PDE⊥平面BCDE，
在平面PDE内，过点E作EQ⊥ED交PD于点Q，
因为平面PDE∩平面BCDE＝DE，
所以EQ⊥平面BCDE，
以{，，}为正交基底建立如图坐标系，
，D（0，2，0），，B（1，0，0），C（1，1，0），
，，，
设为平面BCF的法向量，
则，
则，
所以．
19．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，取点P并作PG⊥AB，PH⊥AC，G，H为垂足，
∵PG⊥AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，
PG⊂平面ABC，
∴PG⊥平面ABB1A1，
∵AA1⊂平面ABB1A1，∴PG⊥AA1，
∵PG∩PH＝P，且PG，PH⊂平面ABC，
∴AA1⊥平面ABC；
（2）AA1＝3，AB＝2，AC＝1，BC＝，
∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，
由（1）知AA1⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴AB⊥AA1，AC⊥AA1，
以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
依题意A（0，0，0），B（2，0，0），A1（0，0，3），C1（0，1，3），
则＝（2，0，﹣3），＝（0，1，3），
设直线A1B与AC1所成角为θ，
则csθ＝＝＝，
∴sinθ＝＝，
∴直线A1B与AC1所成角的正弦值为．
20．【解答】解：（1）证明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，BC＝CD＝，
∠DCB＝90°，∠DAB＝45°，E，F分别为AD，AB的中点，
∵DC＝BC＝，∠DCB＝90°，
∴BD＝＝2，又AD＝2，∴BD＝AD＝2，
又∠DAB＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD．
（2）证明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
∵AD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴DD1⊥AD，DD1⊥BD，
∴DA，DB，DD1两两垂直，
以点D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设DD1＝h（h＞0），
则D（0，0，0），B（0，2，0），C1（﹣1，1，h），E（1，0，0），F（1，1，0），D1（0，0，h）．
∴＝（0，2，0），＝（﹣1，1，h），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，h），
设为平面BDC1的法向量，
则，令x1＝h，得＝（h，0，1），
设平面EFD1的法向量，
则，取x＝h，得＝（h，0，1），
∵∥，平面BDC1与平面EFD1不重合，
∴平面BDC1∥平面EFD1．
（3）CC1＝2，P是线段D1F上的动点，
当CC1＝2时，为平面BDC1的法向量，
D1（0，0，2），则＝（﹣1，﹣1，2），
设＝＝λ（﹣1，﹣1，2）＝（﹣λ，﹣λ，2λ），（λ∈[0，1]），
∴P（1﹣λ，1﹣λ，2λ），∵A1（2，0，2），∴＝（﹣1﹣λ，1﹣λ，2λ﹣2），
设直线A1P与平面BDC1所成角为θ，
sinθ＝|cs＜＞|＝＝
＝＝≤＝，
当且仅当时，等号成立，
∴若CC1＝2，P是线段D1F上的动点，则直线A1P与平面BDC1所成角的正弦值的最大值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
B
C
D
B
B
B