上海市闵行区2024届高三数学下学期二模试题

这是一份上海市闵行区2024届高三数学下学期二模试题，共8页。试卷主要包含了本试卷共21题，答题纸共2页，[解],,……………4分，[解]连接,等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷共21题，答题纸共2页．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．
2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．
3．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1.集合，，则________.
2.复数满足（为虚数单位），则_________.
3.始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.
4.在的二项展开式中，项的系数为_________.
5.正实数满足，则的最大值为_________.
6.等比数列的前项和为，若，，则_________.
7.现有个工程队承建某工程的个不同项目，每个工程队承建一个项目，其中甲工程队不能承建项目，则不同的承建方案有_________种.（用数字作答）
8. 函数在处的切线方程为_________.
9.已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为_________.
10.双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.
11.对于任意的,且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.
12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如,空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.设，则“”是“”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14.已知，为奇函数，当时，，
则集合可表示为（ ）
（A）（B）
（C）（D）
15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.
通过计算统计量，得，根据分布概率表:
,,
,.
给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ）
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；
②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.
（A）个 （B）个 （C）个 （D）个
16.已知，集合，，
.
关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.
（A）①真命题；②假命题 （B）①假命题；②真命题
（C）①真命题；②真命题（D）①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在锐角中，角所对边的边长分别为，且.
（1）求角；
（2）求的取值范围.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知为等腰梯形,,,平面,.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知定义在上的函数的表达式为,其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；
（3）求证：.
参考答案与评分标准
一. 填空题1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．；7．；8．；9．； 10．； 11．；12．20.
二. 选择题13．B； 14．D； 15．D； 16．A．
三. 解答题
17．[解]（1）,,……………4分
又,,. ………………………………6分
（2）为锐角三角形，,
则，…10分
. ………………………………14分
18．[解]（1）连接,
为等腰梯形，,,
；
，，………………2分
平面,
所以由三垂线定理得.……………………6分
（2）取的中点，连接，则，
因为，所以,
所以为二面角的平面角，…………………8分
因为，，
所以平面,所以……………………10分
在中，,,所以，
所以二面角的大小为.……………………14分
19．[解]（1）设小张答对的题数为，则. ………4分
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，
则，………………………………6分
………………………………8分
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，
且，，………………………………10分
设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，
，，……………………12分
，
. ……………………14分
20．[解]（1）抛物线的焦点为，故. ……………………4分
（2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，
联立可得，
恒成立，则, ……………………………6分
. ……………………10分
（3）设直线、的斜率分别为、，其中，，
联立可得，解得，………………12分
点在第三象限，则，
点在第四象限，同理可得，……………………………14分
且
……………………………16分
，当且仅当时，等号成立. …………18分
21．[解]（1）由，………………2分
当时，，即函数在区间上是严格增函数，
且，，
所以在区间上的值域为. ……………………………4分
（2）当时，
①当是偶数时，，
函数在区间上是严格增函数；…………………6分
②当是奇数时，，
函数在区间上是严格减函数；…………………8分
且，故，
所以由零点存在定理可知，
函数在区间上有且仅有一个零点. …………………10分
（3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点，
且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） …………………………12分
又因为，故，
所以由零点存在性定理可知，
函数在上有且仅有一个零点，
于是，
…………14分
①因为，得
所以，即；
（或者
） …………………………16分
② 因为
由（1）可知，当时，有
故，所以；
由①②可知. ………………………………18分
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
121
162
283
患慢性气管炎者
13
43
56
总计
134
205
339