黑龙江省佳木斯市2023_2024学年高一数学下学期4月期中试题

这是一份黑龙江省佳木斯市2023_2024学年高一数学下学期4月期中试题，共4页。试卷主要包含了已知复数为纯虚数，则的值是，已知向量，向量，若，则实数，已知，，，且，则实数，下面说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1．已知复数为纯虚数，则的值是（）
A. 1B. -1C. 2D. -2
2．已知向量，向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）．
A．B．C．D．
5．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（ ）
A.B. C. D.
7. 在边长为6的正方形ABCD中，点E为DC的中点，点F在边BC上且，则（）
A. 18B. 24C. 30D. 42
8. 托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（）
A. 16B.C. 12D.
选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分).
9．下面说法正确的是（ ）
A．多面体至少有四个面
B．棱柱所有的面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形
D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
10. 设，为复数，则下列结论中正确的是（）
A.若
B.若，则
C. 若，则的最大值为
D.
11．对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B.若，则为钝角三角形
C．若，则解的个数为0
D．若，则的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．正三棱柱所有棱长都为1，则其表面积为．
13. 已知为单位向量，当向量的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为________．
14. 已知正方体的棱长为2，则它的外接球的表面积为.体积为．
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤）.
15．（13分）已知复数，，为虚数单位．
（1）求
（2）若，求的共轭复数；
（3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16．（15分）已知：，，向量与的夹角为．
(1)求；
(2)求；
(3)求与的夹角的余弦值.
（15分）记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为锐角，且有
.
（1）求A；
（2）设为边上的中线，若，，请选择以下思路之一求出的长.
思路①：利用……
思路②：利用……
思路③：利用……
思路④：其它方法……
18．（17分）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点，之间的距离．
19（17分）在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设，
(1)试用，表示；
(2)若，求∠ARB的余弦值.
(3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
2023-2024学年度下学期三校联考高一期中测试卷
数学试题答案
单选题：1--8：CBDB AACD
多选题 9、AC 10、ABD 11、ABC
填空题：12、【答案】 13、【答案】 14、【答案】
解答题：
15、解：（1） …… …… ……3分
（2），，
， …… …… ……6分
． …… …… ……8分
（2）在复平面上对应的点在第四象限，
， …… …… ……11分
解得，
故实数的取值范围为． …… …… ……13分
16、解：（1）由已知得
…… …… ……5分
（2） …… …… ……10分
（3） …… …… ……15分
17、【答案】（1）；（2）条件选择见解析；.
解：（1）由正弦定理，得，
又，所以，
又为锐角，所以. …… …… ……7分
（2）在中，由余弦定理得，
所以；
若选择思路①
由，
得，解得；
若选择思路②
由得到，
即；
若选择思路③
，得.
若选择思路④，比照上述标准给分.
.…… …… ……15分
18、解：（1）在中，，，所以，
由正弦定理：，得，. …… …… ……2分
所以， …… …… ……6分
， …… …… ……8分
所以的面积为． ……11分
（2）由，，得．
在中由余弦定理，得
， …… …15分
所以．即点，之间的距离为. …… …… …… 17分
19、【答案】(1)
(2)
(3)
解：（1）因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则 …… …… …… 5分
（2）由（1），，，
则，，.
则； .…… …… …… 11分
（3）由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则 …… …… …… 17分