2024-2025学年安徽省合肥市高二下册3月联考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市高二下册3月联考数学质量检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【正确答案】B
【分析】根据导数定义结合导数运算律计算求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：B．
2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B. 10C. 19D. 38
【正确答案】C
【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解.
【详解】因为数列是等差数列，
所以．
故选：C．
3. 下列求导的运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据导数的运算法则，逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：C
4. 已知单调递减的等比数列满足，则（ ）
A. B. C. 512D. 1024
【正确答案】A
【分析】应用等比数列基本量运算求解.
【详解】在等比数列中，，所以，又，解得，
设的公比为q，则，解得，
因为单调递减，所以．
故选：A
5. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
过点F作，交直线m于点E，
由抛物线的定义可知，，
所以当P在线段上时，取得最小值，．
故选：B.
6. 在平面直角坐标系中，，点P满足，则面积的最大值是（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设点，因为可得点P的轨迹是以为圆，以为半径的圆，进而求出点P到直线的最大距离即可求得面积的最大值.
【详解】设点，因为，所以，
整理得，
所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以点P到直线的最大距离，
所以面积的最大值为．
故选：C.
7. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，所以在上单调递减，
因，所以不等式可变为，即，
所以，即，所以不等式的解集为．
故选：D．
8. 郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（ ）
A. B. 5C. D.
【正确答案】D
【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出.
【详解】因，
所以
，
所以．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线C表示椭圆
B. 当时，曲线C表示双曲线
C. 曲线C可能表示两条直线
D. 曲线C不可能表示抛物线
【正确答案】BD
【分析】根据椭圆、双曲线的标准方程，结合直线、抛物线方程，可得答案.
【详解】若曲线C表示椭圆，则，解得，故A错误；
若曲线C表示双曲线，则，解得，故B正确；
曲线C不可能表示两条直线，故C错误；
无论m取何值，曲线C都不可能表示抛物线，故D正确．
故选：BD．
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象在的切线的斜率为0
B. 函数在上单调递减
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极大值
【正确答案】AD
【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可.
【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误；
由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误；
由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减，
故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．
故选：AD.
11. 将个数排成行列的一个数阵，如：
…
…
…
… … … … …
…
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】根据结合，求得，根据等差数列、等比数列通项公式求得，，根据等比数列、等差数列求和公式得到.
【详解】因为，所以，解得（舍去），故A正确；
，，故B错误；
，，故C正确；
，
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的图象在处的切线方程是____________．
【正确答案】
【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】由已知，得，所以，
所以所求切线方程为，即.
故答案为.
13. 已知数列的前n项和为，若，则____________．
【正确答案】2500
【分析】先化简已知条件得出数列是常数列，再计算求出通项公式，最后应用等差数列求和公式计算.
【详解】因为，
所以，所以数列是常数列，
因为，所以，
所以.
故2500.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支和左支分别交于点A，B，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线C的离心率为____________．
【正确答案】
【分析】根据余弦定理，面积公式及二倍角正弦公式计算得出，再结合双曲线定义设，计算求出离心率即可.
【详解】因为，所以，
即，
因为，
所以，所以，即，
设，由的面积是面积的2倍，得，则，
在中，，所以，解得，
所以，
因为，所以，得，即，
所以双曲线C的离心率为．
故答案为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N．
（1）求a的值及直线l的方程；
（2）若是等腰直角三角形，求直线的方程．
【正确答案】（1），
（2）或
【分析】（1）问通过公切线的条数判断圆与圆的位置关系；
（2）问通过直线的垂直关系求直线的方程．
【小问1详解】
可化为，圆心，半径，
可化为，圆心，半径．
因为与只有一条公切线，所以两圆内切，，即，解得．
两圆相减，得公切线l的方程为，即．
【小问2详解】
由题意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，
由（1）可知直线的斜率，所以直线的斜率．
设直线的方程为，
所以点到直线的距离，解得或．
所以直线的方程为或．
16. 已知数列满足．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【正确答案】（1）证明见解析，
（2）
【分析】（1）通过等比数列的概念证明等比数列，并求通项公式；
（2）运用分组求和法与错位相减法求和．
【小问1详解】
证明：因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
【小问2详解】
解：因为，
所以．
其中．
令，
，
两式相减，得．
所以，
所以．
17. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：对且，都有．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性；
（2）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可．
【小问1详解】
因为，定义域为，
所以．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
不妨设，则，要证对，都有，
只需证，即需证．
构造函数，则要证，需证函数在上为增函数，
因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有．
18. 已知椭圆C中心为坐标原点，对称轴为x轴与y轴，且C经过点．
（1）求C标准方程；
（2）若F是C的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点．求四边形面积的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）运用点在椭圆上求椭圆的方程；（2）通过直线与椭圆方程的联立，用设而不求法求弦长，通过构造新函数求四边形面积的取值范围．
【小问1详解】
设C的方程为，
将点代入，得解得
所以C的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）可知，，
当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，，
当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，，
所以四边形的面积．
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
联立得，
由题意得．
所以，
同理，
四边形的面积．
令，则，
所以当，即时，，所以．
综上所述，四边形面积的取值范围．
19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面．
（1）若点，求平面的方程；
（2）求证：是平面的一个法向量；
（3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程；
（2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离；
（3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值．
【小问1详解】
，
设是平面的一个法向量，
则令，得，所以．
设点是平面内任意一点，由，得，
所以平面的方程为．
【小问2详解】
记平面的方程为，
在平面上任取一条直线，直线上任取两点，
则有
因为，
所以．
所以，即垂直于平面上任意一条直线，
所以是平面的一个法向量．
【小问3详解】
，
设为平面的一个法向量，则令，得，
所以．
因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为，
设直线的一个方向向量为，则
令，得，所以．
因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，
所以，解得，所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为．