与圆有关的计算常考题型（5大热考题型）（原卷版）-中考数学二轮专题练习

这是一份与圆有关的计算常考题型（5大热考题型）（原卷版）-中考数学二轮专题练习，共20页。
题型一：正多边形和圆
【中考母题学方法】
【典例1】（山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【典例2】（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
【变式1-1】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，AD和相交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-3】（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．
【变式1-4】（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（ ）
A．B．5C．D．19
3．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．

二、与弧长有关的运算
题型二：与弧长有关的运算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）．
【典例2】（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留）
【变式2-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
【变式2-2】（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
【变式2-3】（2024·山东济宁·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别是．
(1)将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；
(2)将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．
【变式2-4】（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，若，，求的长．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，用一个半径为的滑轮将物体G向上拉升，若物体G的上升速度为，上升的时间为，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段在这段时间内扫过的面积（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
4．（2024·四川眉山·二模）个半径均为的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知一弧长为，此弧所对圆心角为，则此弧所在圆的半径为 ．
6．（2024·浙江温州·三模）在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为 ．
7．（2024·山东济南·一模）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留）
8．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正三角形正中心的点A经过的路径长度为 ．
9．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD．
(1)求证：．
(2)若，，求的长度．
题型三：与扇形面积有关的计算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为 ．
【典例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接AD，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．

A．B．C．D．
【变式3-2】（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南·模拟预测）已知扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 度．
2．（2024·北京·三模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ．
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ．
4．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示）
5．（2024·甘肃·模拟预测）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点，．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 ．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示）
7．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ．
8．（广东深圳·一模）如图，为半圆O的直径，C是半圆上一点，且，设扇形弓形的面积分别为，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C． D．
9．（2024·吉林长春·一模）如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留）
10．（2024·浙江宁波·二模）如图，在网格中按要求作图并回答相应问题．
(1)在图 1 中以点 为旋转中心，作 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；
(2)设 外接圆圆心为点 ，则在(1)的条件下，求 扫过的面积．
题型四：不规则图形的面积计算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【变式4-1】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-4】（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【变式4-5】（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接．
(1)求证：为所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留）
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，，F是上一点，，以点A为圆心为半径画弧，交于点，以F为圆心，为半径画弧，交于点于点，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知，半圆的直径，为圆心，点是半圆上的一点，将沿直线折叠后的弧经过圆心，则图中阴影部分的面积是 ．
3．（2024·重庆·一模）如图，在中，E为边中点．以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，CE为半径画弧，与AD相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
4．（2024·山东济宁·二模）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
5．（2024·四川广元·模拟预测）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且．

(1)求证：直线是的切线．
(2)如果，，求图中阴影部分的面积．
8．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的中点，，求阴影部分的面积．
题型五：与圆锥有关计算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ．
【典例2】（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．C．D．
【变式5-1】（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．
【变式5-2】（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
【变式5-3】（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
【变式5-4】（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【变式5-5】（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）圆锥的母线长为．底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为 ．
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ．
4．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．


5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留）
6．（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
7．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践
主题：制作无底圆锥
素材：一张直径为的圆形纸板，如图1．
步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆；
步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥．
猜想与计算：
(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系；
(2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数．
8．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．